2023-2024學(xué)年安徽省安慶市高考熱身數(shù)學(xué)含解析一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，，，則圖中陰影部分所表示集合為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】首先求出集合、，圖中陰影部分為，根據(jù)并集、補集的定義計算可得.【詳解】由，解得或，所以，由，解得或，所以，所以，又，則圖中陰影部分為.故選：D2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為（）A. B.1 C.1或 D.或0【正確答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.【詳解】因為z是純虛數(shù)，所以，解得．故選：B．3.已知向量是兩個單位向量，則“”是“為銳角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由求出的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因為為單位向量，所以由兩邊平方得，所以得，而，所以夾角為0或銳角；所以“”是“為銳角”的必要而不充分條件.故選：B.4.林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300～500年之間的古樹為二級，樹齡100～299年的古樹為三級，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計算年輪個數(shù)，由經(jīng)驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14米，靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個年輪寬度為0.2cm，則估計該大樹屬于（）A.一級 B.二級 C.三級 D.不是古樹【正確答案】C【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和，求.【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為，樹干周長，，從內(nèi)向外數(shù)：，，，∴年，所以為三級.故選:C5.連續(xù)拋擲一枚骰子次，則第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A分析】由古典概型概率公式計算即可.詳解】方法一：連續(xù)拋擲一枚骰子次，用表示第次和第次正面向上的數(shù)字分別為，，則基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，設(shè)事件“第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大”，則事件中基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共個，∴.∴第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大的概率為.方法二：連續(xù)拋擲一枚骰子次，第次正面向上的數(shù)字有種，第次正面向上的數(shù)字有種，∴連續(xù)拋擲一枚骰子次，基本事件有個；其中，第次正面向上的數(shù)字與第次正面向上的數(shù)字相等的基本事件有個，而第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大的基本事件，與第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字小的基本事件數(shù)量相同，∴第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大的基本事件有個，∴第次正面向上的數(shù)字比第次正面向上的數(shù)字大的概率為.故選：A.6.已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A. B.3 C. D.【正確答案】B【分析】由函數(shù)的奇偶性和對稱性，得到函數(shù)的周期，利用周期和指數(shù)式的運算規(guī)則求函數(shù)值.【詳解】由是偶函數(shù)，得，令，則．由，令，則，則有，即，所以函數(shù)周期為4．因為，則有，所以．故選：B7.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由已知條件切化弦，整理得出，然后把展開可求出，從而利用兩角和的余弦公式可求解.詳解】由于，且，則，整理得，則，整理得，所以.故選：D.8.已知分別是雙曲線的左、右焦點，過點作直線交于兩點.現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點的對應(yīng)點分別為，且若，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角，利用雙曲線的定義與性質(zhì)結(jié)合余弦定理運算求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因為，即，可得，解得.故選：C.方法點睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（）A.棱柱的兩個底面一定平行B.棱柱至少有五個面C.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D.正四棱柱一定是長方體【正確答案】ABD【分析】依據(jù)棱柱定義判斷選項A；依據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷選項B；舉反例否定選項C；依據(jù)長方體定義判斷選項D.【詳解】選項A：由棱柱定義可得棱柱的兩個底面一定平行.判斷正確；選項B：三棱柱是最簡單的棱柱，三棱柱有五個面，則棱柱至少有五個面.判斷正確；選項C：在正四棱柱上面放置一個與其底同的斜四棱柱，所得幾何體是組合體，但是滿足兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形.判斷錯誤；選項D：正四棱柱底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，則正四棱柱一定是長方體.判斷正確.故選：ABD10.正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，這兩個符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割，余割.已知函數(shù)，給出下列說法正確的是（）A.的定義域為；B.的最小正周期為；C.的值域為；D.圖象的對稱軸為直線.【正確答案】BC【分析】由輔助角公式化一，再根據(jù)，即可求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的值域結(jié)合函數(shù)的定義域即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷D.【詳解】，由，得，即的定義域為，故A錯誤；的定義域關(guān)于原點對稱，故的最小正周期與函數(shù)的最小正周期一致，均為，故B正確；當(dāng)時，的值分別為，而函數(shù)的值域為，再結(jié)合周期性可知，的值域為，故C正確；令，得，即圖象的對稱軸為直線，故D錯誤.故選：BC.11.已知點，點在上運動，邊長為的正方形的頂點位于圓外，則的值可能是（）A.0 B. C.8 D.10【正確答案】ABC【分析】利用極化恒等式結(jié)合圖形求數(shù)量積最大值，再逐一判斷選項即可.【詳解】如圖所示，取CE中點F，連接BF，則由題意可得：，由極化恒等式可得當(dāng)三點共線且時，，即，故C正確，且排除D項；對于B項，當(dāng)三點共線且比較接近時，此時存在，故B正確；當(dāng)重合時，易得，此時，故A正確；故選：ABC12.已知，是函數(shù)與的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且，的夾角為，則下列說法正確的有（）A. B.C.若，則 D.與的交點可能在第三象限【正確答案】ABC【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得公切線關(guān)于對稱，即可得到，利用誘導(dǎo)公式證明A，利用誘導(dǎo)公式及基本不等式證明B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義說明C，結(jié)合函數(shù)圖象說明D.