2023-2024學年全國甲卷貴州省鎮遠縣高考數學（理）模擬試題（5月）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先化簡集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為=或，，所以，故選：C2.復數在復平面內對應的點的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據復數的除法運算算出，然后可得答案.【詳解】因為，所以在復平面內對應的點的坐標為.3.已知等比數列滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出公比，再根據等比數列的通項即可得解.【詳解】設公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.4.已知點，是橢圓上關于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【正確答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再利用橢圓的定義求出即得解.【詳解】因為,所以四邊形是平行四邊形.所以.由橢圓的定義得.所以.故選：C5.已知火箭推進系統的燃料攜帶量與速度的關系為，其中為速度改變量，為噴氣速度，為火箭本體質量，為燃料質量，若某一火箭發射時攜帶的燃料質量，記攜帶燃料剩余質量為，時的值分別為，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據題設的公式結合對數的性質可計算得到.【詳解】因為，故，當攜帶燃料剩余質量為時，故此時；同理當攜帶燃料剩余質量為時，；故，故選：D.6.已知函數的圖象如圖所示，則下列選項中可能為的解析式的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據題意得到，結合選項中的函數，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數，可得對于A中，函數，當時，，當時，，其函數為單調遞減函數，符合題意；對于B中，對于，當時，，不符合題意；對于C中，對于，當時，，不符合題意；對于D中，對于，當時，，不符合題意.故選：A.7.已知，若，則（）A.2 B.-2 C.1 D.-1【正確答案】D【分析】求出的通項，令，解出，代入，即可求出.【詳解】的通項為：，令，解得：，所以，所以，則.故選：D.8.國內現存兩件國寶級文物——戰國宴樂水陸攻戰紋銅壺，分別藏于故宮博物院與四川博物館.銅壸上的圖像采用“嵌錯”制作工藝，銅壺身上的三圈紋飾，將壺身分為四層.假設第一層與第二層分別看作圓柱與圓臺，且圓柱與圓臺的高之比為，其正視圖如圖2所示，根據正視圖，可得圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為（）（注：）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用圓柱和圓臺體積公式直接求解即可.【詳解】由題意知：圓柱的底面直徑為，設高為；圓臺的上下底面直徑分別為和，圓柱與圓臺的高之比為，則高為，圓柱的體積；圓臺的體積，圓柱與圓臺這兩個幾何體的體積之比為.故選：B.9.已知，若數據1，2，3，，的中位數與平均數均為，則點（）A.在直線右下方，在直線右下方B.在直線左上方，在直線左上方C.在直線右下方，在直線左上方D.在直線左上方，在直線右下方【正確答案】A【分析】由題得數據2，3，從小到大的順序排列為，在的左邊，求出和，再利用線性規劃求解.【詳解】由題得數據2，3，從小到大順序排列為，在的左邊，因為，所以點在直線右下方.由題得.因為，所以，所以.所以,所以點在直線右下方.故選：A10.已知等差數列的前項和為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設,求出公差和,利用三角函數的圖象和性質求解.【詳解】設.所以等差數列的公差.所以，其中.所以的最小值為，最大值為.所以的取值范圍是.故選：C11.函數在上的零點的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由，令，求得或，即可求解.【詳解】由令，即，解得或，因為，解得或，所以函數在上的零點的個數為2個.故選：B.12.若，則下列區間中包含的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用作差法，結合對數式的運算和對數函數性質，判斷取值范圍.【詳解】，，由，有，則，所以；，由，有，則，所以；選項中包含a的區間是.故選：C方法點睛：本題通過作差比較大小，結合對數式的運算規則，其中判斷真數的范圍是關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，若點滿足，設，則______.【正確答案】【分析】根據向量的線性運算可用表示，求出的值后可求的值.【詳解】因為，故，整理得到：，故，而，故為線段靠近的三等分點，故不共線，故即故答案為.14.在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】##0.2【分析】如圖，取的中點為，連接，可證或其補角為異面直線與所成的角，利用余弦定理可求線線角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點為，連接，則由方體可得，故四邊形為平行四邊形，故而，故四邊形為平行四邊形，故，又，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，故或其補角為異面直線與所成的角.設正方體的棱長為，則，，故.故異面直線與所成角的余弦值為.故答案為.15.2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報告指出，必須堅持科技是第一生產力，人才是第一資源，創新是第一動力，這其實是我黨的一貫政策．某材料學博士畢業時恰逢國家大力倡導“開辟發展新領域新賽道，不斷塑造發展新動能新優勢”，于是同一幫志同道合的博士同學，在老家創辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強陶瓷基、樹脂基三大類復合材料的研發與生產，預計到今年年底這三大類復合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨立，記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數學期望_________．【正確答案】【分析】求出的可能取值，再由數學期望的公式求解即可.【詳解】記三大類復合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則，，，，，則的分布列為：

