絕密★考試結束前2024學年第二學期期中杭州地區（含周邊）重點中學高二年級數學學科試題命題：奉化中學丁少杰、孫圣審題：臨安中學方銘象山中學許澤建校稿：求蓮萍考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘：2．答題前，在答題卷密封區內填寫班級、學號和姓名，座位號寫在指定位置：3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效：4．考試結束后，只需上交答題卷。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合包含的元素，再求集合的交集即可.【詳解】，則，，則，則.故選：B.2.復數，則復數在復平面內的對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先由共軛復數求出，再利用復數的除法運算可得.【詳解】由題意可得，所以，所以復數在復平面內的對應點位于第一象限.故選：A3.若為一組從小到大排列的數1，2，3，5，7，8，11的第上四分位數，則二項式的展開式的常數項是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】利用百分位數的概念計算，再利用二項式展開式通項公式求常數項即可.【詳解】因，所以的第上四分位數是，即，則，由解得，所以常數項為，故選：D.4.過拋物線的焦點，且與直線垂直的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線焦點坐標和直線垂直的斜率關系求解.【詳解】拋物線的焦點為，設與直線垂直的直線方程為，代入，可得，故所求直線方程為，即.故選：B.5.有兩個盒子，第一個盒子恰有1個紅球，4個黃球，第二個盒子恰有2個紅球，3個黃球．現從這兩個盒子中等可能地選擇一個盒子，然后從中任意摸出2個球，則這2個球都是黃球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設表示取得的2個球都是黃球，表示選擇第一個盒子，表示選擇第二個盒子；所以，故選：C6.已知函數為自然對數的底數，），若直線是圖象的切線，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】設切點坐標，由題意可得且，求解即可.【詳解】設切點坐標為，，則且，解得，再代入，可得：，故選：D7.長方體中，，點分別是棱和的中點，點在側面（包括邊界）移動．若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標運算公式結合基本不等式即可求出結果.【詳解】在長方體中，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設是的中點，所以.設，，因為，所以，所以，設異面直線與所成角為，因為異面直線成角的范圍是，則，因為，所以，當且僅當時取等號，，因此，異面直線與所成角的余弦值的最大值為.故選：A.8.已知函數，若當且僅當，則的最小值為（）A.2 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，根據及絕對值不等式轉化可得，若，得，取，分和討論的單調性及最值，繼而即可求解.【詳解】定義域為，得．又，（注：，證明：因為，，所以），所以若，則，即．這樣，若，則取，得?x∈?r,r,f′x故，與已知條件矛盾！所以．即，也即．當時，，得，取等當且僅當，故在上遞減，符合要求．綜上，的最小值為．故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知事件發生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與相互獨立，則C.若，則與相互獨立 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由互斥事件、獨立事件及條件概率的計算公式逐個判斷即可.【詳解】對于A：，A錯；對于B：，，B對，對于C：由，，可得，所以與相互獨立，所以與相互獨立，C對，對于D：由，可得，所以，D錯，故選：BC10.已知，且，若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】推導出，利用基本不等式可判斷AB選項；計算得出，令，其中，利用導數求出函數的最小值，可判斷C選項；利用特殊值法進而判斷D選項.【詳解】因為，且，所以，因為，所以，可得，即.對于A選項，由基本不等式可得，等號成立當且僅當時，即當時，等號成立，又因為，故等號不成立，即，A對；對于B選項，，當且僅當時，即當或時，等號成立，故，B對；對于C選項，，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數的單調遞減區間為，遞增區間為，故，即，C對；對于D選項，不妨取，，則，D錯.故選：ABC.11.是定義在區間上的函數，若存在二元函數滿足：①且；②：則稱為在上的“面積”系統．下列說法正確的是（）A.若為常數，則在上有唯一的“面積＂系統B.若為在上的“面積”系統，則C.是在上的“面積”系統D.若則在上有無數個“面積”系統【答案】ABD【解析】【分析】根據題中新定義，直接計算證明可判斷A，B；舉例可判斷C，D.【詳解】對于A選項，當為常數時，，，，要使得，則，此時，所以滿足條件，故A正確；對于B選項，由性質②，，有，得.再應用性質②，．由此，，即，故B正確；對于C選項，取，則．又，則，，所以不存在使，故性質①不滿足.故C錯誤；對于D選項，且，若，則，若，則，對任意，令，則，且滿足，故為常數，是的“面積系統”，且的取值有無數多個，故有無數個.故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.用0，1，2，3，4，5六個數字組成無重復數字的四位數，則共可組成_______個四位數．