/2025年八省聯考新高考數學模擬練習卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A=x47?x≥1,B=A．3,7 B．2,3 C．2,3∪7,10 2．已知a∈R，使得命題“曲線y=x3+ex在點0,1A．a∈0,12 B．a∈12,13．已知向量a=m,1，b=9,m，則“m=3”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．對于函數y=fx，若存在x0使fx0+f?x0=0，則稱點x0,fA．3?25,0 C．?∞,3+255．已知PA>0，PB|A+PB=1，則事件A．互斥 B．對立 C．獨立 D．以上均不正確6．將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為（

）A．32π3 B．2821π7 7．拋物線E:x2=4y與圓M:x2+(y?1)2=16交于A、B兩點，圓心M(0,1)，點P為劣弧AB上不同于A、BA．(6,12) B．(8,10) C．(6,10) D．(8,12)8．已知函數fx①fx②fx的最小正周期為2③fx在?④fx=3其中正確結論的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知z1=i40?i，1?2iz2A．z1=2 B．z2的虛部為?i 10．設an是各項均為正數的等比數列，其公比為≠1，正整數m,k,p,r滿足m<p<r<k，且m+k=p+r，則（

A．am?aC．am3?11．如圖，球O的兩個截面圓O1和圓O2的圓心分別為O10,0,?1,O20,1,0，半徑均為2，且圓O1和圓O2所在平面分別與z軸和y軸垂直．若動點P,Q分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，其中點P,Q的起始點分別為AA．球O的表面積為20B．當t=6時，PQC．存在時刻t，使得點P,Q在球面上相遇D．PQ的最大值為25三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若2x?m(x?1)5的展開式中x3的系數為40，則實數13．圓臺O1O14．已知A,B為橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0上關于原點O對稱的兩點（異于頂點），點C在橢圓上且AC⊥AB，設直線四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PB=PD=4,∠PDA=π3,M是CD的中點，(1)證明：平面PAM⊥平面ABCD；(2)若N是棱PB上靠近點P的三等分點，求直線CD與平面AMN所成角的大小.16．“一帶一路”是促進各國共同發展，實現共同繁榮的合作共嬴之路．為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿易量情況，隨機抽查了100天進口貿易量與出口貿易量（單位：億元人民幣/天），整理數據得下表：進口貿易量出口貿易量0,5050,100100,1500,503218450,1006812100,1503710(1)用頻率估計概率，試估計事件“我國與該國貿易中，一天的進口貿易量與出口貿易量均不超過100億元人民幣”的概率．(2)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表．進口貿易量出口貿易量0,100100,1500,100100,150(3)依據α=0.01的獨立性檢驗，能否認為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量有關？附：χ2=nα0.050.010.001x3.8416.63510.82817．已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程(2)動直線l:y=kx+mm≠0交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M，D為線段AB的中點，點N是M關于O的對稱點，以N點為圓心的圓過原點O，直線DF與⊙N相切于點F，求ND18．已知函數fx=e(1)討論函數fx(2)若f'x?3ax≥b19．