2023-2024學年河北省部分學校高三下學期高考演練數學模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據一元二次不等式以及指數不等式化簡集合,由集合的并運算即可求解.【詳解】由于所以，，所以.故選：D.2．已知復數，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】根據充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】若，可得復數，都為實數，當時，，充分性不成立；反之，若取復數，，滿足，但此時復數，均為虛數，不能比較大小，必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件；故選：D.3．若函數，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據自變量的取值，即可代入到分段函數中，計算即可.【詳解】由于，所以，故，故選C.4．2021年5月22日上午10點40分，祝融號火星車安全駛離著陸平臺，到達火星表面，開始巡視探測.為了幫助同學們深入了解祝融號的相關知識，某學校進行了一次航天知識講座，講座結束之后，學校進行了一次相關知識測試（滿分100分），學生得分都在內，其頻率分布直方圖如下，若各組分數用該組的中間值代替，估計這些學生得分的平均數為（

）

A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2【正確答案】C【分析】根據題意，由頻率之和為1，可得的值，然后結合平均數的計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】由條件可得，則，故得分的平均數為.故選：C5．中國國家大劇院的外觀被設計成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點建立空間直角坐標系，半橢球面的方程為（，，且a，b，c不全相等）.若該建筑的室內地面是面積為的圓，給出下列結論：①；②；③；④若，則，其中正確命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【分析】根據已知得，結合題設判斷各項正誤即可.【詳解】在中，令可得該建筑室內地面對應的曲線方程為，由室內地面是面積為的圓，故，①對；且，則，又不全相等，故，②錯；若，則，可得，與不全相等矛盾，③錯；若，則，故，④對.故選：B.6．已知是第三象限角，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據是第三象限角，，利用二倍角公式整理得，求得，再利用基本關系求解.【詳解】∵是第三象限角，，∴，∴，解得或(舍去)，∴，∴，故選：A.7．直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【正確答案】C【分析】利用圓與直線的位置關系得出的方程，根據方程分析利用表示的幾何意義求解即可.【詳解】由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，故，即點在圓O上，的幾何意義為圓上的點與點之間距離的平方，由圓心為，因為，所以點在圓外，所以點到點的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，即，所以的最大值為.故選：C.8．為了提高同學們對數學的學習興趣，某高中數學老師把《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《海島算經》這4本數學著作推薦給學生進行課外閱讀，若該班A，B，C三名同學有2名同學閱讀其中的2本，另外一名同學閱讀其中的1本，若4本圖書都有同學閱讀（不同的同學可以閱讀相同的圖書），則這三名同學選取圖書的不同情況有（

）A．144種 B．162種 C．216種 D．288種【正確答案】A【分析】利用排列組合公式進行合理分類討論即可.【詳解】分兩種情況：第一種情況，先從4本里選其中2本，作為一組，有種，第二組從第一組所選書籍中選1本，再從另外2本中選取1本作為一組，剩余一本作為一組，再分給3名同學，共有方法；第二種情況：從4本里任選2本作為一組，剩余的兩本作為一組，有種分法，分給3名同學中的2名同學，有種分法，剩余1名同學，從這4本中任選一本閱讀，有種分法，共有種方法.故這三名同學選取圖書的不同情況有種.故選：A.二、多選題9．已知函數的最小正周期為，若，則（

）A．關于直線對稱 B．關于點對稱C．的最大值為 D．的最小值為【正確答案】AD【分析】根據輔助角公式化簡，利用周期的公式求解，進而根據可判斷為的對稱軸，即可判斷AB,利用對稱中心可求解DC.【詳解】由的最小正周期為可得，即，故，由可得，分別為的最大值和最小值，故關于直線對稱，不關于點對稱，故A正確，B錯誤；由可得，故的對稱中心，則，當時，取得最小值，沒有最大值，故C錯誤，D正確.故選：AD10．已知雙曲線的虛軸長為2，過C上點P的直線l與C的漸近線分別交于點A，B，且點P為AB的中點，則下列正確的是（

）A．若且直線l的斜率存在，直線l的方程為B．若，直線l的斜率為1C．若離心率，D．若直線l的斜率不存在，【正確答案】BCD【分析】根據點差法可得直線的斜率，進而可判斷A，利用A選項的求解可判斷B，利用離心率可得漸近線方程，進而聯立直線AB與漸近線方程得交點坐標，利用三角形面積公式以及雙曲線方程可判斷C，根據頂點和漸近線方程可求解D.【詳解】由題意，雙曲線.對于A，若，則，即.設，，則，，利用點差法可得，所以直線l的方程為，即，所以，即，故A錯誤；對于B，若，可得,則，由前面解答過程可知直線l的斜率為，即B正確；對于C，若離心率，可得.則雙曲線，其漸近線方程為，設，，直線，令，則，由A知方程為，聯立方程可得，同理可得，所以，故C正確；對于D，若直線l的斜率不存在，則直線l過雙曲線的頂點，所以，雙曲線的漸近線方程為，當時，代入漸近線方程易得A，B兩點的縱坐標為，所以，故D正確；故選：BCD.11．如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，點P，Q，M分別為，，的中點，下列結論正確的有（

）

A．平面 B．該四棱柱有外接球，則四邊形為正方形C．與平面不可能垂直 D．【正確答案】ABC【分析】根據線線平行即可判斷A，利用外接圓的對角互補，則可判斷B，利用反證法，結合線面垂直的性質定理可判斷C,D.【詳解】對A，連接，由點P，Q，分別為，可得，，所以四邊形為平行四邊形，則，故，平面,平面,則平面，即A正確；對B，若四棱柱有外接球，則四邊形有外接圓，則對角互補，則為正方形，即B正確；對C，若平面，平面,則，由可得，與條件矛盾，故與平面不可能垂直，即C正確；對D，取的中點N，連接，，則，,平面，平面，平面，，，則，故與不垂直，即D錯誤.故選：ABC.