故1.716.已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長為，則雙曲線的離心率為______.【正確答案】##【分析】先求漸近線方程，再根據弦長可求的關系，故可求雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線的方程為.圓的標準方程為：，故該圓的圓心為，半徑為2，而圓心到漸近線的距離為，故漸近線被該圓截得的弦長為，整理得到：或，而，故，故離心率為.故答案為.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：共60分．17.隨著農村電子商務體系和快遞物流配送體系加快貫通，以及內容電商、直播電商等模式不斷創新落地，農村電商呈現高速發展的態勢，下表為2017-2022年中國農村網絡零售額規模（單位：千億元），其中2017-2022年對應的代碼分別為1～6.年份代碼123456農村網絡零售額12.513.717.118.020.523.02（1）根據2017-2021年的數據求農村網絡零售額規模關于年度代碼的線性回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）若由回歸方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過1千億，則認為得到的回歸方程是“理想的”，試判斷（1）中所得回歸方程是否是“理想的”.參考公式：，.參考數據：，.【正確答案】（1）（2）回歸方程是“理想的”.【分析】（1）根據題設中公式可求線性回歸方程.（2）根據（1）的結果可計算估計數據與剩下的檢驗數據的誤差，從而可判斷回歸方程是否是“理想”.【小問1詳解】，，故，故，故.【小問2詳解】當，由可得對應的估計數據為，此時，故回歸方程是“理想的”.18.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據正弦定理和兩角和正弦公式，誘導公式即可求解；（2）根據余弦定理，面積公式，同角三角函數基本關系式即可求解.【小問1詳解】因為，根據正弦定理，，所以，因為在三角形中，則，所以，所以，則，即，所以，又因為在三角形中，則，所以，又因為有意義，則，所以，即.【小問2詳解】，，，由余弦定理得，所以，則，即，又，則，所以的面積為.19.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，為正三角形，平面平面，．（1）證明：；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質定理可證得；（2）由題意可得以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為為正三角形，所以，底面ABCD為菱形，，所以為正三角形，所以，，平面，所以平面，平面，所以；【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因為，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，所以，，，，設平面，，則，令，則，，所以，設直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知拋物線的焦點為，點，點在上，且是以為頂點的等腰三角形，其周長為10.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與交于A，兩點，點與A，不共線，判斷是否存在實數，使得直線，與直線交于點，，且以線段為直徑的圓過原點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）存在，.【分析】（1）根據拋物線的標準方程和幾何關系即可求解；（2）設點后，根據長度關系和幾何關系即可求解.【小問1詳解】焦點為，三角形EMF為等腰三角形，所以E點的橫坐標為，而點E在拋物線上，所以E點的縱坐標為，所以

解得或-5(舍去),所以.小問2詳解】設

則以為直徑的圓的圓心為，

若該圓經過原點,則原點到的距離為長度的一半,即,整理得，設點A坐標，點B坐標，直線直線方程為，聯立，所以，所以，，所以直線，又因為，所以，令得，即，同理可得由，所以，整理得，，又，，所以整理得，即，上式要對任意恒成立，則需要，所以.21.已知函數．（1）若，求的單調區間；（2）若，證明：方程僅有1個實根．【正確答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【分析】（1）求出的定義域和導數，判斷導數在相應區間內的符號可得的單調區間；（2）方程僅有1個實根可轉化為方程有且僅有1個實根，令，求出的單調性用零點存在性定理可證得有唯一零點，從而命題得證.【小問1詳解】當時，，定義域為，，，令，則，所以在上單調遞減，而，所以當時，，即有，單調遞增；當時，，即有，單調遞減，綜上，當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.【小問2詳解】，要證方程僅有1個實根，只需證方程即有且僅有1個實根，設，，所以當時，單調遞減，時，，單調遞增，又，時，，，所以當時無零點；時，有唯一零點，故在上有且只有一個零點，即方程有且僅有1個實根，命題得證.利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數硏究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數硏究.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．【選修4-4：坐標系與參數方程】22.在直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，且.（1）求的普通方程及的直角坐標方程；（2）若把直線向上平移個單位長度后所得圖象恰好與曲線有一個公共點，求的值.【正確答案】（1）曲線C的普通方程為；直線l的直角坐標方程為（2）【分析】（1）曲線C的參數方程消參可得普通方程，直線l運用極坐標和直角坐標轉換公式即可化為直角坐標方程；（2）求出平移后的直線方程，與曲線方程聯立方程組，由方程組有1解，求實數a的值．【小問1詳解】由得，所以