/熱點必刷題02二次函數選填壓軸45題TOC\o"1-3"\h\u一、二次函數圖形性質的應用之判斷x,y的大小關系 2二、二次函數背景下判斷序號間的對錯關系 2三、二次函數與一次函數綜合 9四、求參數的值或范圍 12五、二次函數背景下的代幾綜合 14

一、二次函數圖形性質的應用之判斷x,y的大小關系1．（2024·浙江·三模）已知點，在函數（，為常數）的圖象上，則下列判斷正確的是（

）A．當時，若，則 B．當時，若，則C．當時，若，則 D．當時，若，則2．（2025·河南安陽·模擬預測）如圖，拋物線與軸交點的橫坐標為，拋物線與軸交點的橫坐標為．已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．3．（2025·江西·模擬預測）已知二次函數，的圖象經過點、，圖象上有三個，，．若當時，均有，則下列說法中正確的是（

）A． B．時，y有最大值C． D．二、二次函數背景下判斷序號間的對錯關系4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知：二次函數，過，，下列結論：①；②；③關于x的一元二次方程的兩根為，；④．其中正確的結論是（只填序號）5．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知拋物線，，是常數）開口向下，過，兩點，且．下列五個結論：①；②若，則；③若點，，，在拋物線上，且，則；④當時，關于的一元二次方程必有兩個不相等的實數根；⑤若，若，，在拋物線上，且，則．其中正確的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，拋物線（a、b、c為常數）過，兩點．下列四個結論：①若，則；②若，則；③若，則；④拋物線于x軸交于M、N兩點，則．其中結論正確的有．7．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線（是常數）經過點，其對稱軸為，且當時，對應的函數值．下列結論：①；②關于x的方程的正實數根在1和之間；③若拋物線經過點和，則點在直線的下方；④和在該二次函數的圖象上，則僅當實數時，其中正確的結論是．（填序號）8．（2024·湖北·模擬預測）拋物線，對稱軸為．下列說法：①一元二次方程有兩個不相等的實數根；②對任意的實數m，不等式恒成立；③拋物線經過點；④若，且，則．正確的有（填序號）．9．（2024·山東日照·二模）已知二次函數（）與x軸的一個交點為，其對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個結論：①，②；③；④若關于x的方程有兩個實數根，且滿足，則，；⑤直線（）經過點，則關于x的不等式的解集是．其中正確結論的個數為（

）A．5 B．4 C．3 D．210．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖，拋物線交x軸于，，交y軸負半軸于點C，頂點為D，下列結論：①；②；③若方程的兩根分別為m，n，則；④當是等腰直角三角形時，；⑤拋物線上有兩點、，且，若，則．正確的有（

）A．5 B．4 C．3 D．211．（2024·河南安陽·三模）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在該二次函數的圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確的結論是（

）12．（2024·山東淄博·二模）二次函數（，，是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：…………且當時，與其對應的函數值，有下列結論：①函數圖象的頂點在第四象限內；②和3是關于的方程的兩個根；③，其中正確的結論個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個13．（2024·湖北恩施·二模）二次函數（，，是常數，且）的自變量與函數值的部分對應值如下表：…012……22…且當時，對應的函數值，有以下結論：①；②關于的方程的正實數根在1和之間；③；④點和在該二次函數的圖象上，則當實數時，．其中正確的結論是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2024·新疆烏魯木齊·二模）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點在和之間（不含端點）則下列結論：①當時，；②有兩個實數根；③當的面積為時，；④當為直角三角形時，在內存在唯一一點，使得的值最小，最小值的平方為，其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④15．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）二次函數圖象如圖，下列結論：①；②；③當時，；④；⑤若，且，．其中正確的序號是（

）A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤16．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，拋物線交x軸于點A，B，交y軸的負半軸于點C，頂點為D，連接，．給出下列結論：①；②當時，；③當是等腰直角三角形時，；④若是一元二次方程的兩個根，且，則．其中，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．（2024·湖北·模擬預測）已知二次函數有以下結論：①對任意實數m，都有與對應的函數值相等；②無論a取何值，此函數的圖象必過兩個定點；③若此函數圖象與x軸有兩不同交點A，B，且，則；④若，對應的y的整數值有3個，則或．其中正確的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．118．（2024·湖南·模擬預測）如圖，二次函數的圖象經過點，且與軸的交點的橫坐標分別為，，其中，．下列結論：①；②；③；④對任意，都成立，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個19．（2024·四川南充·模擬預測）關于二次函數，有下列四個結論：①對任意實數m，都有與對應的函數值相等；②若時，對應的y的整數值有4個，則或；③若拋物線與x軸交于A、B兩點，且，則或；④若，則一元二次方程一定有兩個實數根．以上結論，正確的有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①③④20．（2024·四川南充·模擬預測）已知直線與拋物線交于點，與直線交于點．下列說法：①拋物線的頂點一定在直線上；②直線始終在拋物線的下方；③線段長度的最小值為3；④當時，若的長度隨的增大而減小，則．其中正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．23④ D．①②③④21．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖像如圖所示且其對稱軸為直線，E為x軸上方拋物線上一點，在拋物線AE段上有一點F使得三角形AEF面積最大，同理做出M、N使得三角形EFM與三角形AFN面積最大，則下列結論正確的有（

