5.4正、余弦定理（精講）（提升版）

尊儺號(hào)0B

QksU+a-cosC

三角影中的三角西費(fèi)關(guān)系in-

2

三角彩中①6?^cosC+cco56Q4?acosC+ccos.40c?Ao$.4+?c<MB

面影定理一

①若家用,就尋求夾議個(gè)例的兩訪的關(guān)系.利用百積公式列方理來解

三角影囪枳

來邊角的方法②若求邊，就W求與我邊I或兩邊有關(guān)聯(lián)的角.利用面積公式列方裳求解

①化邊，通過因式分解、配方等再出邊的相應(yīng)關(guān)系

三角影影②化角，誦過三角恒等變接.得出內(nèi)角的關(guān)系,此時(shí)要注意應(yīng)用4

正狀的刊斷+6+C=&L個(gè)給論

余

弦①定基本?，根據(jù)甩意或兒柯圖影用清三角給中邊、角的關(guān)系，利用正、余

定弦定理求出相美的邊、角或邊角關(guān)系,并劇￥相關(guān)的邊、角作為基本量，修

定基本要的生圉,

理「臺(tái)枸建函數(shù)，根據(jù)正、余弦定理或二角恒等變換將待東苑理的變，用關(guān)

三角影?于基本量的函數(shù)解析式表示

中的信鍬

。求最值，利用基本不等式或由數(shù)的單科性等求最他

（1）一留法，以已知角的對(duì)邊為半徑回B,誨過與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)列離解的個(gè)數(shù),

①n無交點(diǎn).則無解?

端有T交點(diǎn),則京T解，

⑨若有兩個(gè)交點(diǎn)，則有網(wǎng)個(gè)解，

④S交點(diǎn)重合,雖然后兩個(gè)交點(diǎn),但只能算作T解.

（2）及式速，AAABC中,巳如■.*A.刊?一角形”的個(gè)，

公式：1o”R里"Ao*“。!!的串伍

角■A?iaB

三

解

彩■，■o無?

GM為?角或真翕O

個(gè)

的?為快角）

數(shù)■<biisAoXM

?bM?AOlN(R^flt)

?>bo1fl|(B為坡角)

abc

-----=------=-=--2-R--(R為AABC的夕橫國的半徑)

公式sinAsiiBsinC

c

①sinA=—sinB=—sinC=—(角化邊)

變

形

正@a=2R?sinA,b=2R?sinB,c=2R?sinC(邊化角)

公

弦

式

定

理③ab:c=sinA:sinB:sinC

—=———=————=2R(R外接圓半徑)

sinAsinA+sinBsinA+sinB4-sinC

使用條件(1)已知兩角和一邊(2)已知兩邊一對(duì)應(yīng)角

b2+c2-a2

cosA=-------------

a:=b:+c2-2bc?cosA2bc

a2+2-b2

b2=a:+c2—2ac*cosB兩邊一角求邊cosB=-c-三邊求角

2ac

2:2

c=a+b—2ab?cosC22

正a+b-c2

cos

余C=-----------

余公式2ab

弦

定

弦使用條件(i)已知三角求邊(2)已知兩邊一角求邊

理

定

理

①SAABC=-ah,(勾為a邊上的高)

②3AAsc=-absinC=-bcsinA=-acsinB

三角形面積公式

③SA4Bc=1r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓的半徑)

ZA+ZB+ZC=H

在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊

任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

常見

結(jié)論sin(A+B)=sinC$in(B+C)=sinAsin(A+C)=siiiB

cos(A+B)=_cosCcos(A+C)=_cosBcos(C+B)=_cosA

tan(A+B)=—tanCtan(B+C)=—tanAtan(A+C)=—tanB

存點(diǎn)呈現(xiàn)

考點(diǎn)一判斷三角形的形狀考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理

正

余

弦

考點(diǎn)二最值問題考點(diǎn)五正余弦與平面向量綜合運(yùn)用

定

理

考點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)考點(diǎn)四正余弦與其他知識(shí)綜合運(yùn)用

例題制析

考點(diǎn)一判斷三角形的形狀

【例1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）己知。，b,。分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，下列

四個(gè)命題中正確的是（）

A.若tanA+tan3+tanC>0,則.A6C是銳角三角形

B.若acosA=bcos3,則3A8C是等腰三角形

C.^bcosC+ccosB=b,則A6C是等腰三角形

D.則ABC是等邊三角形

cosAcosBcosC

【一隅三反】

AA|

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c已知以「彳+丁=7，則

22c2

△A5C的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)^A6C的三邊長(zhǎng)為GC=a,C4=〃，A6=c,若3金=/乙，皿！=」一,

2b+c2

則4ABC是（）.

