第四章

圖形的相似4.4探索三角形相似的條件

北師大版九年級上冊新課導(dǎo)入講授新課當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、熟練掌握利用兩角分別相等的兩個三角形相似；2、熟練掌握利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；3、掌握三邊成比例的兩個三角形相似；導(dǎo)入新課溫故知新相似多邊形定義：各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.A1B1C1D1E1F1ABCDEF六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1F1思考：什么叫相似三角形呢？觀察教師的一個三角板(有30°，60°的角)，這兩個三角板的外圍的三角形的三個內(nèi)角有什么關(guān)系?這些三角形相似嗎?講授新課知識點一

相似三角形的判定定理1定義：三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.三角形ABC∽三角形A1B1C1ABCA1B1C1相似三角形的概念思考：兩個三角形至少滿足什么條件就相似呢？類比兩個三角形全等的條件，尋找判定兩個相似的條件？ABCA1B1C1判定方法全等三角形相似三角形角邊角ASA角角邊AAS邊邊邊SSS邊角邊SASHL三角形全等的性質(zhì)和判定方法有哪些？思考

全等是一種特殊的相似，那你猜想一下，判定兩個三角形相似需要幾個條件？直角邊、斜邊思考：如果兩個三角形只有一個角相等，它們相似嗎？ABCA1B1C1不一定那如果兩個三角形有兩個角相等，它們相似嗎？60°60°操作：畫△ABC，使∠A=30°,∠B=45°,再畫△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.觀察這兩個三角形形狀相同嗎？ABCA′B′C′請問∠C=∠C′嗎？量出這兩個三角形的三邊，計算對應(yīng)邊是否對應(yīng)成比例？由此你可以得出什么結(jié)論？這兩三角形是相似的猜想：兩角分別相等的兩個三角形相似.已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求證：△ABC∽△A′B′C′.B’A’DEC’BAC證明：兩角分別相等的兩個三角形相似典例精析證明：在△A′B′C′的邊A′B′、A′C′上，分別截取A′D=AB，A′E=AC，連接DE.

∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′=∠B，

∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′，

B’A’DEC’BAC【例1】已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求證：△ABC∽△A′B′C′.過D連接DF//A′C′

∵DF//A′C′,DE∥B′C′∴四邊形EDFC′是平行四邊形

∴DE=FC′，∵

∴△A′DE∽△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’F兩角分別相等的兩個三角形相似.用數(shù)學(xué)符號表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'相似三角形的判定定理：注意：對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置.1.如圖，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.

求證：△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB.∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.（兩角分別相等的兩個三角形相似．）練一練知識點二

相似三角形的判定定理2問題1.有兩邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似嗎?3355不相似問題2.類比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么條件來判定兩個三角形相似？3355相似①任意畫△ABC;②再畫△A′B′C′，使∠A′=∠A,且

③量出B′C′及BC的長，計算的值，并比較是否三邊都對應(yīng)成比例？④量出∠B與∠B′的度數(shù)，∠B′=∠B嗎？∠C′=∠C嗎？⑤由上面的畫圖，你能發(fā)現(xiàn)△A′B′C′與△ABC有何關(guān)系？

我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的畫一畫猜想：兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.已知：在△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點D，使A′D=AB.過點D作DE∥B′C′,交A′C′于點E.∵DE∥B′C′,∠ADE=∠B′,∠A′ED=∠C′∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似.典例精析

∵A′D=AB，∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'【例2】已知：在△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′，求證：△A′B′C′∽△ABC.

如果△ABC與△A'B'C'兩邊成比例，且其中一邊所對的角相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？由此你能得到什么結(jié)論？知識拓展33CC60°)4AB)C′1.5B′260°A′判定定理2：

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似探究相似三角形的條件用數(shù)學(xué)符號表示：∵∠A=∠A'，∴ΔABC∽ΔA'B'C'練一練解：∵AE=1.5，AC=2，∴∵∴

又∵∠EAD=∠CAB,

∴△ADE∽△ABC(兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似)∴ ∴BC=3.∴DE=1.如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC,AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3,且，求DE的長.ACBED2.如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且求證：∠ACB=90°．ABCD解：∵CD是邊AB上的高,

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ABC∽△DEF.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.知識點三

三角形相似的判定3思考：類比全等三角形的判定方法，還有其他判定兩個三角形相似的方法嗎？兩個三角形的三邊成比例，那么這兩個三角形一定相似嗎？ABCA1B1C1操作：畫△ABC與△A1B1C1，使(1)比較∠A與∠A1的大小，△ABC與△A1B1C1相似嗎？ABCA1B1C1(2)改變k值的大小，△ABC與△A1B1C1還相似嗎？猜想：三邊成比例的兩個三角形相似ABCA1B1C1

求證：三邊成比例的兩個三角形相似已知：在△ABC與△A1B1C1中，求證：△ABC∽△A1B1C1典例精析證明:在△A1B1C1的邊A1B1(或延長線)上截取A1D=AB,過點D作DE∥B1C1交A1C1于點E.∵DE∥B1C1

，∴△ADE∽△A1B1C1.ABCA1B1C1DE【例3】已知：在△ABC與△A1B1C1中，求證：△ABC∽△A1B1C1∴又∴∴∴（SSS）∵∴ABCA1B1C1DE三邊成比例的兩個三角形相似相似三角形的判定定理3：用數(shù)學(xué)符號表示：∴△ABC∽△A1B1C1∵

ABCA1B1C1判定三角形相似的方法：

如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應(yīng)邊的比值，看是否相等，計算時最長邊與最長邊對應(yīng)，最短邊與最短邊對應(yīng)（注意：大對大，小對小，中對中）總結(jié)歸納練一練1.如圖,小方格的邊長為1，△ABC與△A′B′C′相似嗎?CBAA′B′C′解：△ABC∽△A′B′C′小結(jié)：先求邊，然后排序，最后作比.

2.如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°,求∠CAE的度數(shù).解：∵

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE.

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.

∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.ABCDE知識點四

黃金分割如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC如果ACABACBC=那么稱線段AB被點C

黃金分割點C叫做線段AB的黃金分割點AC與AB的比叫做黃金比.CAB(AC2=AB?BC)ACBCACAB=()計算黃金比.解：由，得AC2

=AB·BC.設(shè)AB=1，AC=x,則BC=1–x.

∴x2=1×（1-x）.即x2+x–1=0.解方程得：x1=x2=黃金比≈0.618:1ACABACBC=

CAB2.如圖，已知線段AB按照如下方法作圖:1.經(jīng)過點B作BD⊥AB,使BD=AB2.連接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.思考：點C是線段AB的黃金分割點嗎?ABDEC黃金分割點的畫法ACABACBC=即求=：1ABDEC解：設(shè)BD=x，AB=2x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴AD=xDE=x，AE=x–x=AC=ACAB=2x=練一練1.在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比值越接近0.618越給人以美感.小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該穿多高的高跟鞋看起來會更美？解：設(shè)肚臍到腳底的距離為xm，根據(jù)題意，得 ，解得x=0.96.設(shè)穿上ym高的高跟鞋看起來會更美，則 解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她應(yīng)該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來會更美.當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)利用兩角判定三角形相似定理：