《線性代數期末考試試卷》

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設\(A\)是\(n\)階方陣，\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A=0\)B.\(A\)不可逆C.\(A\)的列向量組線性無關D.\(A\)的行向量組線性無關3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A-B=0\)5.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.\(r(A)\gtn\)6.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\vert\lambdaE-A\vert\)的值為（）A.0B.1C.\(\lambda\)D.\(n\)7.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^TA\)等于（）A.\(0\)B.\(E\)C.\(A\)D.\(A^{-1}\)8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)9.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A=B\)D.\(A\)與\(B\)合同10.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關于矩陣運算正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數）D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關的充分必要條件有（）A.存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)D.向量組中含有零向量3.設\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的有（）A.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無關C.若\(A\)可逆，則\(Ax=b\)有唯一解D.若\(A\)的行向量組線性無關，則\(A\)可逆4.對于齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣），下列說法正確的有（）A.當\(r(A)=n\)時，只有零解B.當\(r(A)\ltn\)時，有非零解C.基礎解系所含向量個數為\(n-r(A)\)D.若有非零解，則解空間的維數為\(n-r(A)\)5.設\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則（）A.\(A\alpha=\lambda\alpha\)B.\((\lambdaE-A)\alpha=0\)C.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(\alpha\)是非零向量6.下列矩陣中是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列說法正確的有（）A.二次型矩陣為\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.秩為1C.正慣性指數為1D.負慣性指數為08.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(tr(A)=tr(B)\)（\(tr\)為矩陣的跡）C.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式D.\(A\)與\(B\)有相同的秩9.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-3A+2E=0\)，則\(A\)的特征值可能為（）A.1B.2C.3D.010.設\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則（）A.\(A\)中存在\(r\)階子式不為零B.\(A\)中所有\(r+1\)階子式全為零C.\(A\)的行向量組的極大線性無關組含\(r\)個向量D.\(A\)的列向量組的極大線性無關組含\(r\)個向量三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數）。（）2.向量組中若有兩個向量成比例，則該向量組線性相關。（）3.設\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的行向量組線性相關。（）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系是唯一的。（）5.矩陣\(A\)的不同特征值對應的特征向量一定線性無關。（）6.若\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert=1\)。（）7.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2\)是正定二次型。（）8.相似矩陣一定合同。（）9.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)的標準形為\(\begin{pmatrix}E_r&0\\0&0\end{pmatrix}\)。（）10.設\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\(A\)、\(B\)有相同的特征向量。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(r(A)=n\)；或存在\(n\)階方陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)。2.說明向量組線性相關和線性無關的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則線性相關；若僅當\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時上式成立，則線性無關。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根，即特征值\(\lambda\)；再將每個\(\lambda\)代入\((\lambdaE-A)x=0\)，求該齊次方程組的非零解，即對應的特征向量。4.簡述正定二次型的判定方法。答案：對于二次型\(f(x)=x^TAx\)，可通過順序主子式全大于零判定正定；或\(A\)的特征值全大于零判定正定。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩在解線性方程組中的應用。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，當\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數個數）時有唯一解；當\(r(A)=r(A|b)\ltn\)有無窮多解；當\(r(A)\neqr(A|b)\)無解。齊次線性方程組\(Ax=0\)，\(r(A)=n\)只有零解，\(r(A)\ltn\)有非零解。2.討論相似矩陣和合同矩陣的聯系與區別。答案：聯系：都具有等價關系的一些性質，且相似矩陣秩相等，合同矩陣秩也相等。區別：相似是\(P^{-1}AP=B\)，合同是\(C^TAC=B\)。相似矩陣有相同特征值，合同矩陣正負慣性指數相同。3.討論正交矩陣的性質及應用。答案：性質：\(A^TA=AA^T=E\)，\(\vertA\vert=\pm1\)，其列（行）向量組是標準正交向量組。應用：在正交變換中保持向量長度和夾角不變，常用于二次型的正交變換化為標準形。4.討論向量組的極大線性無關組的求法及意義。答案：求法：將向量組構成矩陣，通過初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行首非零元所在列對應的原向量即為極大線性無關組。意義：極大線性無關組能代表整個向量組，其所含向量個數就是向量組的秩，可用于