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知.4BC的三條邊”ec和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角A,8,C滿足等式

acosB+/〉cosC+ccosA=〃cosA+ccosB+acosC則此三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)qA6c的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為“，b,c.下列有

關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（

A.若白二七二白，貝MABC是等邊三角形

sinAsinBsinC

B若急=熹=品，則,由是等邊三角形

則ABC是等邊三角形

tanAtanBtanC

D.若5=%=4則“BC是等邊三角形

考點(diǎn)二最值問題

[例2-1]（2022?河南?汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在△回一中,角ABC所對(duì)的邊分別為&尻c,

d=2,cos2C=cos2A+4sin2S,則-A3c面積的最大值是（）

24

A.—R.1C.—F）.2

33

【例2-2】（2022?江西?上饒市第一中學(xué)二模（文））在一人BC中，角人，B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,

aco$8=（2c-力COSA“=G，若點(diǎn)。在邊BC上，且8。=2。。，則人力的最大值是.

【例2-3】（2022?黑龍江?哈爾濱三中二模）在銳角中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,jABC的

291

面積為B,^Sin（A+C）=-~~則lanA十二的取值范圍為（）

b~-a'3lan（8-4）

【一隅三反】

1.(2022?安徽黃山?二模(理))設(shè)一的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為〃力,c,且滿足(M+y)sin(A-8)=

Ur-^)sin(A+B),其中〃b,若a+b+c=2+五，則二ABC面積的取值范圍為.

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知銳角648c外接圓的半徑為1,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為。，b,e,

B=f，則剛8。的取值范圍是—.

4

4.(2022?甘肅?二模(理))如圖，在圓內(nèi)接四邊形A8CO中，A4=2,BC=4,且乙4c民NC3AN班C依次

成等差數(shù)列.

(1)求邊4c的長(zhǎng);

(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.

5.(2022?廣東江門?模擬預(yù)測(cè))在銳角；A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是〃，從c,且滿足

(。+h)(sinA-sinB)=(a-c)sinC.

(1)求角8的大小：

⑵若C=26,求。的取值范圍.

考點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)

【例3-1］（2022?全國?高三專題練習(xí)）在中，”=6，b=3,A=^,則此三角形（）

6

A.無解B.一解

C.西解D.解的個(gè)數(shù)不確定

【例3-2］（2022全國高三專題練習(xí)）在一A6C中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,若力=4,

tanA=E,當(dāng)。有兩解時(shí)，。的取值范圍是（）

3

A.|V7,4）B.（3,4）C.（V7.3）D.（3,4］

【例3-3］（2022?浙江?高三專題練習(xí)）中,角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,A=30°,a=3,

若這個(gè)三角形有兩解，則力的取值范圍是（）

A.3<Z><6B.3cb<6

C.b<6D.b<6

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在&/WC中，角A,B,。的對(duì)邊分別是小b,c,已知〃=12,4=300,使得

三角形有兩解的條件是（）

A.“=6B.6<?<12C.?>12D.a<6

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在"BC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是小b,c,若，滿足條件a=3,A=60

的三角形有兩個(gè)，則。的取值范圍是（）

A.[2,3）B.（3,3^）C.（3,2@D.伍&,2月）

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在二ABC中，A=J/=2,則“a>l”是“二ABC有兩個(gè)解”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在《ABC中，角ARC所對(duì)的邊分別為。也。，下列條件使ABC有兩解的是

)

A.3=2,c=l,A=30B.a=8,3=45,C=65

C.“=3;c=2,A=30D.a=3拒,6=4,8=45

考點(diǎn)四幾何中的正余弦定理

【例4】（2022?浙江寧波?二模）如圖，在中，BC=>/73,cos4=；,點(diǎn)M是線段人。的三等分點(diǎn)（靠

2

近點(diǎn)A）,若m=則sin/AM8=,3ABe的面積是.

AMC

【一隅三反】

I.（2022?山東煙臺(tái)?一模）如圖，四邊形A3C。中，AB2+BC2+ABBC=AC2.

B

C

(1)若八2=32C=3,求△八ar的面積：

(2)若CO=J5BC,ZC4D=30,ZBCD=120,求NAC8的值.

2.（2022?陜西渭南?二模）如圖，在中，角A=60,。為邊AC上一點(diǎn)，且3C=31,80=21,CD=2（）

(I)sin47用的值;

(2)邊40的長(zhǎng).

3.（2022?廣東深圳?一模）如圖，在&48C中，已知A8=2,AC=66，/8AC=45。，BC,AC邊上的兩

條中線AM,用V相交于點(diǎn)P.