【詳解】如圖，因為與互為反函數(shù)，故兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，關(guān)于對稱，故，，故A正確；由題意，，均為銳角，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B正確；設(shè)與兩個函數(shù)圖象分別切于，兩點，與交于Q，，則，即，解得或（舍去），故，對于，則，令，解得，所以切點為，所以曲線的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，同理可得的斜率為的切線方程為，故曲線的斜率為的切線方程為，所以，則，則，故C正確；由圖可知點必在第一象限，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)為R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為_____．【正確答案】1【分析】利用奇函數(shù)的定義求出a，再根據(jù)給定的單調(diào)性確定作答.【詳解】因為函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則，，即有恒成立，因此對任意實數(shù)x恒成立，于是，解得，當(dāng)時，，函數(shù)與在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在R上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，符合題意，所以實數(shù)a的值為1.故114.的展開式中二項式系數(shù)最大的項是________.【正確答案】##【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可知最大，由二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】的二項展開式有7項，其二項式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知最大，故由二項式定理得二項式系數(shù)最大的一項是.故15.點是拋物線的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為_______________.【正確答案】##【分析】不妨設(shè),由與拋物線相切求得，求得橢圓中的，從而得到橢圓的離心率.【詳解】由題意知不妨設(shè),則在函數(shù)上，故所以,解得，所以，，又點恰好在以，為焦點的橢圓上，所以，,所以，，故16.在中，，D為BC的中點，則的最大值為______．【正確答案】【分析】先設(shè)，由三角形三邊關(guān)系得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到，從而利用換元與基本不等式求得的最小值，結(jié)合與在上的單調(diào)性即可求得的最大值.【詳解】設(shè)，則，因為為的中點，，所以，由三角形三邊關(guān)系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因為，所以,所以，解得，則，，令，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，解得，因為，所以．因為在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)取得最小值時，取得最大值，此時，則，所以的最大值為.故答案為..關(guān)鍵點睛：本題中突破口為，由此得到，再結(jié)合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.四?解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或驗算步驟.17已知等差數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）當(dāng)時，由得，兩式相減則可求等差數(shù)列的公差，時，可求首項，從而可求其通項公式；（2）根據(jù)已知可求，再由并項求和法求和即可．【小問1詳解】由已知為等差數(shù)列，記其公差為d．①當(dāng)時，，兩式相減可得，解得，②當(dāng)時，，所以，所以．【小問2詳解】由（1）知，．18.某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，其中為水深（單位：米），為時間（單位：小時），該函數(shù)圖像如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)至多能在港口停留多久？【正確答案】（1）（2）8小時【分析】（1）由圖易得和周期，由周期可求，然后代入最高點的坐標(biāo)可求，從而求出解析式；（2）由題意可知，只要解此不等式即可得解.【小問1詳解】由圖知，，，，所以，將點代入得，結(jié)合解得，所以函數(shù)的解析式.【小問2詳解】貨船需要的安全水深為米，所以當(dāng)時貨船可以停留在港口.由得，得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以該船一天之內(nèi)至多能在港口停留小時.19.為迎接“五一小長假”的到來，某商場開展一項促銷活動，凡在商場消費金額滿200元的顧客可以免費抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個小球，其中，紅球2個，白球3個，黃球5個，顧客從箱子中依次不放回地摸出2個球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎.將顧客摸出的2個球的顏色分成以下四種情況：：1個紅球1個白球，：2個紅球，：2個白球，：至少一個黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對應(yīng)一等獎，二等獎，三等獎，不中獎.（1）求顧客在某次抽獎中，第二個球摸到為紅球的概率（2）求顧客分別獲一?二?三等獎時對應(yīng)的概率；（3）若三名顧客每人抽獎一次，且彼此是否中獎相互獨立.記中獎的人數(shù)為，求的分布列和期望.【正確答案】（1）（2）顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、（3）分布列答案見解析，【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得；（2）根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式計算可得；（3）由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，利用二項分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)顧客第次摸到紅球為，則；【小問2詳解】由題意知，，，，，因此，顧客分別獲一?二?三等獎的概率分別為、、；【小問3詳解】由（2）可知，顧客抽獎一次獲獎的概率為，則，所以，，，，則分布列為：123數(shù)學(xué)期望.20.如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．【正確答案】（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）取的中點，由面面垂直的性質(zhì)定理，線面角的概念結(jié)合條件計算即得；（2）由題意假設(shè)共面，由推出平面，再推出，從而得到，即推出矛盾，故假設(shè)不成立.【小問1詳解】取CD的中點G連結(jié)MG，NG．因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以，．因為平面ABCD⊥平面DCEF，平面平面，平面，所以MG⊥平面DCEF，所以即為直線MN與平面DCEF所成角，由平面DCEF，可得MG⊥NG，所以，，即直線MN與平面DCEF所成角的正弦值為；【小問2詳解】假設(shè)直線ME與BN共面，則平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，由已知，兩正方形不共面，故平面DCEF，又AB∥CD，平面，所以AB∥平面，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，則EN∥EF，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以ME與BN不共面，它們是異面直線．21.如圖，分別是矩形四邊的中點，，.（1）求直線與直線交點的軌跡方程；（2）過點任作直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線的交點為，直線與直線的交點為，求面積的最小值.【正確答案】（1）且（2）【分析】（1）利用已知可得直線，的方程，消去參數(shù)，根據(jù)交點的變化即可求出其軌跡方程.（2）設(shè)方程：，代入，利用韋達(dá)定理表示出，，根據(jù)直線和，得出，同理根據(jù)直線和，得到，即可利用求出結(jié)果.【小問1詳解】由已知，，，，當(dāng)時，直線方程：，直線方程：，聯(lián)立上述兩方程消去得：，當(dāng)時，交點符合上述方程，又交點不可能為，故所求的軌跡方程為且.【小問2詳解】設(shè)方程：（依題意存在，代入得，，設(shè)，，，方程：，方程：，聯(lián)立上述兩方程消去得：.