2023-2024學年湖南省高三高考數學押題模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則等于（

）A．(-1，1] B． C．[3，4) D．【正確答案】C【分析】先解出集合A、B，再求.【詳解】由題意，集合，又因為集合，所以.故選：C.2．若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【正確答案】A【分析】復數的基本運算【詳解】因為，所以．故選：A.3．“是與的等差中項”是“是與的等比中項”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據等差中項和等比中項的定義，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】若是與的等差中項，則，若是與的等比中項，則，則“是與的等差中項”是“是與的等比中項”的充分不必要條件，故選A.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差中項和等比中項的定義求出的值是解決本題的關鍵．4．如圖，在中，，，，為邊的中點，且，則向量的模為（

）A． B． C．或 D．或【正確答案】B由條件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.【詳解】因為，，，所以.因為，所以故選：B5．某網店經銷某商品，為了解該商品的月銷量(單位：千件)與售價(單位：元/件)之間的關系，收集組數據進行了初步處理，得到如下數表：根據表中的數據可得回歸直線方程，以下說法正確的是（

）A．，具有負相關關系，相關系數B．每增加一個單位，平均減少個單位C．第二個樣本點對應的殘差D．第三個樣本點對應的殘差【正確答案】D【分析】對于A，由相關系數絕對值的范圍而判斷；對于B，由回歸直線方程的意義可作判斷；對于C，D，計算給定樣本點處的殘差即可判斷作答.【詳解】對于A選項：由相關系數絕對值的不超過1，A不正確；對于B選項：由回歸直線方程知，每增加一個單位，平均減少個單位，B不正確；對于C選項：第二個樣本點對應的殘差，C不正確；對于D選項：第三個樣本點對應的殘差，D正確.故選：D6．已知函數，若（其中．），則的最小值為（

）．A． B． C．2 D．4【正確答案】B【分析】根據二次函數的性質及對數的運算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】,由，，即，，當且僅當，即時等號成立，故選：B7．已知平行六面體的各棱長都為，，、、分別是棱、、的中點，則（

）A．平面B．平面平面C．平面與平面間的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為【正確答案】A【分析】證明出平面平面，利用面面平行的性質可判斷A選項；利用反證法結合面面垂直的性質定理可判斷B選項；利用勾股定理可判斷C選項；利用線面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，連接、、，在平行六面體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因為、分別為、的中點，則，所以，，因為平面，平面，所以，平面，同理可證且，因為且，、分別為、的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以，平面.因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，所以，平面，A對；對于B選項，連接、、，由題意可知，，，則為等邊三角形，所以，，同理可得，故三棱錐為正四面體，設點在平面內的射影點為點，則為等邊的中心，易知點不在直線上，若平面平面，過點在平面內作，垂足為點，

因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，但過點作平面的垂線，有且只有一條，矛盾，假設不成立，B錯；對于C選項，連接，則，且，因為平面，平面，則，故，故平面與平面間的距離為，C錯；對于D選項，連接，因為平面，所以，與平面所成的角為，且，所以，直線與平面所成的角的正弦值為，D錯.故選：A.8．已知滿足，且在上單調，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】通過對稱軸與對稱點得出的式子，再通過單調得出的范圍，即可得出答案.【詳解】滿足，，，即，，在上單調，，即，當時最大，最大值為，故選：B.二、多選題9．已知拋物線的焦點為，直線的斜率為且經過點，直線與拋物線交于點、兩點（點在第一象限），與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是A． B． C． D．【正確答案】ABC【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識來判斷各選項命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點、拋物線的準線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：ABC.本題考查與拋物線相關的命題真假的判斷，涉及拋物線的定義，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.10．已知為偶函數，且恒成立．當時．則下列四個命題中，正確的是（