）①②連接則③④當的最大值為時拋物線定過、A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④三、二次函數與一次函數綜合22．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，二次函數的圖像交軸于兩點（在左側），交軸于點，將繞著點逆時針旋轉，其所在直線與二次函數圖像交于點，則點坐標為．23．（2024·遼寧大連·二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，點在軸負半軸上，點繞點順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線上點處，且，則點的坐標是．24．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點左邊），與軸交于點，拋物線的頂點為，點在線段（不與點，M重合）上，連接，將線段繞點旋轉后得到線段，若點恰好落在拋物線上，則點的坐標為．25．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于點A、B（點A在B左側），拋物線的頂點為C，點D為拋物線上一點，且在對稱軸右側，若的面積為3，則點D的坐標為．26．（2024·浙江寧波·二模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，且經過點，為直線上方拋物線上的一點，當

時，點的橫坐標為．27．（2024·全國·模擬預測）如圖，拋物線與軸相交于兩點．過點的直線交拋物線于點．點在拋物線上，橫坐標為，連接，將線段繞點旋轉，得到線段，當點恰好落在直線上時，點的坐標．28．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為（

）A． B． C．或 D．或四、求參數的值或范圍29．（2024·福建廈門·二模）已知點，，在拋物線上，且．則n的取值范圍是．30．（2024·江蘇揚州·二模）若點、、都在二次函數的圖象上，且，則m的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或31．（2024·福建三明·三模）已知點，，，都在二次函數（，，為常數，且）的圖象上，若，則的取值范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或32．（2024·福建福州·模擬預測）已知拋物線過點，兩點，若，時，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．433．（2024·廣東東莞·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線（a，b，c為常數，且）經過和兩點．已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點，則a的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．34．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函數，當時，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．435．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知二次函數，當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或36．（2024·江蘇淮安·模擬預測）已知，是拋物線上的兩點，當時，均有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．37．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數，若點，點，點都在二次函數圖象上，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．或38．（2025·廣東揭陽·一模）已知和為方程的兩個實數根，且，則實數n的最大值為．39．（2025·廣東佛山·一模）在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是拋物線對稱軸上的一個動點．小明經過探究發現：當的值確定時，拋物線的對稱軸上能使為直角三角形的點的個數也隨之確定．若拋物線的對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值是（

）A． B．或 C．2 D．2或40．（2025·江西景德鎮·模擬預測）已知二次函數（為常數）的圖象與軸有兩個交點，且經過，，，四個點，已知且，，則下列結論：①；②；③若則；④若，則；⑤若，則．正確的個數有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個41．（2025·江蘇無錫·一模）已知函數（為常數）的圖象不經過第三象限，當時，函數的最大值與最小值之差為16，則的值是（

）A．4或7 B．4或6 C．5或7 D．5或6五、二次函數背景下的代幾綜合42．（2024·四川廣元·三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與其關于直線對稱的圖象交于四點，則四邊形的面積為．

43．（2024·山東德州·二模）二次函數的圖象如圖所示，其對稱軸，且與x軸交于，點，點P為x軸上一動點，則的最小值為．44．（2024·遼寧·一模）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩線交于點D，將繞點C逆時針旋轉，使點D旋轉到y軸上得到，連接．在線段上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△相似，則點P的坐標為．45．（2024·遼寧撫順·三模）如圖，在直角坐標系中，拋物線與軸交于點A，點，與軸交于點，點在線段上，，直線繞點順時針旋轉得到．交直線上方拋物線于點，交線段于點，若，則點的坐標為．

熱點必刷題02二次函數選填壓軸45題TOC\o"1-3"\h\u一、二次函數圖形性質的應用之判斷x,y的大小關系 2二、二次函數背景下判斷序號間的對錯關系 6三、二次函數與一次函數綜合 51四、求參數的值或范圍 69五、二次函數背景下的代幾綜合 88

一、二次函數圖形性質的應用之判斷x,y的大小關系1．（2024·浙江·三模）已知點，在函數（，為常數）的圖象上，則下列判斷正確的是（

）A．當時，若，則 B．當時，若，則C．當時，若，則 D．當時，若，則【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據題意，由點，在函數，為常數）的圖象上，從而，，進而根據和分別進行分析即可得解．【詳解】解：由題意，點，在函數，為常數）的圖象上，，．當時，A、若，．．．．，故A錯誤，故本選項不符合題意；B、若，．．或．的符號不確定．故B錯誤，故本選項不符合題意；當時，C、若，．．或．的符號不確定．故C錯誤，故本選項不符合題意；D、若，．．．．，故D正確，故本選項符合題意．故選：D．2．（2025·河南安陽·模擬預測）如圖，拋物線與軸交點的橫坐標為，拋物線與軸交點的橫坐標為．已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，以及二次函數的性質，熟練掌握其性質并能準確畫出圖象是解決此題的關鍵．根據二次函數的性質，結合一元二次方程的根的分布，即可得出結論．【詳解】解：∵拋物線的圖象與軸交點的橫坐標為，拋物線與軸交點的橫坐標為．拋物線與軸的交點坐標為,拋物線與直線的交點坐標為,,∵，∴，∴直線與軸交于負半軸，如圖所示，觀察圖象可知，,故選：B．3．（2025·江西·模擬預測）已知二次函數，的圖象經過點、，圖象上有三個，，．若當時，均有，則下列說法中正確的是（

