2023-2024學(xué)年河北省唐山市保定市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（5月）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用已知條件可得出，化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，所以，，因此，.故選：B.2.設(shè)集合，，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求值域分別化簡集合M,N,再判斷包含關(guān)系即可【詳解】，，可得，，，，故選：D.3.若，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先計算出，，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式展開計算可得.【詳解】因為所以，所以，因為所以，因為，所以，所以.故選：D4.如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，，若，，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)三點共線以及平面向量基本定理推出，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】因為三點共線，所以可設(shè)，則，又，所以，又，，所以，所以，所以，消去得，所以，因為，，得，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：A5.若，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，借助“媒介數(shù)”比較大小作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此，而，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，所以故選：D6.已知兩個圓錐側(cè)面展開圖均為半圓，側(cè)面積分別記為，且，對應(yīng)圓錐外接球體積分別為，則（）A.8 B. C. D.2【正確答案】C【分析】利用圓錐的體積公式及側(cè)面積公式，及圓錐的外接球半徑求法，即可得解.【詳解】設(shè)兩個圓錐的母線長分別為，高分別為，底面圓的半徑分別為，對應(yīng)圓錐的外接球半徑分別為，由題可得，，同理得：，由，得又，化簡得，，故選：C7.已知函數(shù)，若方程在的解為，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】結(jié)合圖形得，利用二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式將化為即可求解.【詳解】當(dāng)時，，依題意有，結(jié)合圖象可知，，即，，所以.故選：B8.已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點，若，則的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知圓，則（）A.存在個不同的，使得圓與軸相切B.存在個不同的，使得圓在兩坐標(biāo)軸上截得的線段長度相等C.存在個不同的，使得圓過坐標(biāo)原點D.存在個不同的，使得圓的面積被直線平分【正確答案】AC【分析】根據(jù)圓與軸相切，可得出，解此方程可判斷A選項；分析可得，判斷出滿足條件的實數(shù)的個數(shù)，可判斷B選項；數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；由已知可得出，構(gòu)造，其中，利用導(dǎo)數(shù)法可判斷D選項.【詳解】由題意可知，，且圓的圓心為，半徑為.對于A選項，若圓與軸相切，則，解得或，A對；對于B選項，若圓在兩坐標(biāo)軸上截得的線段長度相等，則，可得，圓截軸所得弦長為，圓截軸所得弦長為，所以，，所以，，令，，其中，所以，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，，，所以，函數(shù)在上無零點，函數(shù)在上只有一個零點，B錯；對于C選項，若圓過原點，則，由圖可知，與有兩個交點，所以滿足要求的有個，故C正確；對于D選項，若圓的面積被直線平分，則直線過圓心，所以，，即，令，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因此，存在唯一的，使得圓的面積被直線平分，D錯.故選：AC.10.棱長為1的正方體中，，，分別是，，的中點，則下列說法正確的有（）A.點在直線上運動時，三棱錐的體積不變B.點在直線上運動時，直線始終與平面平行C.直線與直線所成的角為D.三棱錐的體積為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)的面積為矩形的面積的一半，且點到平面的距離不變，可判定A正確；由平面和平面，證得平面平面，可判定B正確；取的中點，把直線與直線所成的角即為直線與所成的角，在中，利用余弦定理求得，可判定C正確；結(jié)合，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，點在直線上運動時，的面積為矩形的面積的一半，且點到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變，所以A正確；對于B中，點在直線上運動時，由分別為的中點，可得，又由平面，平面，所以平面，同理可證：平面，因為且平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面，所以B正確；對于C中，取的中點，分別連接，因為的中點，所以，又由，所以，所以異面直線與直線所成的角即為直線與所成的角，設(shè)，設(shè)正方體的棱長為，可得，在直角中，可得，所以，所以，可得，所以C正確；對于D中，由，所以，所以D錯誤故選：ABC.11.已知是數(shù)列的前項和，，則（）A.B當(dāng)時，C.當(dāng)時，為等差數(shù)列D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時，的取值范圍是【正確答案】BD【分析】對于A，由，多寫一項，兩式相減得到，注意檢驗時是否成立即可；對于B，先根據(jù)題意求得，從而得到奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列得前項和公式即可求解；對于C，結(jié)合B選項求得，，得到數(shù)列為，進而判斷即可；對于D，先結(jié)合選項C求得，，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，求解即可得出的取值范圍．【詳解】對于A，因為，當(dāng)，，兩式相減得，但當(dāng)時，，即，得，不符合，故A錯誤；對于B，結(jié)合A選項有，所以，兩式相減得，又，令，則，，得，又，所以，令，則，，得，所以，則，所以，所以奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以B正確；對于C，結(jié)合B選項有，，，又，則，，即數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項都是等差數(shù)列，但數(shù)列為，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C錯誤；對于D，結(jié)合選項C有，，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，所以的取值范圍是，所以D正確．故選：BD．關(guān)鍵點點睛：數(shù)列單調(diào)性問題或不等式問題，要充分挖掘題干條件，通常由遞推公式求通項公式，或研究出數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解．12.已知，若，且，則（）A. B.C.的最大值為1 D.的最小值為1【正確答案】ABC【分析】由題可得，設(shè)，則可得，即可解出，，判斷AB正確；將條件轉(zhuǎn)化為，利用判別式可求出的范圍，同理求出的范圍.【詳解】由，得，，設(shè)，則.，，解得，即，，故AB正確；，即.，即.由a，知，.