2023-2024學年廣東省韶關市高考數學押題模擬試題（4月）一、單選題1．若，則（

）A．1 B． C． D．2【正確答案】B【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡復數，即可得到其共軛復數，從而求出其模.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：B2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由根式、對數性質解不等式和定義域，再應用集合交運算求結果.【詳解】由，則，故，由，則，故，所以.故選：B3．已知是平行四邊形，，若，則（

）A． B．1 C． D．【正確答案】C【分析】根據平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，．故選：C．4．韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區、湞江區、武江區交通道路的瓶頸，成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點，米，橋塔最高點距橋面米，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，設橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.【詳解】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標系，設橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．5．已知四棱臺的下底面為矩形，，高為，且該棱臺的體積為，則該棱臺上底面的周長的最小值是（

）A．15 B．14 C．13 D．12【正確答案】D【分析】設棱臺的上底面矩形邊長分別為，，則下底面矩形邊長分別為，，由棱臺的體積公式得到，再利用基本不等式求出上底面的周長最小值．【詳解】設棱臺的上底面矩形邊長分別為，，則下底面矩形邊長分別為，，則棱臺的體積為，，所以棱臺的上底面的周長為，當時，即上底面的周長最小值為．故選：D．6．函數的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位得到的圖象，則下列說法不正確的是（

）A．函數的最小正周期為 B．函數在上單調遞增C．函數的一個極值點為 D．函數的一個零點為【正確答案】B【分析】根據圖象確定的解析式，然后根據三角函數的變換規則得到的解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷．【詳解】由圖可知，，所以，又，所以；又，所以，，所以，，因為，所以，故，將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變）得到，再向左平移個單位得到，即，所以的圖象的最小正周期為，故A正確；因為，所以，則在上不單調，故B錯誤；對于C：令，，解得，，當時，函數的一個極值點為，所以C正確；對于D：令，，解得，，令，則函數的一個零點為，所以D正確．故選：B．7．已知方程和的解分別是和，則函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據給定條件，利用互為反函數的函數圖象特征求出即可作答.【詳解】方程和依次化為：和，因此和分別是直線與曲線和的交點橫坐標，而函數和互為反函數，它們的圖象關于直線對稱，又直線垂直于直線，因此直線與曲線和的交點關于直線對稱，于是，函數，所以函數的單調遞減區間是.故選：A8．定義為與距離最近的整數（當為兩相鄰整數算術平均數時，取較大整數），令函數，如：，，，，則（

）A．17 B． C．19 D．【正確答案】C【分析】根據題意，分析的規律，將重新分組，第組為個，則每組中各個數之和為，分析所在的組，進而計算可得答案．【詳解】根據題意，函數，當時，有，則，則有，當，有，則，則有，當，有，則，則有，當，有，則，則有，，當時，，，此時，包含，，，，共個整數，由此可以將重新分組，各組依次為、、、，，第組為個，則每組中各個數之和為，前組共有個數，則是第組的第個數，則．故選：C．關鍵點睛：本題解答的關鍵是找到的規律，確定所在的分組.二、多選題9．曲線C的方程為，則（

）A．當時，曲線C是焦距為的雙曲線B．當時，曲線C是焦距為的雙曲線C．曲線C不可能為圓D．當時，曲線C是焦距為的橢圓【正確答案】AD【分析】變形給定的方程，利用各選項的條件，結合圓、橢圓、雙曲線的特征判斷作答.【詳解】對于A，當時，方程化為，曲線是焦距為的雙曲線，A正確；對于B，當時，方程化為，曲線是焦點在y軸上，焦距為的橢圓，B錯誤；對于C，當時，曲線表示圓，C錯誤；對于D，當時，方程化為，曲線是焦點在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD10．下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機變量X服從二項分布，若，則B．已知隨機變量X服從正態分布，若，則C．已知，，，則D．已知，，，則【正確答案】ACD【分析】利用二項分布期望公式及性質計算判斷A；利用正態分布的對稱性計算判斷B；利用條件概率公式推理判斷C；利用全概率公式計算判斷D作答.【詳解】對于，由二項分布的期望公式，，由期望的性質得，則，正確；對于，由正態分布曲線的性質知，，根據對稱性知，，于是，B錯誤；對于C，由，得，所以，C正確；對于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正確.故選：ACD11．如圖所示，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點，過直線的平面分別與棱，交于點，，以下四個命題中正確的是（