）A．的周期是 B．的圖象關于點對稱C．當時， D．當時，【正確答案】ACD【分析】由可以得出函數的周期，判斷選項A；由于又是偶函數，可以推出函數的對稱性，判斷選項B；是偶函數及周期性，判斷選項C，D.【詳解】由得，，所以的周期是．A正確．因為是偶函數，所以就是，即，所以的圖象關于直線對稱．B不正確．根據偶函數的對稱性，C顯然正確．當時，，則，即；當時，，則，即．所以D正確．故選：ACD．11．人民日報智慧媒體研究院在2020智慧媒體高峰論壇上發布重磅智能產品—人民日報創作大腦，在AI算法的驅動下，無論是圖文編輯?視頻編輯，還是素材制作，所有的優質內容創作都變得更加容易.已知某數據庫有視頻a個?圖片b張，從中隨機選出一個視頻和一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件A，“視頻甲入選”為事件B，“圖片乙入選”為事件C，則下列判斷中正確的是（）A．B．C．D．【正確答案】BC【分析】利用相互獨立事件的概率乘法公式，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由相互獨立事件的概率的乘法計算公式，可得A錯誤，B正確；事件包含“視頻甲未入選，圖片乙入選”、“視頻甲入選，圖片乙未入選”、“視頻甲?圖片乙都未入選”三種情況，所以，則，所以C正確；由題可知，，，因為a，，，所以，即，故D錯誤.故選:BC.12．已知四面體ABCD中，面BCD，，E、F分別是棱AC、AD上的點，且，.記四面體ABEF、四棱錐、四面體ABCD的外接球體積分別是、、，則的值不可能是（

）A．1 B． C． D．【正確答案】AB【分析】通過線面垂直的判定和性質定理得到，，，再設，，計算知，利用換元法結合導數即可求出答案.【詳解】設四面體ABEF、四棱錐、四面體ABCD的外接球的半徑分別是、、，分別取AD、BD的中點M、N，因為，，所以易知的中點到點的距離相等，所以.又面，面，，，，面，平面，平面，所以，所以，從而.因為，為中點，則為的外心，因為，面，所以面，則四棱錐外接球的球心在直線MN上，因為，所以，平面，平面，所以，，面，所以平面ACD，平面，所以，于是，又因為，故點N就是四棱錐外接球的球心，所以.設，，，則，，，所以.，令，則，.記，，則，所以在上單調遞減，故，而，，，，故選：AB.關鍵點睛：本題的關鍵是利用線面垂直關系從而確定三個空間幾何體的外接球得球心所在位置，從而再設，，利用三角函數和球的體積公式得，再根據和的關系設利用換元法得到，，再利用導數即可求出其值域，最后對照選項即可.三、填空題13．將函數表示為，其中，，，，為實數，則______.【正確答案】【分析】將函數改寫成，然后利用二項展開式通項公式可解.【詳解】由于，那么其展開式通項為，故，.故答案為.14．已知函數在點處的切線方程為l：，若對任意，都有成立，則______．【正確答案】/【分析】根據條件表示出，再令，求導分類研究函數單調性，進而求出結果.【詳解】因為，所以，，所以，令，則，則，，令，則，令，得，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，當，時，，則，單調遞增，，即，所以當，時，成立，當，時，，則，單調遞增，，即，所以當，時，成立，綜上所述.故答案為.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．15．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點M，N分別為C的漸近線和左支上的動點，且的最小值恰為C的實軸長的2倍，則C的離心率為______.【正確答案】【分析】利用雙曲線定義，將的最小值轉化為的最小值，結合點到直線距離公式求出，從而求出離心率.【詳解】由雙曲線的定義得，所以，于是.