已知數列A:a1,a2,?,a2m為2m個數1,2,?,2m的一個排列，其中m∈N?，且m≥3.若在集合(1)當m=3時，判斷數列B:1,5,3,4,6,2和數列C:6,5,2,4,1,3是否具有性質P；(2)若數列a2n?1和a2n(n=1,2,?,m)均為等差數列，且a1=1，a2m=2，證明：對于所有的偶數(3)在所有由1,2,?,2m的排列組成的數列中，記具有性質P的數列的個數為S，不具有性質P的數列的個數為T，證明：對于任意m(m≥3)，S>T.答案解析1．【正確答案】C【詳解】令47?x≥1，所以47?x?7?x7?x≥0解得x∈3,7，故A=3,7，所以因為B=2,10，所以?故選：C2．【正確答案】B【詳解】因為y=x3+ex故曲線y=x3+ex在點0,1聯立y=x+1y=ax2因為切線y=x+1與曲線y=ax2+2ax+2當a=0時，方程?x+1=0有唯一解，不滿足題意，當a≠0時，Δ=2a?12綜上所述，a∈2?由12,1故選：B.3．【正確答案】A【詳解】若m=3，則a=3,1，b=9,3，此時若a//b，由向量共線定理，得m2所以“m=3”是“a//故選：A.4．【正確答案】D【詳解】若函數fx存在“優美點”，則函數f當x<0時，fx所得圖象的解析式為gx所以只要射線y=kx+5x≥0與g由y=?x2+3x,x>0所以k?3=?x+由基本不等式可得x+5所以k?3≤?25，即k≤3?2故選：D.5．【正確答案】D【詳解】由P(AB)=P(B|A)P(A)，又PB|A+PB若A與B互斥或對立，則P(AB)=0，即P(B)=1,P(B)=0，而若A與B相互獨立，則P(B)=P(AB)P(A)=1?P(B)?P(B)=故選：D6．【正確答案】A【詳解】若將這2個直三棱柱合成1個高為4的直三棱柱，則底面正三角形的外接圓半徑r=2所以其外接球的半徑為23若將這2個直三棱柱合成1個高為2的直四棱柱，則底面為邊長為2，銳角為60°的菱形，則底面菱形的外接圓半徑r=2sin所以其外接球的半徑為(3故該球體的體積的最小值為4π故選：A.7．【正確答案】B【詳解】如圖，可得圓心M(0,1)也是拋物線的焦點，過P作準線的垂線，垂足為H，根據拋物線的定義，可得MN=NH故ΔPMN的周長l=NH+NP+MP=PH+4，由x2=4yx2+PH的取值范圍為(4,6)，∴ΔPMN的周長PH+4的取值范圍為(8,10).故選：B.8．【正確答案】B【詳解】因為f(x)的定義域為R，f(?x)=cos所以f(x)為偶函數，①正確．由f(x)=f(x+π)，可得f(x)的最小正周期為當x∈(?π2,0)時，函數y=當x∈(?1,0)時，函數y=cosx單調遞增，故f(x)在當x∈(0,π2)時，函數y=當x∈(0,1)時，函數y=cosx單調遞減，故f(x)在f(x)=32，則sinx=π6+2kπ當x∈[0,π]時，sinx=π6+2kπ故f(x)=32在故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．【正確答案】ACD【詳解】∵z∵1?2iz∵z1+a=1+a?i為純虛數，∵z2?bi=?1?故選：ACD10．【正確答案】ACD【詳解】由題意知q>0且q≠1，由m+k=p+r，得am①當q>1時，an為遞增數列，所以am<則有ak?a兩邊平方，得ak?am2所以ak2+am②當0<q<1時，an為遞減數列，所以a從而am?a兩邊平方，得ak?a所以ak2+am由①②可得，選項A正確，選項B錯誤；根據冪函數和等比數列an的單調性，得數列an3是單調數列，即a若數列an3為遞增數列，則am3<兩邊平方得ak又amak=a得到ak若數列an3為遞減數列，則am3>兩邊平方得ak又amak=a得到ak所以選項C，D均正確.故選：ACD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，設球O的半徑為R，由題意O到圓面O1和圓面O2的距離為所以R=5，所以球O的表面積為S=4對于B，由題意，A(0,?2,?1)，B(0,1,2)，O1(0,0,?1)，因為動點P,Q分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，設P,Q兩點運動的角速度為ω，所以T=12=2πω所以P,Q兩點分別從A,B同時出發，按箭頭方向沿圓周O1,O運動t秒后，P(?2sinπt6,?2PQ2=18+8cos當t=6時，PQ2所以PQ=對于C，令k=cosπt則PQ2當k=?1時，PQmin所以不存在時刻t，使得點P,Q在球面上相遇，故C錯誤；對于D，當k=12時，PQ2max=20，cosPQmax故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．