PAGE1-核心素養提升練三十四二元一次不等式(組)與簡潔的線性規劃問題(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列各點中,與點(2,2)位于直線x+y-1=0的同一側的是 ()A.(0,0) B.(-1,1)C.(-1,3) D.(2,-3)【解析】選C.點(2,2)使x+y-1>0,點(-1,3)使x+y-1>0,所以此兩點位于x+y-1=0的同一側.2.不等式組所表示的平面區域的面積為 ()A.1 B. C. D.【解析】選D.作出不等式組對應的區域為△BCD,由題意知xB=1,xC=2.由得yD=,所以S△BCD=×(xC-xB)×=.3.(2024·北京高考)若x,y滿意則x+2y的最大值為 ()A.1 B.3 C.5 D.9【解析】選D.線性約束條件表示的平面區域如圖陰影部分所示,將z=x+2y轉化為y=-x+,由直線l:y=-x平移可知,當直線y=-x+過點A時,z=x+2y的值最大,由解得A(3,3),所以zmax=3+2×3=9.4.(2024·天津高考)設變量x,y滿意約束條件則目標函數z=3x+5y的最大值為 ()A.6 B.19 C.21 D.45【解析】選C.在平面直角坐標系中畫出可行域ABCD以及直線l:3x+5y=0,平移直線l,可知:當直線l過點C(2,3)時,z取得最大值為3×2+5×3=21.5.若變量x,y滿意約束條件則z=(x-1)2+y2的最大值為 ()A.4 B. C.17 D.16【解析】選C.z=(x-1)2+y2表示可行域內的點(x,y)與點P(1,0)間距離的平方.畫出約束條件所表示的平面區域如圖中陰影部分所示,易知P(1,0)與A(2,4)間的距離最大,因此zmax=(2-1)2+42=17.【變式備選】(2024·棗莊模擬)已知實數x,y滿意約束條件則ω=的最小值是 ()A.-2 B.2 C.-1 D.1【解析】選D.作出不等式組對應的平面區域如圖(不包括y軸),ω=的幾何意義是區域內的點P(x,y)與定點A(0,-1)所在直線的斜率,由圖象可知當P位于點D(1,0)時,直線AP的斜率最小,此時ω=的最小值為=1.6.(2024·南昌模擬)設變量x,y滿意約束條件則z=|x-3y|的最大值為 ()A.10 B.8 C.6 D.4【解析】選B.不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示.當平移直線x-3y=0過點A時,m=x-3y取最大值;當平移直線x-3y=0過點C時,m=x-3y取最小值.由題意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以mmax=-2-3×(-2)=4,mmin=-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即zmax=8.7.設關于x,y的不等式組表示的平面區域內存在點P(x0,y0),滿意x0-2y0=2,則m的取值范圍是 ()A. B.C. D.【解析】選C.圖中陰影部分表示可行域,要求可行域內包含y=x-1上的點,只須要可行域的邊界點(-m,m)在y=x-1下方,也就是m<-m-1,即m<-.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2024·北京高考)若x,y滿意x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是________.

【解析】x+1≤y≤2x,等價于不等式組畫出可行域如圖,令z=2y-x,化為斜截式得y=x+z,直線斜率為,在y軸上的截距為z,直線越往下,z越小,z越小,由得最優解為(1,2),所以z=2y-x的最小值為3.答案:39.(2024·全國卷Ⅲ)若變量x,y滿意約束條件則z=x+y的最大值是________.

【解析】作出可行域由圖可知目標函數在直線x-2y+4=0與x=2的交點(2,3)處取得最大值3.答案:310.(2024·廣州模擬)已知x,y滿意約束條件若z=x-ay(a>0)的最大值為4,則a=________.

【解析】作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示,則A(2,0),B(-2,-2).明顯直線z=x-ay過A時不能取得最大值4.若直線z=x-ay過點B時取得最大值4,則-2+2a=4,解得a=3,此時,目標函數為z=x-3y,作出直線x-3y=0,平移該直線,當直線經過點B時,截距最小,此時,z的最大值為4,滿意條件.答案:3(15分鐘30分)1.(5分)若實數x,y滿意且z=2x+y的最小值為4,則實數b的值為()A.1 B.2 C. D.3【解析】選D.作出不等式組表示的平面區域如圖陰影所示,由圖可知z=2x+y在點A處取得最小值,且由解得所以A(1,2).又由題意可知點A在直線y=-x+b上,所以2=-1+b,解得b=3.2.(5分)(2024·廣州模擬)某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元,每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的支配中,要求每天消耗A,B原料都不超過12千克.通過合理支配生產支配,從每天生產的甲、乙兩種產品中,公司共可獲得的最大利潤是()A.1800元 B.2400元C.2800元 D.3100元【解析】選C.設該公司生產甲產品x桶,生產乙產品y桶,獲利為z元,則x,y滿意的線性約束條件為目標函數z=300x+400y.作出可行域,如圖中四邊形OABC的邊界及其內部整點.作直線l0:3x+4y=0,平移直線l0經可行域內點B時,z取最大值,由得B(4,4),滿意題意,所以zmax=4×300+4×400=2800(元).3.(5分)(2024·石家莊模擬)在平面直角坐標系中,不等式組(r為常數)表示的平面區域的面積為π,若x,y滿意上述約束條件,則z=的最小值為____________.

【解析】作出不等式組表示的平面區域,如圖中陰影部分所示,由題意,知πr2=π,解得r=2.z==1+,表示可行域內的點與點P(-3,2)連線的斜率加上1,由圖知當可行域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最小.設切線方程為y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,則有=2,解得k=-或k=0(舍去),所以zmin=1-=-.答案:-【變式備選】已知實數x,y滿意條件則z=的最小值為________.

【解析】不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.目標函數z==表示可行域內一點與點(2,0)連線的斜率,可知過點(2,0)作半圓的切線,切線的斜率為z=的最小值,設切線方程為y=k(x-2),則A到切線的距離為1,故1=,解得k=.答案:4.(15分)某化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料,須要A,B,C三種主要原料.生產1車皮甲種肥料和生產1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數如表所示: 原料肥料ABC甲483乙5510現有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎上生產甲、乙兩種肥料.已知生產1車皮甲種肥料,產生的利潤為2萬元;生產1車皮乙種肥料,產生的利潤為3萬元.分別用x,y表示支配生產甲、乙兩種肥料的車皮數.(1)用x,y列出滿意生產條件的數學關系式,并畫出相應的平面區域.(2)分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產生最大的利潤?并求出此最大利潤.【解析】(1)由已知,x,y滿意的數學關系式為該二元一次不等式組所表示的平面區域為圖1中的陰影部分的整數點.(2)設利潤為z萬元,則目標函數為z=2x+3y.考慮z=2x+3y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z改變的一族平行直線,為直線在y軸上的截距,當取最大值時,z的值最大.又因為x,y滿意約束條件,所以由圖2可知,當直線z=2x+3y經過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.解方程組得點M的坐標為(20,24).所以zmax=2×20+3×24=112.答:生產甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時利潤最大,且最大利潤為112萬元.【變式備選】投資人制定投資支配時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現的虧損,一投資人準備投資甲、乙兩項目.依據預料,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為50%和40%,可能的最大虧損率分別為30%和20%.投資人支配投資金額不超過10萬元,要求確保可能的資金虧損不超過2.4萬元.設甲、乙兩個項目投資額分別為x,