2023-2024學(xué)年湖北省區(qū)域第二次聯(lián)考高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（5月）一、單選題1．已知集合，，若中恰有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定集合A中的兩個(gè)元素即可求出a的范圍.【詳解】集合，，因?yàn)橹星∮袃蓚€(gè)元素，因此，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A2．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)解，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，由韋達(dá)定理求得，即可得到復(fù)數(shù)，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)解，則方程的另一解為，由韋達(dá)定理可得，解得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限.故選：D3．已知平面向量，，滿足，，且.若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求，最后用坐標(biāo)公式求模即可.【詳解】令，則，可得，所以.故選：A4．由經(jīng)驗(yàn)可知，某種質(zhì)地的沙子堆放成圓錐的形狀，若要使沙堆上的沙子不滑落，其母線與底面的最大夾角為.現(xiàn)有一堆該質(zhì)地的沙子堆成的沙堆，該沙堆的底面半徑為，高為.現(xiàn)在為了節(jié)省該沙堆的占地，需要用一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形容器盛放這些沙子，沙子可以超出該容器，且超出部分呈圓錐形.已知該容器的底面半徑為，則該容器的高至少為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)圓柱的體積和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】沙堆的體積是.

設(shè)圓柱的高為，露出上部分的沙堆的高為，所以，整理得，又因?yàn)椋?，所?故選：B.5．若，，則等于（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用二倍角和兩角差的余弦公式，再結(jié)合角的范圍，即可求解.【詳解】依題意可知，，即，即，得，因?yàn)?，，所以，?故選：D6．某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)，在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為，若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為.已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)上午打球?yàn)槭录挛缬斡緸槭录鶕?jù)題意求出，再根據(jù)條件概率即可得解.【詳解】設(shè)上午打球?yàn)槭录?，下午游泳為事件，則，故，所以，所以上午打球的概率為.故選：C.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與交于點(diǎn)，.直線為在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線.若，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】作出圖形，由題意可得出，利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可求出、的值，即可得解.【詳解】如下圖所示：

因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，因?yàn)?，且，所以，，所以，，可得，則，所以，，故.故選：C8．設(shè)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)使得存在三個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，，滿足，，，恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】若存在一個(gè)矩形，根據(jù)函數(shù)以及矩形的特點(diǎn)，可以認(rèn)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓與有至少四個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)研究極值進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：已知，若正實(shí)數(shù)使得存在三個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，，，滿足，，，恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以若存在一個(gè)矩形，則矩形的中心在原點(diǎn)，則在上至少有兩個(gè)根，設(shè)，則，在上時(shí)，或，在和上，，在上，所以在和上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，則，，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有，解得或，此時(shí).當(dāng)時(shí)，有，解得或，此時(shí).綜上當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性存在三個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，，，滿足，，，恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn).故選.已知函數(shù)的極值滿足某種限制，求參數(shù)的值（范圍）.一般先求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，表示出函數(shù)的極值，再數(shù)形結(jié)合列方程（不等式（組）），求參數(shù)的值（范圍）.二、多選題9．已知四棱錐的所有棱長(zhǎng)相等，M，N分別是棱PD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．面C． D．面【正確答案】BC【分析】根據(jù)異面直線的定義可判斷A；取為的中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可判斷B；由，為的中點(diǎn)，可判斷C；取為的中點(diǎn)，連接，由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可得平面，，與為等邊三角形矛盾可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫矫?，直線，平面，所以與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取為的中點(diǎn)，連接，所以，，又，，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，若面，面，所以，因?yàn)樗睦忮F的所有棱長(zhǎng)相等，所以底面是正方形，取為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，所以，又，所以，這與為等邊三角形矛盾，故不垂直于平面，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

10．某學(xué)校一同學(xué)研究溫差與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：5689121720252835經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則（

）A．樣本中心點(diǎn)為 B．C．時(shí)，殘差為 D．若去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)增大【正確答案】ABC【分析】求出可判斷A；將樣本中心點(diǎn)代入可判斷B；求出當(dāng)時(shí)觀則值和預(yù)測(cè)值，求出殘差可判斷C；因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)為，所以去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)不變可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故樣本中心點(diǎn)為，故A正確；對(duì)于B，經(jīng)驗(yàn)回歸方程過樣本中心點(diǎn)，解得：，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)觀則值為，預(yù)測(cè)值為，故殘差為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)為，所以去掉樣本點(diǎn)，則樣本的相關(guān)系數(shù)不變，故D不正確.故選：ABC.11．已知函數(shù)在上有最大值，則（