如圖：當M、N、三點共線，且與點M所在的漸近線垂直時，取得最小值，其最小值就是到漸近線的距離d，又C的漸近線方程為，所以，故的最小值為b，從而的最小值為，由題設知，所以，所以.故16．已知且時，恒成立，則的最小值是_________．【正確答案】/【分析】構造函數，由題可得，求導可得，使，利用換元法，則可轉化為，結合導數即可求解．【詳解】解：設，，，由題可得，當時，．設，，則且不恒為零，即在上單調遞增，故．當時，，即且不恒為零，在上單調遞增，故，滿足題意．當，，，則，使，即．當時，，即．當時，，即，故在上單調遞減，在上單調遞增，則．記，令，，則在上單調遞減，由且，知，即，故設，，則，故在上單調遞減，故，因此實數的最小值是．故．關鍵點點睛：本題考查利用函數不等式恒成立求參數的取值范圍，解題的關鍵就是利用導數分析函數的單調性，將問題轉化為，在求實數的取值范圍時，充分利用了函數極值點所滿足的條件，將轉化為函數的值域，結合導數法來求解.四、解答題17．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，且AC邊上的高為，求的周長．【正確答案】(1)(2)15【分析】（1）利用三角形內角和及誘導公式得到，再利用余弦的倍角公式得到，解得，從而得到；（2）由比例引入常數，利用三角形面積相等得到，從而利用余弦定理得到關于的方程，解之即可得到，由此得解.【詳解】（1）因為，所以由得，所以，解得或，因為，所以，則，故，則，故．（2）因為，令，則，由三角形面積公式可得，則，故，由余弦定理可得，則，解得，從而，，，故的周長為．18．設數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)由可得兩式相減得.利用等比數列的定義求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂項相消法求解即可.【詳解】(1)由可得兩式相減得.又，則.所以，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，故.(2)由(1)已知可得，故其前n項和，化簡可得.本題主要考查等差數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，側面是邊長為2的正三角形，,.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設是棱上的點，當平面時，求二面角的余弦值.【正確答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.【分析】（1）取AD中點O，連結OP，OB，可得OP，OP⊥AD，OB⊥AD，且OB．可得OB2+OP2＝9＝PB2，從而OP⊥面ABCD，即面PAD⊥面ABCD．（2）連結AC交BD于E，則E為AC的中點，連結EQ，當PA∥面BDQ時，PA∥EQ，所以Q是BC中點．由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，分別以OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量求解．【詳解】解：（1）取AD中點O，連結OP，OB，∵△PAD是邊長為2的正三角形，∴OP，OP⊥AD，又AB＝AD，∴OB⊥AD，且OB．于是OB2+OP2＝9＝PB2，從而OP⊥OB．所以OP⊥面ABCD，而OP?面PAD，所以面PAD⊥面ABCD．（2）連結AC交BD于E，則E為AC的中點，連結EQ，當PA∥面BDQ時，PA∥EQ，所以Q是BC中點．由（1）知OA，OB，OP兩兩垂直，分別以OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），Q（﹣1，），，．設面BDQ的法向量為，由，取．面ABD的法向量是，∴cos．∵二面角A﹣BD﹣Q是鈍角，∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為．20．已知橢圓E：的離心率為，A，B是它的左、右頂點，過點的動直線l（不與x軸重合）與E相交于M，N兩點，的最大面積為．(1)求橢圓E的方程；(2)設是直線AM與直線BN的交點．（i）證明m為定值；（ii）試堔究：點B是否一定在以MN為直徑的圓內？證明你的結論．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）點B一定在以MN為直徑的圓內，證明見解析【分析】（1）根據最大面積可得，再結合離心率及求解作答.（2）（i）設出直線l的方程，與橢圓E的方程聯立，利用韋達定理結合三點共線的斜率關系列式求解作答；（ii）利用平面向量數量積推導為鈍角作答.【詳解】（1）設橢圓E的焦距為2c，依題意，，設橢圓E上點M的縱坐標為，，的面積，當且僅當時取等號，因此，而，且，解得，，所以橢圓E的方程為.（2）由（1）知，，，設直線l的方程為，而點在橢圓E內，直線l與E總相交，由得：，設，，則，，（i）由P，A，M共線，得，由P，B，N共線，得，聯立兩式得，又，即有，因此，所以，為定值．（ii）點B一定在以MN為直徑的圓內，由（i）知，，，即，因為，，因此，而2，從而，于是，為鈍角，所以點B一定在以MN為直徑的圓內.方法點睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當的量為變量，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．21．馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用．其數學定義為：假設我們的序列狀態是…，，，，，…，那么時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態，即．現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進入賭場參與一個賭錢游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸的概率為，且賭輸就要輸掉1元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭錢游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭錢．記賭徒的本金為，賭錢過程如下圖的數軸所示．當賭徒手中有n元時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：(1)請直接寫出與的數值．(2)證明是一個等差數列，并寫出公差d．(3)當時，分別計算，時，的數值，并結合實際，解釋當時，的統計含義．【正確答案】(1)，(2)證明見解析；(3)時，，當時，，統計含義見解析【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結論；（3）由（2）結論可得，即可求得，時，的數值，結合概率的變化趨勢，即可得統計含義.【詳解】（1）當時，賭徒已經輸光了，因此.當時，賭徒到了終止賭錢的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,,即，所以，所以是一個等差數列，設，則，累加得，故，得，（3），由得,即,當時，，當時，，當時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平