2023-2024學(xué)年吉林省通化市梅河口市高三高考數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先解二次不等式化簡集合A，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋郑?故選：C.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】化簡z，后由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，則，則z的坐標(biāo)表示為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D3.從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是2的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是2的倍數(shù)的情況，從而由古典概型求概率即可.【詳解】從4張卡片中無放回抽取2張，共有，共6種情況，其中數(shù)字之和是2的倍數(shù)的有，共2種情況，故所求概率為.故選：B.4.若，，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】C【分析】首先求出，即可得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕郑裕矗?故選：C5.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】通過分析的奇偶性，在上的單調(diào)性，結(jié)合上函數(shù)值的正負(fù)性可排除不符合題意的選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故排除A；注意到，則為奇函數(shù)，故可排除B；又注意到時(shí)，，故可排除D.故選：C6.若直線恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，令，解得，即直線恒過點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值為.故選：B.7.直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因?yàn)樵谥比庵校郧蛐牡降酌娴木嚯x，又因?yàn)椋裕裕缘酌嫱饨訄A半徑，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，而，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線和所成的角為，則.故選：A.8.已知函數(shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，則的取值范圍可以是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由函數(shù)有兩個(gè)大于1零點(diǎn)，得在不單調(diào)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)，所以在不單調(diào).由得，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，此時(shí)可排除ABC；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋源嬖冢沟茫矗?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值.而，當(dāng)趨向正無窮時(shí)，趨向正無窮，所以當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)大于1的零點(diǎn)時(shí)，只要即可，，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足題意；故選：D.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了提高學(xué)生的英語基礎(chǔ)，某中學(xué)要求學(xué)生每天堅(jiān)持一小時(shí)的聽、說、讀、寫訓(xùn)練．為了調(diào)查該校5000名高中學(xué)生每周平均參加英語訓(xùn)練時(shí)間的情況，某教師從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照3∶1∶1的比例分層抽樣，收集了100名學(xué)生平均每周英語訓(xùn)練時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：h），整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法中正確的有（）A.估計(jì)該校高中學(xué)生平均每周英語訓(xùn)練時(shí)間不足4h的人數(shù)為1500人B.估計(jì)該校高中學(xué)生平均每周英語訓(xùn)練時(shí)間不少于8h的人數(shù)所占百分比為22%C.估計(jì)該校高中學(xué)生平均每周英語訓(xùn)練時(shí)間的中位數(shù)為5hD.估計(jì)該校高中學(xué)生平均每周英語訓(xùn)練時(shí)間為5.84h【正確答案】BD【分析】對(duì)AB：分別計(jì)算相應(yīng)矩形的面積即可判斷；對(duì)C：驗(yàn)證中位數(shù)是否為5h即可；對(duì)D：根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法求解.【詳解】對(duì)A：時(shí)間不足4h的人數(shù)為人，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：訓(xùn)練時(shí)間不少于8h的人數(shù)所占百分比為，故B正確；對(duì)C：若英語訓(xùn)練時(shí)間的中位數(shù)為5h，而小于5h所占的百分比為，故英語訓(xùn)練時(shí)間的中位數(shù)為5h錯(cuò)誤；對(duì)D：英語訓(xùn)練時(shí)間為，故D正確.故選：BD10.設(shè)函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，有最小值2C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.有兩個(gè)極值點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】對(duì)A：根據(jù)奇偶性定義判斷；對(duì)B：使用基本不等式求解；對(duì)C：根據(jù)的單調(diào)性及平移判斷；對(duì)D：用導(dǎo)數(shù)結(jié)合偶函數(shù)判斷.【詳解】，對(duì)A：定義域?yàn)椋遥适桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故在上減函數(shù)，而可以由向右平移1個(gè)單位得到，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故為極小值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD11.已知點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，且三點(diǎn)順時(shí)針排列，則（）A.當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，B.當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為C.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，D.若，則點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱【正確答案】ABC【分析】先根據(jù)得出為等邊三角形，ABC三項(xiàng)都是先確定直線的方程，然后與拋物線聯(lián)立即可求出結(jié)果；D項(xiàng)，先根據(jù)得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，再確定點(diǎn)位置，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詾榈冗吶切危瑢?duì)于A，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以大致圖像如圖，此時(shí)所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以此時(shí)A點(diǎn)在軸下方，且所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，當(dāng)時(shí)，，即A點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，又三點(diǎn)順時(shí)針排列，所以此時(shí)A點(diǎn)在軸上方，且所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，得A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)A點(diǎn)可能在軸上方，也可能在軸下方.因?yàn)槿c(diǎn)順時(shí)針排列，所以當(dāng)A點(diǎn)在軸上方時(shí)，可得點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)A點(diǎn)在軸下方時(shí)，可得此時(shí)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱；故D錯(cuò)誤；故選：ABC.12.如圖，四棱錐的底面為梯形，底面，，，為棱的中點(diǎn)，則（）A.