B

,W

⑴求/HAW的正弦值:

⑵求乙w/w的余弦值.

考點(diǎn)五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用

【例5】（2022?江西上饒.二模（理））已知的外心為點(diǎn)O,M為邊8。上的一點(diǎn)，且

8M=2MCN8AC=（,AOAM=1,則“8C的而枳的最大值等于（）

A.立B.73C.巫D.巫

284

【一隅三反】

I.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,A”為8c邊上的高,

以下結(jié)論:①4〃?（AC-A8）=0：②八88。＜0=＞二48。為銳角三角形：③=csinB；

④8c（AC-從3）="+。2一乃ccosA其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022全國?高三專題練習(xí)）在人班?中，若人/="叢。+附1。+。4。3，則人及7是的形狀為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

3.（2022?廣東佛山?二模）J1BC中，AB=&,ZAC3=f,。是二ABC外接圓圓心，是的

4

最大值為（）

A.0B.1C.3D.5

4.（2022?江西上饒?二模（理））已知..ABC的外心為點(diǎn)O,例為邊BC上的一點(diǎn)，且

=2MC,ZBAC=1,404/W=1,則心ABC的面積的最大值等于（）

A.BB.73C.巫D.巫

284

考點(diǎn)六正余弦定理與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用

【例6-1】（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線。:0-，=1（〃>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,

鳥，過點(diǎn)鳥的直線與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn).H周=2忸周，/耳人工=60。，則雙曲線C的離心率為

（）

A.2B.GC.孚D.V5

【例6-2］（2022?遼寧?育明高中高三階段練習(xí)）在&A4C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,且

△ABC的面積為5=立/,且〃+/_船’,忘0恒成立，則★的最小值為.

4

【一隅三反】

22

L（2。22?全國.模擬預(yù)測(cè)）已知小巴是雙曲線/京川S。，，>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線

的左支上一點(diǎn)，滿足|M用=2忻用，且cosNME6=-^,則該雙曲線的離心率e=（

)

16

3

A.hB.c.小D.2

2

2.（2022?江西?模擬預(yù)測(cè)（理））在。中，角所對(duì)的邊分別為“也。，滿足力+c=2asin（C+訃

若函數(shù)/（x）=sin（2X+e）（M<?|的圖象向左平移A個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象于），軸對(duì)稱，則/（工）在0,1A的

值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.|-M]B.1C.D.一另

3.（2。22?全國?哈師大附中模擬預(yù)測(cè)?））橢圓C5》/小。）的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,過原點(diǎn)。的

直線與橢圓交于P，2兩點(diǎn)，若/"。=120。，|。目=6,|。片=療，則橢圓c的離心率為

5.4正、余弦定理（精講）（提升版）

(Dw>U+5)-$iaC

正

余

弦

定

理

角

三

B解

個(gè)

的

ft

二痂二高:21^為人阮的外接國的半徑）

公式sinA

@sinA=—sinB=—sinC=￡(角化邊)

2R2R2R

變

形

正@a=2R*sinA,b=2R*sinBc=2R?sinCM化角)

公

弦f

式

定

理③a:b:c=sinA:sinB:sinC

a_a+b_a+b+c

④sinAsinA+sinBsinA+sinB+sinC=2R（R外接圓半徑）

使用條件（1）已知兩角和一邊（2）已知兩邊一對(duì)應(yīng)角

a:=b:+c2-2bc?cosA

b:=a:+c:—2ac?cosB兩邊一角求邊

c:=a:+b:-2ab*cosC

正

余

余公式

弦

弦

定使用條件（1）已知三角求邊（2）已知兩邊一角求邊

理

定

理

①，ABc=；aha（ha為a邊上的高）

②SAABC=-absinC=-bcsinA=-acsinB

三角形面積公式22

?SA\BC=1r（a+b+c）（i?為三角形內(nèi)切國的半徑）

NA+NB+NC=TT

在三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊

任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

sin(A+B)=sinCsin(B+C)=sinAsin(A+C)=sinB

cos(A+B)=~cosCcos(A+C)=—cosBcos(C+B)=~cosA

taa(A+B)=—tanCtan(B+C)=—tanAtan(A+C)=—tanB

考點(diǎn)呈血

考點(diǎn)一判斷三角形的形狀考點(diǎn)四幾何申的正余弦定理

正

余

弦

考點(diǎn)二最值問題考點(diǎn)五正余弦與平面向量綜合運(yùn)用

定

理

考點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)考點(diǎn)四正余弦與其他知識(shí)綜合運(yùn)用

