專題3.1橢圓及其標準方程【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1橢圓的定義】 1【題型2曲線方程與橢圓】 2【題型3橢圓方程的求解】 3【題型4動點軌跡方程的求法】 3【題型5橢圓中的焦點三角形問題】 5【題型6橢圓中的最值問題】 5【知識點1橢圓的定義】1．橢圓的定義(1)定義：平面內與兩個定點,的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.【題型1橢圓的定義】【例1】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）F1，F2為橢圓x249+y29=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|=5，則|PF2A．9 B．4 C．2 D．1【變式11】（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）若橢圓x29+y2=1上一點A到焦點F1A．1 B．2 C．3 D．4【變式12】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x29+y25=1，F1,F2分別是橢圓C的焦點，過點F1A．2 B．4 C．6 D．8【變式13】（2023秋·河北邢臺·高二校考期末）設P為橢圓C：x225+y29=1上一點，F1，A．32 B．52 C．72【知識點2橢圓的標準方程】1．橢圓的標準方程橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：橢圓在坐標

系中的位置標準方程焦點坐標F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)a,b,c的關系2．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據橢圓的定義，確定的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【題型2曲線方程與橢圓】【例2】（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習）“1<k<5”是方程“x2k?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條【變式21】（2023·全國·高二專題練習）方程x2+ky2=2A．k>0 B．1<k<2 C．k>1 D．0<k<1【變式22】（2023秋·全國·高二期末）若方程x2a2+y2a+6A．a>3 B．a<?2C．a>3或a<?2 D．?2<a<0或0<a<3【變式23】（2022·高二單元測試）若方程x29?k+y2A．k∈1,9 B．橢圓C的焦距為C．若橢圓C的焦點在x軸上，則k∈1,5 D．若橢圓C的焦點在x軸上，則【題型3橢圓方程的求解】【例3】（2023春·河北承德·高二校考開學考試）焦點坐標為0,?4，（0，4），且長半軸a=6的橢圓方程為（

）A．x236+C．x236+【變式31】（2023秋·江蘇·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，點0,1在橢圓上，右焦點為A．x24+C．x23+【變式32】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．x216+y212=1 B．【變式33】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的焦點為F1(0,?2)，F2(0,2)．過點F2的直線與C交于A，B兩點．若△ABA．x29+y25=1 B．【題型4動點軌跡方程的求法】【例4】（2023秋·廣東廣州·高二校考期末）△ABC的周長是8，B（﹣1，0），C（1，0），則頂點A的軌跡方程是（

）A．x29+C．x24+【變式41】（2023·高二課時練習）在△ABC中，已知A?1,0,C1,0，若a>b>c，且滿足2sinB=A．x24+C．x24+【變式42】（2022秋·山西運城·高二校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓A：x?22+y2=20（圓心為A），點B?2,0，點Р在圓A上運動，設線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為A．x25?C．x25+【變式43】（2023秋·江蘇鹽城·高二校考期末）已知圓C:(x?1)2+y2=16，F(?1,0)為圓內一點，將圓折起使得圓周過點A．x24+y23=1 B．【知識點3橢圓的焦點三角形】1．橢圓的焦點三角形(1)焦點三角形的概念

設M是橢圓上一點，,為橢圓的焦點，當點M,,不在同一條直線上時，它們構成一個三角形焦點三角形，如圖所示.(2)焦點三角形的常用公式

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設，，則.【題型5橢圓中的焦點三角形問題】【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知△PQF的頂點P,Q在橢圓x216+y212=1上，頂點FA．12 B．43 C．16 【變式51】（2023·全國·高二專題練習）已知△ABC的頂點B?C在橢圓x23+y2=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在A．2 B．2C．4 D．4【變式52】（2023春·廣東深圳·高二校考階段練習）在橢圓x24+y22=1上有一點P，F1?A．2個 B．4個 C．6個 D．8個【變式53】（2023·全國·高三專題練習）已知點P是橢圓x29+y24=1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1、A．6 B．12 C．2 D．2【題型6橢圓中的最值問題】【例6】（2023·高二課時練習）已知橢圓C:x225+y29=1的左右焦點分別為【變式61】（2023·高二課時練習）已知P是橢圓