與平面所成的角的余弦值為B.C.平面D.三棱錐的體積為【正確答案】CD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)線面角的定義解三角形即可；對(duì)于B項(xiàng)，解即可；對(duì)于C項(xiàng)，判定BC與BD的位置關(guān)系即可；利用線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖取AD中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥PD，由題意可得：EF⊥面ABCD，連接CF，∠ECF即與平面所成的角，由條件可得EF=2，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，連接AC，易得，又E為PA中點(diǎn)，，故PA與CE不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，在梯形ABCD中，過B作BG⊥CD，由條件可得，BG=AD=GC=2，故，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，又PD⊥面ABCD，BC面ABCD，則PD⊥BC，PDBD=D，PD、BD面ABCD，所以BC⊥面PBD，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由條件得，由上可得，故，故D正確.故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量滿足，且，則與的夾角為________．【正確答案】【分析】由向量的數(shù)量積與夾角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕逝c的夾角為.故14.已知函數(shù)，把的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則________．【正確答案】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出的解析式，代值計(jì)算可得出的值.【詳解】因?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，因此，.故答案為.15.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為________．【正確答案】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，即，此時(shí)，，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，所以，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為.16.已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，過且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的面積為，則四邊形的周長是________．【正確答案】14【分析】設(shè)橢圓半焦距為，由離心率可得橢圓，將直線DE方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合四邊形的面積為，可得，后注意到點(diǎn)A，兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對(duì)稱，后利用橢圓定義可得答案.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為，因橢圓離心率為，則，則橢圓.由題，設(shè)直線DE為，將其與橢圓方程聯(lián)立，則.由題，聯(lián)立方程判別式大于0，設(shè)，由韋達(dá)定理，有則又，則A到直線DE距離為，到DE距離為.因四邊形的面積S為，則.因點(diǎn)A，到直線DE距離相等，且，則點(diǎn)A，兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對(duì)稱.則四邊形的周長為.注意到，，則，得四邊形的周長為.故14四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知為正項(xiàng)等差數(shù)列，為正項(xiàng)等比數(shù)列，其中，且，成等比數(shù)列，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1），（2）【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．因?yàn)椋页傻缺葦?shù)列，所以解得或（舍去）所以．因?yàn)椋矗傻没颍ㄉ崛ィ裕?），記的前項(xiàng)和為，，①，②由①-②，得，所以．18.已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，結(jié)合余弦定理求得，即可求解；（2）由，利用面積公式化簡得，又由余弦定理得，聯(lián)立方程組求得，進(jìn)而求得三角形面積.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫淼茫钟捎嘞叶ɡ淼茫驗(yàn)椋裕拘?詳解】如圖所示，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕捎嘞叶ɡ淼茫?lián)立方程組，可得，即，解得或（舍去），所以．19.如圖，已知直三棱柱為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，三棱柱的體積為32．（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）．【分析】由題目條件結(jié)合三棱柱的體積為32可得，后如圖建立空間直角坐標(biāo)系.（1）由可得Q坐標(biāo)，后利用向量可證明，即可證明結(jié)論；（2）求出平面與平面的法向量即可得答案.【小問1詳解】由直三棱柱，得平面，又，可得三棱柱的體積，得．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則．設(shè)，則，故．因?yàn)椋裕裕獾茫矗C明：由，得，.所以．又因?yàn)槠矫鍭CQ，平面ACQ，，所以平面．【小問2詳解】易得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的法向量，．由，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量.得．所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某醫(yī)院10月份因患心臟病而住院的500名男性病人中，有260人禿頂，而另外500人不是因患心臟病而住院的男性病人中有100人禿頂．（1）填寫下列禿頂與患心臟病列聯(lián)表：類別患心臟病患其他病總計(jì)禿頂不禿頂總計(jì)據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)禿頂病患中患心臟病的概率和不掉頭發(fā)病患中患心臟病的概率；（2）能夠以99.9%的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)嗎？請說明理由；（3）從不是因患心臟病而住院的男性病人中按照分層抽樣方法抽取10人，再從這10名病患中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)抽到的禿頂病患人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．注：．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】（1）表格見解析，（2）能，理由見解析（3）分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，得出列聯(lián)表，求得相應(yīng)的概率；（2）由（1）中的列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意得到，隨機(jī)變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用公式求得期望值.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得到如下列聯(lián)表：類別患心臟病患其他病總計(jì)禿頂260100360不禿頂240400640總計(jì)5005001000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得禿頂病患中患心臟病的概率，不掉頭發(fā)病患中患心臟病的概率.【小問2詳解】解：能．理由如下：由（1）中的列聯(lián)表，可得，所以能夠以的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)．【小問3詳解】解：由題意，從不是因患心臟病而住院的男性病人中按照分層抽樣方法抽取10人，禿頂病患人數(shù)為2，不禿頂病患人數(shù)為8，再從這10名病患中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步調(diào)查，抽到的禿頂病患人數(shù)的可能取值為，可得，，．所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為．21.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，的面積為4．（1）求的方程；（2）點(diǎn)A是在第一象限的漸近線上的一點(diǎn)，軸，點(diǎn)是右支在第一象限上的一點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．試判斷的值是否為定值？若為定值，求出它的值；若不為定值，請說明理由．【正確答案】（1）（2）是定值．【分析】（1）由的面積為4可得c，后由離心率可得a，