例題副析

考點(diǎn)一判斷三角形的形狀

【例1】（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）已知“，b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C

的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（)

A.若tanA+tanB+tanC>0,則ABC是銳角三角形

B.若acosA=〃cos3,則一/是等腰三角形

C.若bcosC+ccosB=。，貝hABC是等腰三角形

D.則一A8C是等邊三角形

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)槠?+方言公器，所以

tanA+tan5=tan(A+B)(I-tan/\tanB),

tanA+tanB+tanC=tan(A+5)(1-tanAtan/?)+tanC

二-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtan8tanC>0,

因?yàn)锳,B,C為-45。的內(nèi)角，所以A,B,C都是銳角，所以.ABC是銳角三角形，故

選項(xiàng)A正確:

對(duì)于B：由acosA=〃cosB及正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2K.所以2/4=28或2A+28=兀，所以4=8或，4+8=],

所以“AB。是等腰三角形或直角三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)；

對(duì)TC：山〃cosC+ccos8=6及正弦定理化邊為角，

可知sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin4=sin?,

因?yàn)锳,8為的內(nèi)角，所以4=8,所以4A8C是等腰三角形，故選項(xiàng)C正確：

…十一?"bc5十2,、，工、1〃M.sinAsinBsinC

對(duì)于D：由--=--=—二和正弦定理化邊為角，易知一-=--=-所以

cosACOSDcosCcosAcosBcosC

tan4=tan?=tanC,因?yàn)锳,B,C為［A8C的內(nèi)角，所以A=8=C,所以4AHe是等邊

三角形，故選項(xiàng)D正確：故選：ACD.

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中,內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為“，b,c?己知

sin24+^-=L則AA3C的形狀為（）

22c2

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】人"品白一可得端品分…,二1-co=sA工c=-h二1五b

,/.cosA=-

c

222

?；COSAJ+CT上,l^+c-a=2b,，/『+a2=c2,.??。為直角三角形，且

2bcc

ZC=90°.

故選：A.

A

2.（2022,全國,高二專題練習(xí)）設(shè)^A0C的二邊K為〃C-a,CA-b,/4/7-c,tan-=-一n

2b+c

tan§=—2—,則^ABC是（）.

2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】設(shè)尸=g（a+"c），△A3c的內(nèi)切圓半徑為小如圖所示,

法一:

p-b_aa+c即2(弱p-b二)a(a+c)

①以②，得:

p-ab+chb(b+c)

于是〃(0+c)(c+〃-〃)=a(4+c)(〃+c-a),

air-by+bc2=a'b-a+etc2?（a-b）^a~+/?"-c-j=0,

從而得a=〃或a2+b2=c2?

=或NC=90°.故△ABC為等腰三角形或直角三角形,

（I）當(dāng)a=）時(shí)，內(nèi)心/在等腰三角形CZ4的底邊上的高C。匕

2a-ca'「

上式兩邊同時(shí)平方，得：工=化簡(jiǎn)。2-2/=0,即c=&a.即^ABC直角三

角形，

:?△ABC為等腰直角三角形.

（2）當(dāng)/+//=/時(shí)，易得r=g（a+〃一c）.

1

g

--

2

代入②式,得I此式恒成立,

a十C

2-一

綜上，△ABC為直用?:角形.

法二：

口isAsinABsinB“十sinAsinA不

利用tan-=-------.(an-=--------及正弦定理和題設(shè)條件，得-------=--一--①,

21+cos/A2l+cos?1+cosAsin5+sinC

sinBsinB

-------=-----------②.

I+cosBsinA+sinC

14-cos>4=sinA?+sinC?；14-cosH=sin44-sinC(4).

由③和得：l+cosA-sinfi=1+cosB-sinA.即sinA+cosA=sin〃+cosB,

sin[A+()=sin(8+(

因?yàn)锳8為三角形內(nèi)角,

A+巴=3+四或A+H=TC-B-￡,即A=B或A+3=

44442

(1)若A=3，代入③得：l+cosA=sin3+sinC⑤

5LC=n-A-B=n-2A,將其代入⑤，得：1+cosA=sin4+sin2A.

變形得(sinA-cosA)2-(sinA-cosA)=0,

即(sinA-cosA)(sin4-cosA_1)=0?,

由A=8知A為銳角，從而知sinA-cosA—1Ho.

.二由⑥，得：sinA-cosz\=0.G|JA=—,從而8=2,C=—.

442

因此，△ABC為等腰直角三角形.

(2)若A+8=],即C=],此時(shí)③④恒成立，

綜匕△A3C為直角三角形.