【正確答案】?6【詳解】因2x?m(x?1)故其展開式中x3的系數為2C5故?6.13．【正確答案】27【詳解】由題意作出軸截面ABCD，并將其補充成等腰三角形ABE，則AB=10，CD=5，AD=BC=3，因為DC//AB，DC=1所以DC為三角形ABE的中位線，則DE=EC=AD=3，在△ABE中利用余弦定理得，cos∠AEB=因為∠AEB=(0,π)，所以過圓臺兩條母線所作截面也為等腰梯形，并將其補成的等腰三角形，設其頂角為α，則S截面因為α>0，且αmax=∠AEB，則當α=π2時，故27214．【正確答案】63【詳解】設Ax由|OP|2=2所以|OP|=2OAcos∠AOP，所以2x1因為Ax1,兩式相減可得x12?所以y1?y所以kAC·又AC⊥AB，所以kAB·k所以?b2a所以橢圓Γ離心率的值為e=c故63四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．【正確答案】(1)證明見解析 (2)π【詳解】（1）證明：因為四邊形ABCD為正方形，M為CD的中點，AM=5，所以AD=2在△PAD中，由余弦定理得PA=AD因為PA2+AD2因為AB=AD,PB=PD,PA=PA，所以△PAB≌△PAD，所以PA⊥AB.又因為AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.又因為PA?平面PAM，所以平面PAM⊥平面ABCD.（2）由（1）得PA=23,AB=AD=2,AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z則A0,0,0于是AM=設平面AMN的法向量為n=則AM?n=0令x=?2，可得n=設直線CD與平面AMN所成的角為θ，則sinθ=cos<故直線CD與平面AMN所成的角為π316．【正確答案】(1)1625 (2)列聯表見解析 【詳解】（1）解：由題表中的信息可知，在這100天中，進口貿易量與出口貿易量均不超過100億元人民幣的天數為32+18+6+8=64，用頻率估計概率，可得所求概率P=64（2）列出2×2列聯表如下：進口貿易量出口貿易量0,100100,1500,1006416100,1501010（3）零假設為H0由（2）得χ2所以依據α=0.01的獨立性檢驗，推斷H017．【正確答案】(1)x24+y【詳解】（1）由橢圓的離心率為22，得a又當x=2時，y2=b所以a2=4，b（2）設A（x1，y1），B（x2聯立方程y=kx+mx2+2由Δ>0得m且x1因此y1所以D又N（0，-m），所以|ND整理得：|ND|因為NF所以|ND令t=8k2所以|ND因為y=t+1t上單調遞增，因此y=t+1t此時|ND|18．【正確答案】(1)答案見解析； (2)e2【詳解】（1）因為fx=e當a=0時，fx=e當a≠0時，由fx=e令gx=x當x<0或x>2時，g'x<0當0<x<2時，g'x>0當x→?∞時，gx→+∞；當x>0時，gx作出gx所以當?1a<0，即a>0時，g當0<?1a<4e2，即當?1a=4e2，即當?1a>4e2，即綜上，當a≥0時，函數fx有0個零點；當?e2當a=?e24時，函數fx有2個零點；當（2）因為fx=e因為f'x?3ax≥b令?x=e當a<0時，由y=ex與當x→?∞時，y=ex所以?x當a=0時，?x=ex?b≥0當a>0時，則當x>lna時，?'當x<lna時，?'所以?x≥?ln所以ab≤a令φx=x2?易知當x∈0,e時，φ'當x∈e,+∞時，φ所以φx≤φe當且僅當a=e，b=e2所以ab的最大值為e219．【正確答案】(1)數列B不具有性質P，數列C具有性質P.(2)證明見解析 (3)證明見解析【詳解】（1）當m=3時，若數列B:1,5,3,4,6,2具有性質P，則集合1,2,3,4,5中至少有一個元素i，使得|驗證可得，不存在i，使得|ai?ai+1對于數列C:6,5,2,4,1,3，集合1,2,3,4,5中存在元素i=2時，滿足