【答案】300【解析】【分析】根據排列，結合分步乘法計數原理即可求解.【詳解】從1,2,3,4,5中選一個數字作為千位，然后從剩下5個數中任選三個排百位，十位，個位，故共有,故答案為：30013.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_______．【答案】【解析】【分析】由，得到，再由得到，再由夾角公式即可求解.【詳解】由，可得：，即，即，又，可得：，即，所以，所以，又，所以與的夾角為故答案為：.14.已知是雙曲線的左，右兩個焦點，若雙曲線上存在一點滿足，則該雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的定義結合余弦定理求出間關系，再由離心率的齊次式可得.【詳解】由題意可得，所以，又，所以在中，，在中，，所以，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數列的公差不為0，，成等比數列.（1）求數列通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為，將等差數列通項代入，得到，求得通項公式．（2）求得，根據分組求和法，將原數列的和分為等差與等比數列的和.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，成等比數列，得，得，由，得，則.（2）由（1），則，則即.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式和前項和公式，等比數列的概念和前項和公式，考查了學生的分析能力，運算能力，屬于中檔題.16.在中，分別是角的對邊，已知是銳角，且．（1）若，求實數的值；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用正切的倍角公式可求，結合余弦定理可求答案；（2）利用正弦定理表示，結合面積公式和三角函數恒等變換可得答案.【小問1詳解】由已知得，，解得或．又為銳角，，得．所以，由余弦定理得，．【小問2詳解】由正弦定理得，．所以，，即，當，即時，取到最大值為．17.如圖，已知是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓上任意一點．（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，則是否存在點滿足，，使得且？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）易得，再由平面，得到，利用線面垂直的判定定理證明；（2）法一：過作于，過作于，連結，得到為二面角平面角，假設這樣的存在，設，由，求解；法二：以射線方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，是平面的法向量，設，是平面的法向量，由，得到，設，由求解.【小問1詳解】因為為圓的直徑，所以．又因為平面，所以．又因為，所以平面．【小問2詳解】法一：如圖所示：過作于，過作于，連結．因為平面，所以平面平面，進而平面，故．因此平面，所以，故為二面角平面角．又，所以．又，得，所以，進而。假設這樣的存在，得，得，，即，解得．故滿足條件的存在．法二：如圖，以射線方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，是平面的法向量．設，則，得，，得是平面的法向量．這樣，，解得．所以，，設，得．這樣，由，即，解得．故滿足條件的存在．18.已知橢圓的離心率為為的左，右焦點，為的右頂點，為的上頂點，且周長為，直線交于兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線的斜率之積恒為，求證：直線恒過定點．（3）若直線恒過，則是否為定值？若成立，請求出該定值：若不成立，請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）成立，【解析】【分析】（1）根據題意，建立關系式求出，得解；（2）設，代入橢圓的方程，由韋達定理可得，，由，運算得，得證；（3）當直線的斜率為0時，得，當直線的斜率不為0時，設，由韋達定理可得，即，得解.【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，由已知得，又，可得，故，解得，所以橢圓的方程為.小問2詳解】設，根據題意，易知直線的斜率不為0，設，聯立與，消去得，整理得，所以，，，進而，，，，解得，滿足，即直線過定點..【小問3詳解】當直線的斜率為0時，此時，易得；當直線的斜率不為0時，設，這樣，由（2）知，，，所以，從而，即，則，即，綜上，為定值.19.“田忌賽馬”我國歷史上有名的“以弱勝強”的事例．齊王有匹馬，田忌有匹馬，且這匹馬在比賽中的勝負可用如下不等式表示：①且；②且．這里，表示“馬與馬比賽，馬獲勝”．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每局比賽雙方各出一匹馬，比賽過的馬不能再次上場，共賽局，并記田忌在局比賽中獲勝局數為．（1）求的分布列與期望；（2）分別求的通項公式；（3）求證：．【答案】（1）分布列見解析，數學期望為1（2），（3）證明見解析【解析】【分析】（1）首先分析出的可能取值，再寫出分布列再計算數學期望即可；（2）分類計算；；（3）應用隨機變量的數學期望的公式計算，作差證明即可.【小問1詳解】012所以．【小問2詳解】記，不妨將視為平面上個不同的點，作線段當且僅當出現在同一局，則局比賽不論先后順序，比完后的對陣可記為集合，由比賽規則可知，，即為的一個排列，也即為到的一個一一對應，這樣的總共有種取法．所以即，，也即。故．記下到的一一對應的取法恰有種．下面且，任取到一一對應，其中為的一個排列．當給定時，則取或，則為到的一一對應，恰有種．又考慮的取法恰有種，則的取法共有種．所以所得恰為全體到的一一對應．注意到，，且．這樣，若滿足，則滿足或．