）A．的取值范圍為 B．在區(qū)間上有零點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．存在兩個(gè)，使得【正確答案】AC【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)圖像和函數(shù)單調(diào)性、最值逐項(xiàng)分析.【詳解】A選項(xiàng)：有最大值，又因?yàn)椋?，要使在上有最大值，則，所以的取值范圍為；B選項(xiàng):,因?yàn)椋?，無(wú)零點(diǎn)，即在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；C選項(xiàng):,,,根據(jù)函數(shù)圖像，單調(diào)遞減，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確；D選項(xiàng)：即，即，因?yàn)楫?dāng)函數(shù)圖像單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，與函數(shù)圖像無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)圖像單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，與圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，故至多存在1個(gè)，使得，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與圓交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的一條垂線，與圓交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．的最大正切值為【正確答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合是解決這類問題的最佳途徑.設(shè)直線的傾斜角為，此時(shí)都可以用含的三角函數(shù)式進(jìn)行表示，這樣將所有的計(jì)算都轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式的計(jì)算化簡(jiǎn)，可以使得問題得到解決.【詳解】由圖可知，點(diǎn)在第一象限，設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，，此時(shí)，即，因?yàn)橹本€與圓交于另一點(diǎn)，所以可知，.對(duì)A，如圖所示，在中，，,故可知，由正弦定理可知，化簡(jiǎn)得.所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，所以有,將代入得，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，由圖可知，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，在中，，所以，在中，，，所以.而已知，所以，解得，故，所以，而，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，由上可知，，，而，故，不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，此時(shí)，,所以,化簡(jiǎn)得，令，則，，設(shè)，，則，令，解得，+0↗極大值↘故，此時(shí)，故的最大正切值為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD三、填空題13．已知的展開式的第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的值為_________.【正確答案】8【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)后，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)特征，求正整數(shù)的值.【詳解】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式，由題意可知，，.故814．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_________.【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間恒成立，參變分離后，即可求解.【詳解】，在區(qū)間恒成立，所以，在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，所以.故15．科拉茨是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.這是一個(gè)很有趣的猜想，但目前還沒有證明或否定.如果對(duì)正整數(shù)（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則滿足條件的的所有不同值的和為___________.【正確答案】190【分析】利用第八項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)即可求解n的所有可能的取值.【詳解】設(shè)對(duì)正整數(shù)按照上述變換，得到數(shù)列：，則：則的所有可能取值為，共6個(gè).其和為，故190.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B是其準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線段分別與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，_________.【正確答案】【分析】設(shè)直線PQ方程及其坐標(biāo)，將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得，由可得：，化簡(jiǎn)得.易知：，則，同理，而，即所以.故答案為.方法點(diǎn)睛，圓錐曲線中面積之比問題，通常利用線段之比來轉(zhuǎn)化，然后設(shè)線設(shè)點(diǎn)將線段之比化為坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.四、解答題17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和滿足，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）首先數(shù)列，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，，故.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為，已知.(1)若，求；(2)若，，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式，得，再根據(jù)正弦定理，邊角互化，結(jié)合，即可求解；（2）根據(jù)條件，變形得，再結(jié)合余弦定理求，代入三角形面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，所以，且，，且，，，所?（2）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，，即，所以，由余弦定理得，所以，解得，所?9．如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，.

(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓的幾何關(guān)系證明先線垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和線面垂直判定即可求解；（2）根據(jù)線面角法向量求法和均值不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，所以A,B,C三點(diǎn)共圓，且AC為直徑，所以.因?yàn)槠矫妫矫妫?又因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）設(shè)，以為軸，為軸，過點(diǎn)與垂直的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則.所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以令，則，.所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立）.所以直線與平面所成角的正弦的最大值為.20．某手機(jī)APP公司對(duì)喜歡使用該APP的用戶年齡情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名喜歡使用該APP的用戶，年齡均在周歲內(nèi)，按照年齡分組得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)使用該視頻APP用戶的平均年齡的第分位數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留2位）；(2)若所有用戶年齡近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)喜歡使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的比例；(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，從所有喜歡使用該APP的用戶中隨機(jī)抽取8名用戶，用表示這8名用戶中恰有名用戶的年齡在區(qū)間歲的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：【正確答案】(1)（歲）(2)(3)【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和百分位數(shù)的定義即可求解；（2）利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解；（3）利用二項(xiàng)分布的概率公式和二項(xiàng)式系數(shù)的最值列不等式組，解之即可.【詳解】（1）由直方圖可知，第分位數(shù)位于區(qū)間，第分位數(shù)（歲）.（2）（歲）使用該APP且年齡大于61周歲的人數(shù)占所有喜歡使用該APP的.（3）根據(jù)題意，要使取最大值，則，，解得，因?yàn)椋?21．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線，與軸交于點(diǎn)，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且，.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)與軸不重合的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線分別交于點(diǎn)，求證.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，可求得，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，，再證明即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為2c，其中，則，所以，，由，有，得，所以，.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，有，所以，，由，有，即，得，所以，所以的方程為；（2）設(shè)的方程為，，聯(lián)立方程組，得，所以，，，，所以，所以，即，即平分，因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.

方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為.①求實(shí)數(shù)的值；②求證：存在唯一極小值點(diǎn)且.(2)當(dāng)