故選：B

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知.ABC的三條邊已。"和與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角AB.C滿足等

式4€085+)。05。+(.(054=/3084+。888+。5)8。則此三角形的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析工可得

〃-+(?-*.?-+/?--rZr+(?--〃-./?'+(?--?-a~+c~-b~a~A-b~-c~

a----------+b-----------+c-----------=b-----------+c----------+a-----------，

lac2ab2bc2bc2aclab

整理，得Z+—+j=。，所以j+B+d—iay=o,

cabcab

所以(〈J-"?)(：-1)+伊一,2)(：-")=。，所以(a-b)e-c)；^+(》-a)(〃_c)/^=0,

所以(〃-與傳-c)(展-等)=0,所以(a—b)(b—c).心翳二4~=0,

所以（〃-。）（。一。）（。一。）?號(hào)？=0,所以〃=〃或力=。或〃=0,故三角形為等腰三角形.

故選：A

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)4BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“,

b,c.下列有關(guān)等邊三角形的四個(gè)命題中正確的是（）.

A.==，則.ABC是等邊三角形

sinAsintisine

B.若急=嘉=品’則,ABC是等邊三角形

若一^=工=’7；，則..A8C是等邊三角形

C.

tanAtanBtanC

若二=4=二，則.ABC是等邊三角形

D.

ABC

【答案】BCD

【解析】A,若「4=七=￡；,

sinAsinBs.nC

由正弦定理可知：任意ABC都滿足條件，因此不?定是等邊三角形，不正確；

...abcu?.十#4E-TRsinAsinBsinC.,、八

B,若----=-----=-----,由正弦定理可得：-----=-----=-----,..tanA=tan8=tanC,

cosAcos3cosCcosAcos3cosC

VA^,C€(O,H),：.A=B=C,/.ABC是等邊三角形，正確.

廠*ahcsin4sinBsinC.,八八

C,右----=-----=-----,由正弦定理可得：-----=-----=-----,..cosA=cosB=cosC,

tanAtanBtanCtanAtanBtanC

?.?AB,Ce(0,7t),???4=8=C,???_ABC是等邊三角形，正確.

A若￡=g.?.浮=誓=學(xué)￡A=8=C=g時(shí)…A8C是等邊三角形：

ABCABC3

4仇Cx1時(shí)，研究函數(shù)/3=詈卜｛0g[)的單調(diào)性，

/f(v)=xcos,t-sinA=(.v-tanx)cosx>℃4時(shí)，.*3乩

?.?函數(shù)/(%)在(。，9上單調(diào)遞減，因此誓=誓=若不成立.

綜上可得：工ABC是等邊三角形，止確.故選：BCD.

考點(diǎn)二最值問題

【例2-1](2022?河南?汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))在“中,角人仇°所對(duì)的

邊分別為“方勺。=2,cos2c=cos2A+4sin?,則面積的最大值是()

24

A.-B.1C.~D.2

【答案】A

【解析】由cos2C=cos2八+4sin'B得：l-2sin2C=l-2sin2>4+4sin2B?

即sin?A=sin'C+Zsin?B,由正弦定理得：a?=c?+2/^=4；

由余弦定理得：a2=b~+c2-IhccosA=4?/.c2+2/?2=h~+c2-2bccosA,

b

即cosA=五，..人￡（0,%），；.sinA

?"2+毋=4,.??〃=4一%2,

...SABC=g五（4-2/）一夫=g/乎+4b?,

="x+4x=>

則當(dāng)忖，（一%+破）||i|7?'?（S'）?m=gxg=g.故選：A.

【例2-2】（2022?江西?上饒市第一中學(xué)二模（文））在4ABe中，角A,B,C所對(duì)的邊分別

為“，b,c,acos8=（2c—〃）cosAa=6，若點(diǎn)。在邊8c上，且用）=2/5C,則4。的最

大值是.

【答案】1+@

3

【解析】由ocosB=（2c-》）cosA,a=sinAcosB=2sinCeosA-sinBcosA,因?yàn)?/p>

sinC*0?0<,所以8sA=；,A=?,

乙D

設(shè)A3c外接圓的圓心為O,半徑為A,

a_G

則由正弦定理得“===

乙xsin

3

如圖所示，取3c的中點(diǎn)M,

在凡DOM中,

DM=BD—BM=友一直=立。1)=dOM2+2=J圉+邛

326

AD<AO+OD=R+OD=\+—,當(dāng)且僅當(dāng)圓心。在AD上時(shí)取等號(hào)，所以AD的最大值是

3

故答案為：1+農(nóng).

3

【例2-3](2022?黑龍江?哈爾濱三中二模)在銳角43c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為m