）

A．四邊形一定為矩形 B．平面平面C．四棱錐體積為 D．四邊形的周長最小值為【正確答案】BC【分析】對于A，由正方體的性質得平面平面，從而，同理得，再由，得四邊形為菱形；對于B，連接，，，推導出，，從而得到平面平面；對于C，求出四棱錐的體積進行判斷；對于D，四邊形是菱形，當點，分別為，的中點時，四邊形的周長最小．【詳解】連接，，，，，顯然，且，所以為平行四邊形，所以，由題意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，則平面，平面，所以平面平面，故B正確；由正方體的性質得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四邊形為菱形，故A錯誤；對于C，四棱錐的體積為：，故C正確；對于D，四邊形是菱形，四邊形的周長，當點，分別為，的中點時，四邊形的周長最小，此時，即周長的最小值為4，故D錯誤．故選：BC．

12．已知是周期為4的奇函數，且當時，.設，則（

）A．函數是奇函數也是周期函數B．函數的最大值為1C．函數在區間上單調遞減D．函數的圖象有對稱中心也有對稱軸【正確答案】BCD【分析】根據判斷判斷奇函數，判斷周期性，求出在的解析式，根據圖象平移寫出在上解析式并判斷奇偶性，進而可得解析式，結合周期性判斷B、C，最后利用、判斷D.【詳解】由，令，則，故；令，則，故；所以，綜上，一個周期內，由，而，故不是奇函數，但周期為4，A錯；所以，是將圖象右移一個單位，故在一個周期圖象如下：由圖象平移知：，且為偶函數，所以，故的最大值為1，B對；由周期性知：在上單調性同區間，即單調遞減，C對；由，由，注意：根據周期性有、，綜上，關于中心對稱、關于軸對稱，D對.故選：BCD關鍵點點睛：利用奇函數、周期性判斷的奇偶性、周期性，再應用奇偶性求解析式，結合圖象寫出解析式，最后求出在一個周期內的解析式關鍵.三、填空題13．已知甲、乙、丙、丁四位高三學生拍畢業照，這四位同學排在同一行，則甲、乙兩位學生相鄰的概率為______.【正確答案】/【分析】利用捆綁法，先將甲、乙兩位學生看成一個整體，再與剩余學生排列，結合古典概型運算求解.【詳解】四位同學排列，共用種不同排法，若甲、乙兩位學生相鄰，共用種不同排法，所以甲、乙兩位學生相鄰的概率.故答案為.14．已知銳角滿足，則______.【正確答案】【分析】利用倍角公式可求得，再利用同角三角關系結合誘導公式運算求解.【詳解】因為，整理得，解得或，又因為為銳角，則，可得，則，即，可得，解得或（舍去），所以.故答案為.15．將一個圓心角為、面積為的扇形卷成一個圓錐，則此圓錐內半徑最大的球的表面積為______.【正確答案】/【分析】求出圓錐底面圓半徑及母線長，再利用圓錐及內切球的軸截面求出球半徑作答.【詳解】設圓錐底面圓半徑為，母線長為，依題意，，解得，圓錐內半徑最大的球為圓錐的內切球，圓錐與其內切球的軸截面，如圖中等腰及內切圓，

，點為邊的中點，，因此的面積，設的內切圓半徑為，則有，解得，此球的表面積為，所以圓錐內半徑最大的球的表面積為.故四、雙空題16．已知拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為的直線l交拋物線C于A，B兩點，則以線段AB為直徑的圓D的方程為______；若圓D上存在兩點P，Q，在圓T：上存在一點M，使得，則實數a的取值范圍為______.【正確答案】【分析】根據給定條件，聯立直線與拋物線的方程求出線段AB的中點D的坐標及弦長作答；按點M在圓D及內部和在圓D外探討構成條件，再結合兩圓有公共點求解作答.【詳解】過拋物線的焦點且斜率為的直線為，由消去，得，設，有，于是的中點為，且，