12．設是定義在上的偶函數，其圖象關于直線對稱，當時，，若方程在上恰有個實數解，則（

）A．的周期為4 B．在上單調遞減C．的值域為 D．【正確答案】AD【分析】由對稱性與奇偶性得到函數的周期性，即可判斷A、B，結合所給函數解析式求出函數的值域，即可判斷C，畫出函數與的圖象，數形結合，即可判斷D.【詳解】由的圖象關于對稱可得，再由為偶函數可得，故，即的周期為4，即A正確；當時，由，可得在上單調遞增，故在上單調遞增，即B錯誤；又，，故的值域為，即C錯誤；在同一坐標系下畫出函數與的圖象如圖所示.

由圖可知，要使與在上恰有個不同交點，只需，即，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：AD三、填空題13．已知O為的外心，若，且，則__________.【正確答案】【分析】由平面向量數量積公式進行求解.【詳解】由圓的性質可得，，故.故14．若函數的圖象關于原點對稱，則實數m的值為__________.【正確答案】【分析】根據奇函數的性質根據，即可求解.【詳解】依題意，，即,所以，解得，當時，，定義域不關于原點對稱，故舍去，當時，，定義域為，符合要求，故，故15．函數的最小值為__________.【正確答案】/【分析】根據二倍角公式化簡，即可求解最值.【詳解】因為，所以當時，，此時的最小值為.故四、雙空題16．如圖，在三棱錐中，，，且，點E，F分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.【正確答案】【分析】根據異面直線夾角的定義作輔助線，構造三角形.【詳解】取的中點G，連接，，則，，故或其補角為異面直線與所成的角，過A作平面于點O，連接，，，則，又，且，故平面，故，同理可得，即為的垂心，故，又，，平面，平面，故平面，故，即與所成角為；所以，由可得，故，即異面直線與所成角的余弦值為；故①，②.五、解答題17．已知是公差不為0的等差數列的前n項和，是，的等比中項，.(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前n項和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意列式求解，即可得結果；（2）由（1）可得：，利用錯位相減法求和.【詳解】（1）設數列的公差為d，因為是，的等比中項，則，即，且，整理得①，又因為，整理得②由①②解得，，，所以.（2）由（1）知，，則，可得，兩式相減得，所以.18．為了了解大家對養寵物的看法，某單位對本單位450名員工（其中女職工有150人）進行了調查，發現女職工中支持養寵物的職工占，若從男職工與女職工中各隨機選取一名，至少有1名職工支持養寵物的概率為.(1)求該單位男職工支持養寵物的人數，并填寫下列列聯表；支持養寵物不支持養寵物合計男職工女職工合計450(2)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為該單位職工是否支持養寵物與性別有關？附：，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【正確答案】(1)表格見解析(2)不能認為該單位職工是否支持養寵物與性別有關【分析】（1）運用對立事件列方程求出男職工支持養寵物的概率p，再求出男職工中支持養寵物的人數；（2）根據卡方公式求解.【詳解】（1）從男職工中隨機選取1人，設支持養寵物的概率為，則2人中至少有一名支持養寵物是都不支持養寵物的對立事件，，解得，則男職工中支持養寵物的人數為，列聯表如下：支持養寵物不支持養寵物合計男職工75225300女職工50100150合計125325450（2）零假設為：：性別與態度無關聯；由于，∴不能認為該單位職工是否支持養寵物與性別有關；綜上，男職工中支持養寵物的人數為75；不能認為該單位職工是否支持養寵物與性別有關.19．在中，，，點D為的中點，連接并延長到點E，使.(1)若，求的余弦值；(2)若，求線段的長.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設，由結合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案.（2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，連接，在中，由余弦定理即可求出線段的長.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，設，則，即，解得，所以，在中，由余弦定理知，.（2）在中，由余弦定理知，，所以，化簡得，解得，因為是的中點，所以，在中，由余弦定理知，，所以，因為，所以，在中，由余弦定理知，，連接，在中，由余弦定理知，，所以.

20．如圖，在三棱錐中，平面平面，若為等邊三角形，為等腰直角三角形，且，點E為的中點，點D在線段上，且.

(1)證明：⊥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到，由三線合一得到，從而得到線面垂直，面面垂直，從而證明出結論；（2）建立空間直角坐標線，利用空間向量求解二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，取的中點G，由可得，由可得D為的中點，由E為的中點可得為的中位線，∴，∴，∵E為的中點，，∴，∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC內，∴平面，而平面，∴，又，且平面，∴⊥平面.（2）以C為原點，CA、CB為x、y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，設.則，，，，則，，∴，，，

設平面的一個法向量為，由，解得，令可得，故，由（1）可知為平面的一個法向量，∴，又平面與平面所成二面角為銳角，故所成二面角的余弦值為.21．已知拋物線的焦點為F，直線與C交于A，B兩點，當時，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于M，N兩點，證明：由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據直線拋物線方程的聯立以及拋物線的定義即可求解；（2）根據直線與拋物線方程的聯立以及坐標關系即可求解.【詳解】（1）

當時，直線，與聯立消去y，整理可得，由得，即.設，，可得，所以，由題意可得，準線方程為，根據拋物線的定義可得，，所以，解得，滿足，所以拋物線C的方程為.（2）

直線與聯立可得，由得，即或（舍）設，，則；直線與聯立消去y，整理可得，由得，即或（舍），故，設，，則；因為，同理，所以，所以由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.22．已知函數.(1)若，求的極值；(2)若函數有兩個零點，，且，求證.【正確答案】(1)極大值為，無極小值(2)證明見解析【分析】（1）對求導，判斷的單調性，即可求出的極