數學在經濟學中的應用

數學的一些分支如數學分析、線性代數、概率統計、微分方程、數值分

析等進入經濟學，出現了數理統計學、經濟計量學、經濟控制論等新分

支，這些新分支通常稱為數量經濟學。應用數量經濟學方法研究客觀經

濟現象的關鍵就是要J巴考察的對象描述成能夠用數學方法來解答的數

學經濟模型。本文介紹了數學的一些分支在經濟學中的應用。

［關鍵詞］彈性系數；消費者均衡；不動點；瓦爾拉斯一般均衡

數學與經濟學的關系在今天可以說是息息相關，任何一項經濟學的研究、

決策幾乎都不能離開數學的應用。因為如何有效配置和合理利用稀缺的

經濟資源從而最大限度滿足人類欲望始終是經濟學研究的主題。這不可

避免會涉及到效率和最優化問題，而有關效率和最優化問題的研究不僅

自定性分析，更重要的要有定量分析。數學作為定量分析的重要工具，

以其嚴密性、客觀性正好適應了這一要求。因此，在經濟學中引入數學

工具，可以更好地表述經濟學原理，將經濟問題轉化為具體的數學模型，

可以使分析變得具體，從而把研究從初步的想法推進向深入的探索，推

動經濟學走向精密化、正確化。比如，在客觀經濟學中的綜合指標控制、

價格控制都有數學問題，在微觀經濟中數理統計的〃實驗設計〃、〃質

量控制〃、〃多元分析〃等對提高產品的質量往往能起到重要的作用。

當今，在經濟學中使用數學方法的趨勢越來越明顯，領域越來越廣泛。

自從1969年諾貝爾經濟學獎創立以來，利用數學工具分析經濟問題的

理論成果獲獎不斷。事實上,從1969到1998年的30年中，有19位

諾貝爾經濟學獎的獲得者都以數學作為主要研究方法，占總人數的

63.3%，而幾乎所有的獲獎者都運用數學方法來研究經濟理論。可以說,

沒有數學的廣泛應用，就沒有經濟學快速繁榮發展的今天。本文就數學

的一些分支在經濟學中的應用做一初步討論。

1一元微積分在經濟學中的應用

1.1彈性系數

當經濟變量之間存在相互影響關系時，西方經濟學通常用彈性來表示一

個變量相應于另一個經濟變量變動的反映程度。如果經濟變量x及y之

間具有關系：y=f(x),那么為了度量x對y的影響程度,人們通常試圖

利用x變動一個單位后y變動的數值，即導數反映這種影響。這樣做是

方便的但缺陷是不能消除x及y的度量單位對這f值的影響。因比，

經濟學家使用彈性而不是導數來反映一個經濟變量對另一個變量的影

響，彈性的大小由強性系數加以表示

彈性系數二O

以表示x對y的彈性系數，同時把經濟變量的變動以微分的形式表示

出來，則彈性系數可以寫成為

很顯然，X對y的彈性系數不僅取決于函數的斜率，而且取決于X及y

的大小。也就是說，彈性系數不僅與函數曲線的傾斜程度有關系，而且

也與曲線上點的位置密切相關。因此，曲線的傾斜程度不一定與彈性的

大小相一致。

如果用y表示商品需求量，用x表示商品價格，則可以表示商品的需

求價格彈性。經濟學中其它的彈性也可以相似的定義出來。

1.2經濟批量法

這是一種在工業成批量生產中，根據費用來確定合理批量的方法，批量

大小對費用的影響，主要有兩個因素：設備調整費用和庫存保管費用。

批量越大，設備調整費用越小，分攤在每個產品的調整費用就越少，但

保管費用會相應增加；反之，批量小，單位產品的調整費用就大，而保

管費用會相應減小。求經濟批量的原理就是用數學的方法求得這兩項費

用和為最小的批量，即經濟批量。如圖1所示：

批量

圖1中，m線為調整費用曲線，n線為保管費用曲線，L線為上述的兩

種費用之和，上述兩種費用之和最小時所對應的Q值就是經濟批量。

年設備調整費用可用下式表示

年設備調整費用二O

式中：A為每次設備調整費用,N為年產量，Q為批量。

庫存保管費用可用下式表示：

庫存保管費用二。

式中：C為單位產品的平均保管費用。

總費用Y為兩項費用之和：

Y=+o

因為=0時，費用最小。所以可以得到

/

那么，就可以得到

O

這個公式就是計算經濟批量的公式。

例：某廠商生產商品，某年銷售量為100萬件，每批生產設備調整費為

1000元,而每件的庫存費為0.05元，問每次生產多大批量為優？

由上面的公式，直接可得

（件）=20（萬件）。

所以每批生產20萬件為最優。

1.3生命周期曲線

設某種商品在時刻t的銷售量為Xt,令a表示市場的飽和水平，若此種

商品銷售量的增長率與銷售量Xt,和差值的乘積成正比，求銷售函數

Xt的表達式。

由題意可得，銷售量的增長率為，

（k為常數），

分離變量，可得

對上式兩邊求積分可得：

（為常數），

由此解得

（其中，c為常數）。

這個函數的圖象如圖2所示:

t

生命周期曲線

圖中的曲線稱為生命周期曲線，它揭示了商品的銷售過程的三個階段:

第一階段是試銷階段，當商品剛進入市場時，由于顧客不太了解商品的

性能，因此銷售量增長不快，第二階段是旺售階段，銷售量與日俱增，

第三階段稱為顏口階段。

2數學規劃和拉格朗日函數

在西方經濟學中，消費者被假定為在經濟上是理性的。在消費商品時,

消費者總試圖在既定的收入約束條件下獲得盡可能大的滿足,這樣，消

費者的消費行為可以看成是效用最大化的行為。

2.1消費者均衡

消費者均衡的效用最大化可以看成是消費者在收入所允許的范圍內選

擇適當的商品的組合，使得自身的效用等級達到最大的過程。在其它條

件不變的情況下，當消費者獲得最大滿足時，他將保持這種狀態不變,

此時消費者處于均衡。消費者均衡是在既定的收入約束B的范圍內選擇

商品組合，實現效用最大化的狀態，用公式表示為：

(2.1)

其中,xlzx2表示畫中商品的消費量,pl,p2表示兩種商品的價格,

u(xlzx2)表示消費兩種商品所帶來的效用，m為預算約束。

消費者效用最大化行為表現為在預算約束范圍內尋求使得效用等級最

高的商品組合。但是，這樣的均衡組合是否存在？回答是肯定的。根據

數學規劃的結論，如果消費者預算約束集合B為有界閉集，而效用函數

u(x)是連續函數,那么(2.1)式一定有滿足條件的解存在。

為了理論分析的簡單起見z(2.1)式常寫為

2.2效用最大化的必要條件

式給出的效用最大化的必要條件可以借助于拉格朗日乘數法得到說明。

為此，構造拉格朗日函數

O

如果消費者在消費時獲得最大滿足，那么在這一點一定有

=0,

即下式成立

,i=l,2和，

從而得到

(2.2)

2.3效用最大化的充分條件

（2.2）式只給出了效用最大化商品組合所滿足的條件，但并不意味著

滿足這些條件的點一定使得消費者獲得最大的效用滿足。因而有必要討

論效用最大化的充分條件。

現假定必要條件（2.2）式得到滿足，為討論充分條件，把預算約束方

程變形為

這樣，效用最大化的模型式可表示為

O

這樣，求解式的問題轉換為考察上述無約束條件下的效用最大化問題。

令，

即。

再次得到（2.2）式給出的必要條件（一階條件）

O

現在考察效用最大化商品組合的充分條件（二階條件）即滿足（2.2）

式的商品組合是否就是最優解，因為

當時，效用函數在一階導數等于零的點上取得最大值。據此并注意到。

可得到下面的充分條件

即

用行列式可表示為:

3利用數學期望求解經濟決策問題

由于經濟決策中所遇到的變量都是隨機變量，它的分布往往是比較復雜

的，我們可通過它的數學期望表達它的數學特征。因此，可利用隨機變

量的數學特征一■■數學期望來求解一些經濟決策問題。

3.1確定生產批量問題

某企業為了確定今后5年內生產某種服裝的批量，以便及早做好產前的

各項準備工作。根據以往的銷售統計資料及市場調查預測，未來市場銷

路好、中、差三種狀況的概率分別是0.3,0.5和0.2。若按大、中、小

三種不同生產批量投產，今后年不同銷售狀態下的損益值如表1:

狀態銷路好銷路中銷路差

概率0.30.50.2

大批量損益值XI2014-2

大批量損益值X2121712

大批量損益值X381010

試作出定量分析，確定今后5年的最佳生產批量。

分析：雖然損益值X的分布未知，但由于它的數學期望表示平均值，在

三種狀態的平均值是可求的，故可用它作為評判的標準，下面計算三個

批量的損益值的數學期望。

由此可見，中批量生產的損益均值最大，故應選擇中批量生產較為合適。

3.2最佳進貨量的問題

設某一超市經銷的某種商品，每周的需求量X在10至30范圍內等可

能取值，該商品的進貨量也是在此范圍內等可能取值（每周只在周一前

進貨一次）o超市每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削

價處理，每處理一單位虧損100元；若供不應求，可從外單位調撥，此

時一單位可獲利300元。試測算進貨量是多少時超市可獲得最大利潤。

最大利潤的期望值為多少？

分析:由于該商品的需求量（銷售量隊是一個隨機變量，它在區間［10,

30］上均勻分布，而銷售該商品的利潤值Y也是隨機變量,它是X的函

數。本問題的解算過程是：先確定X和Y的函數關系，再求出Y的期

望，最后利用極值法求出的極大值點及最大值。并求出最大利潤的期

望值。

先假設每周的進貨量為a,則

利潤Y的數學期望為

則由，

可得O

代入可得，的最大/直為9333.3元。

由計算結果可知，周最佳進貨量為23.33單位，最大利潤期望值為

9333.3元。

3.3求職決策問題

有三家公司為大學畢業生甲提供應聘機會，按面試時間順序，這三家公

司分別記為A、B、C。每家公司都可提供極好、好和一般三種職位。每

家公司根據面試情況決定給求職者何種職位或拒絕提供職位。按規定,

雙方在面試后要立即作出決定提供、接受或拒絕某職位，且不許毀約。

咨詢公司專家在為甲的學業成績和綜合素質進行評估后，認為甲獲得極

好、好和一般的可能性依次為020.3和0.4,三家公司的工資承諾如

表2

公司極好好一般

A350030002200

B390029502500

C400030002500

如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的

各種職位應作何種解釋?

分析：由于面試從A公司開始，甲在選擇A公司三種職位時必須考慮

后面B、C公司提供的工資待遇，同樣在B公司面試后,也必須C公司

的待遇。因此，先從C公司開始討論。由于C公司的工資期望值為

40000.2+30000.3+25000.4=2700（元）。

再考慮B公司，由于B公司一般職位工資只有2500，低于C公司的平

均工資，因此甲在面對B公司時，只接受極好和好兩個職位，否則去C

公司。如此決策時甲工資的期望值為

39000.2+29500.3+27000.5=3015（元）。

最后考慮A公司，A公司只有極好職位工資超過3015,因此甲只接受

A公司的極好職位，否則去B公司。

甲的整體決策應該如此：先去A公司應聘，若A公司提供極好職位就

接受之。否則去B公司，若B公司提供極好或好的職位就接受之，否則

去C公司應聘任意一種職位。在這一決策下，甲工資的期望值為

35000.2+30150.8=3112（元）。

4利用不動點定理證明瓦爾拉斯一般均衡的存在性

一般均衡理論是經濟學中一個很重要的理論，它考察市場相關經濟變量

之間的相互聯系。為了揭示這種聯系，其首要解決的問題是是否存在一

系列價格使所有市場同時處于均衡，即所謂的一般均衡的存在性問題。

一般均衡的存在性是借助于不動點定理證明的。

Schauder不動點定：假定S是一個非空、閉的、有界凸集合，如果

函數f是s到S的一個連續映射，那么在S中至少存在一個x是自我映

射,即x=f(x).

為方便起見，首先假定所論及的k個價格具有標準的形式,即所有價格

之和為1,以便所有的價格都是有界的。事實上，如果價格只有P1、

P2,那么可以把價格加以標準化。得到

和。

由于超額需求函數具有關于價格零次齊次性的特征，因而可以認為和

與和具有相同的作用，故在下面分析中認為價格具有標準形式。

利用這些標準形式的價格，定義一個集合

O

很顯然，通過價格的標準化，價格向量集合是有界的非空集合。首先

說明是閉集。任取收斂點列，設。記，。我們由的定義知，因為，

等價地，的每一個分量都收斂于的對應的分量，在式子兩邊令，同

時取極限可得，所以，由閉集定義知集合是閉集。現在證明是凸集。

x,y，.所以，由的定義知有。則根據凸集的定義知是凸集。所以價

格向量集合是有界的非空閉凸集。

為了能應用不動點定理，還需要構造一個察的函數。對應于任意的一

系列價格，每種商品的市場上均有一個確定的超額需求量與之相對應。

如果能證明，存在一個價格向量P,使得超額需求等于零，則瓦爾拉斯

一般均衡存在。現在利用這個超額需求函數z,比如Zl,Z2來構造不

動點定理中的函數。

根據瓦爾拉斯關于經濟當事人行為的假定，如果超額需求大于零，價格

傾向于提高；反之，超額需求小于零，價格降低。因而，瓦爾拉斯一般

均衡實現的過程無非是把一個使得超額需求大于零的價格再〃提高〃一

些，以便使得超額需求更小，逐漸趨向與零，并且，價格需要〃提高〃

的數額與超額需求呈同方向變動。因此，按照〃提高〃價格的思路來構

造下面的函數是自然的：。另一方面，為了得到的函數值能繼續位于

集合之中，也需要對〃提高〃后的價格加以標準化。這樣，定義集合到

上的一系列函數gjJ=L…,匕

最大值函數可寫成。由于每一個超額需求函數都是連續的，所以也

是連續的，因而k個函數是的連續函數，并且函數值也位于之中。這

樣，對所有的函數應用不動點定理，從