所以以線段為直徑的圓的半徑，方程為；對圓及內任意一點，必可作互相垂直的兩直線與圓D相交，則圓上存在兩點,，使，對圓外任意一點，,是圓上兩點，當,與圓相切時，最大，此時為矩形，，從而以線段為直徑的圓上存在兩點,，在圓上存在一點，使得，等價于以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點，因此，解得，所以實數a的取值范圍為.故；方法點睛：判斷兩圓的位置關系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關系，一般不采用代數法．兩圓相切注意討論內切外切兩種情況.五、解答題17．設等比數列的前項和為，已知，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設等比數列的公比為，根據，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分組求和法計算可得．【詳解】（1）設等比數列的公比為，①，，當時，有，當時，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．18．如圖，在三棱柱中，為的中點，，，，點在底面上的射影為點.

(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，可得，進而可證平面；（2）如圖以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成角的余弦值，即可得解．【詳解】（1）連接交于點，連接，則是的中點，由于、分別是，的中點，所以，由于平面，平面，所以平面；

（2）由點在底面上的射影為點，所以平面．在中，，，，，過作的平行線為，易知，，兩兩垂直，如圖以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，得，，，，，設平面的法向量，，令，則，，，設平面的法向量為，，令，則，，平面的法向量為，設平面與平面所成角為，所以，則，所以平面與平面所成角的正弦值為．19．在中，，，點為內一點.

(1)若（圖1），求的面積；(2)若（圖2），求的最小值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，從而可得，利用面積公式即可求解；（2）設，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）設，因為，則，則，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因為，則，即當時，．20．研究表明，如果溫差太大，人們不注意保暖，可能會導致自身受到風寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于兒童以及年老體弱的人群，要多加防范.某中學數學建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學學生患感冒就診人數多少之間的關系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫室查閱了這六天中每天學生新增感冒就診的人數，得到數據如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差（℃）47891412新增感冒就診人數(位)參考數據：，.(1)已知第一天新增感冒就診的學生中有位男生，從第一天新增的感冒就診的學生中隨機抽取位，其中男生人數記為，若抽取的人中至少有一位女生的概率為，求隨機變量的分布列和數學期望；(2)已知兩個變量與之間的樣本相關系數，請用最小二乘法求出關于的經驗回歸方程，據此估計晝夜溫差為時，該校新增感冒就診的學生人數.參考公式：，.【正確答案】(1)分布列見解析，(2)，人【分析】（1）首先根據抽取的2人中至少有一位女生的概率為，計算出的值，從而可得隨機變量的取值，根據超幾何分布概率計算可得分布列和期望；（2）首先根據樣本相關系數和已知條件計算出，的值，進一步計算可得的值，利用最小二乘法計算的值，從而可得線性回歸方程，將代入即可求得結果．【詳解】（1）依題意，所以，所以，解得或（舍去），即第一天新增患感冒而就診的學生有位，其中男生位，女生位，則隨機變量的可能取值為：0，1，2，且服從超幾何分布，其中，，，所以，，，所以的分布列為012則數學期望；（2）依題意可得，所以，由于，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，當時，，所以可以估計，晝夜溫差為時，該校新增患感冒的學生人數人．21．已知雙曲線的左右焦點為，，經過的圓（為坐標原點）交雙曲線的左支于，，且為正三角形.(1)求雙曲線的標準方程及漸近線方程；(2)若點為雙曲線右支上一點，射線，分別交雙曲線于點，，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【正確答案】(1)，漸近線方程為．(2)為定值，且定值為【分析】（1）依題意可得，設與軸交于點，求出，，即可得到點坐標，代入方程求出，即可得到雙曲線方程，再求出漸近線方程．（2）分軸與不垂直軸，當不垂直軸時設，，，表示出，聯立方程組，利用韋達定理，求出對應長度關系，進行化簡證明即可．【詳解】（1）因為為正三角形，由對稱性知，又因為，設與軸交于點，所以，，不妨設，所以，即，則，即，即，所以，所以雙曲線的標準方程為，漸近線方程為．（2）由（1）可得，，①當軸時，由對稱性不妨設點，，所以直線，即，代入，消去得，得或（舍去），，，，則，②當不垂直軸時，由對稱性不妨設，，，直線，代入，消去得，因為，所以，由韋達定理，所以，同理，所以，所以為定值，且定值為．方