∴，解得，同理可得，故C正確，D錯誤.故選：ABC.關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)已知等量關(guān)系求范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件令，轉(zhuǎn)化出，即可求出，進一步利用判別式可求出范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)在上有最大值4，則的值為________．【正確答案】【分析】化簡函數(shù)，分，和，三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的值為常數(shù)，不符合題意，舍去；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，此時最大值為，解得；③當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，此時最大值為，解得，不符合題意，舍去．綜上可知，的值為.本題主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的最值問題，其中解答中熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.過點且與雙曲線的一條漸近線平行的直線方程為______.【正確答案】（或）【分析】由雙曲線方程得漸近線方程，進而求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線方程為，所以漸近線方程為，即漸近線的斜率為或，所以與漸近線平行的直線方程為或，即或.故（或）.15.設(shè)展開式中的常數(shù)項為，則實數(shù)的值為______.【正確答案】【分析】寫出展開式的通項，分析可知的展開式中不含常數(shù)項，從而可知的常數(shù)項為，結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值.【詳解】的展開式通項為，，在的展開式中，令，可得，不合乎題意；在的展開式中，，令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項為，解得.故答案為.16.已知定義在上的函數(shù)滿足：，，當(dāng)時，，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，求得，結(jié)合，結(jié)合已知條件代值計算即可得解.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足：，，所以，，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因為，所以，，則，，所以，.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.休閑服裝是現(xiàn)代一種新興流行服裝類別名稱，是一種運動衣式的服裝，如網(wǎng)球裝、慢跑裝、高爾夫球裝等，是運動服和平時的生活服的結(jié)合，常用于晨間的拳操、爬山、郊游、打球等.休閑服裝受到當(dāng)今社會各類人士的熱愛.現(xiàn)某機構(gòu)針對本地區(qū)成年人愛穿休閑服裝與性別是否有關(guān)聯(lián)進行了問卷調(diào)查，在本地區(qū)隨機抽取了名成年人樣本進行分析，得到列聯(lián)表如下：愛穿休閑服裝不愛穿休閑服裝總計男性女性總計（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為本地區(qū)成年人愛穿休閑服裝與性別有關(guān)？（2）將此樣本頻率視為總體的概率，從本地區(qū)隨機抽取名成年男性，記這人中“不愛穿休閑服裝”的人數(shù)為，求隨機變量時的概率和隨機變量的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.【正確答案】（1）能，理由見解析（2），【分析】（1）提出零假設(shè)本地區(qū)成年人愛穿休閑服裝與性別相互獨立，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知，利用獨立重復(fù)實驗的概率公式可求得的值，利用二項分布的期望公式可求得的值.【小問1詳解】解：零假設(shè)本地區(qū)成年人愛穿休閑服裝與性別相互獨立，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，所以，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為本地區(qū)成年人愛穿休閑服裝與性別有關(guān).【小問2詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可知，本地區(qū)成年男性不愛穿休閑服裝的概率為，將此樣本頻率視為總體的概率，從本地區(qū)隨機抽取名成年男性，記這人中“不愛穿休閑服裝”的人數(shù)為，則，所以，，.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，推出數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列式求出首項和公比，可得通項公式；（2）根據(jù)錯位相減法可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，則，則數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由，得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，，，所以，所以.19.在中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求證：；（2）若，求.【正確答案】（1）證明過程見詳解（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可得，再利用余弦定理和基本不等式即可證明；（2）利用切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式和正、余弦定理可得，再結(jié)合（1）的結(jié)論和余弦定理即可求解.【小問1詳解】在中，因為，由正弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，因為角是的內(nèi)角，所以，所以.【小問2詳解】由，則，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，.20.三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點在線段上.（1）求證：；（2）若點在上，滿足，點滿足，求實數(shù)使得二面角的余弦值為.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點為線段的中點時，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.21.橢圓：的上頂點為，下頂點為，離心率為，點.（1）水橢圓的方程；（2）過點的動直線交橢圓于，兩點（不同于，兩點），若直線與直線交于點，試問點是否在一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【正確答案】（1）（2）點在定直線上.【分析】（1）先利用題給條件求得a、b的值，進而求得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得直線AN與直線BM交點Q的縱坐標(biāo)，化簡整理即可求得點的縱坐標(biāo)為定值，可得答案．【小問1詳解】橢圓的離心率為，則，則，又，則，解得，則橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意可得，，過點的直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，令，，由，整理得，則，即或，，又直線AN的方程為，直線BM的方程為，由，可得，又，則則直線AN與直線BM交點的縱坐標(biāo)為定值1，所以點在定直線上.22.已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時，；（2