）A． B．時，y有最大值C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數的性質，掌握二次函數圖象上的y值與點離對稱軸距離與開口方向的關系是解題的關鍵．由時，均有可知拋物線開口向上，即，可判定A選項；由拋物線開口向上，再求得對稱軸，可知時，y有最小值可判定B選項；當有，可判定C選項；根據二次函數的性質可判定D選項．【詳解】解：∵當時，均有，∴該拋物線的開口方向向上，即，即A選項錯誤，不符合題意；∵二次函數的圖象經過點、，∴對稱軸為直線，∴當，y有最小值，，故B錯誤；∴當時，有，C正確；∵，∴點到對稱軸的距離大于點的距離，即，即D錯誤．故選C．二、二次函數背景下判斷序號間的對錯關系4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知：二次函數，過，，下列結論：①；②；③關于x的一元二次方程的兩根為，；④．其中正確的結論是（只填序號）【答案】②③④【分析】本題考查二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特點，二次函數與一元二次方程的關系．掌握二次函數的性質和二次函數圖象與x軸的交點的橫坐標即為相應一元二次方程的解是解題關鍵．由題意可得出，再整理，分別用a、b、c表示出m的解即可判斷①和②；由題意可得出方程的兩根為，．再根據，可變為，即得出關于x的一元二次方程的兩根為，，可判斷③；由題意可確定，再根據，即可求解，可判斷④．【詳解】解：∵二次函數，過，，∴，由①得：，將③代入②，得：，∴，解得：，，∵，∴，即，故結論①錯誤；由①得：，將④代入②，得：，∴，解得：，，∵，∴，即，故結論②正確；∵二次函數，過，，∴方程的兩根為，．∵，∴．令，則，∴，，∴或，∴，．∴關于x的一元二次方程的兩根為，，故結論③正確；．∵，∴．由，得：，∴．∵，∴．∵，∴拋物線開口向下．∵二次函數，過，，∴，∴，即，故結論④正確．綜上可知正確的結論是②③④．故答案為：②③④．5．（2024·湖北荊門·模擬預測）已知拋物線，，是常數）開口向下，過，兩點，且．下列五個結論：①；②若，則；③若點，，，在拋物線上，且，則；④當時，關于的一元二次方程必有兩個不相等的實數根；⑤若，若，，在拋物線上，且，則．其中正確的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查二次函數的性質，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．根據拋物線開口方向和對稱軸位置，即可判斷①；利用對稱軸公式求得，由，進一步得到，即可判斷②；由點，，，到對稱軸的距離，即可判斷③；證明判別式即可判斷④．【詳解】解：對稱軸，對稱軸在軸右側，，，，故①正確；當時，對稱軸，，當時，，，，故②錯誤；由題意，拋物線的對稱軸直線，，點，，，在拋物線上，，且，點到對稱軸的距離點到對稱軸的距離，，故③正確；設拋物線的解析式為，方程，整理得，，，，，，關于的一元二次方程必有兩個不相等的實數根．故④正確，拋物線（a，b，c是常數）開口向下，離=對稱軸越遠，函數值越小；當時，對稱軸，若，，，在拋物線上，且，，解得：，故⑤正確，綜上所述：正確的結論是①③④⑤，共四個，故選：C．6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知在平面直角坐標系中，拋物線（a、b、c為常數）過，兩點．下列四個結論：①若，則；②若，則；③若，則；④拋物線于x軸交于M、N兩點，則．其中結論正確的有．【答案】①②③【分析】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，拋物線與軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征，根據函數的圖象和性質得出系數間的數量關系是解題的關鍵．①由判斷拋物線的對稱軸在軸的右側，即可得出，解得，即可判斷①正確；②由，得出若，則，若，則，即可得出拋物線開口向上時，交軸的正半軸，拋物線開口向下時，交軸的負半軸，從而得出對稱軸在軸的左側，則，即可判斷②正確；③由，得出拋物線的對稱軸在軸的左側，所以，則，，若，則，，由得出，從而得出當，則，，即；當，則，，即，即可判斷③正確；④利用拋物線的交點式求得，，所以，進而求得、的坐標，即可得出，即可判斷④錯誤．【詳解】解：①若，則，拋物線的對稱軸在軸的右側，，，①正確；②，若，則，若，則，拋物線開口向上時，交軸的正半軸，拋物線開口向下時，交軸的負半軸，拋物線，，是常數）過，對稱軸在軸的左側，，②正確；③若，拋物線的對稱軸在軸的左側，，則，，若，則，，，，當，則，，即；當，則，，即；③正確；④拋物線，，是常數）過，，，，，拋物線，令，則，，，解得，，，、，，，，，，，④錯誤．故答案為：①②③．7．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線（是常數）經過點，其對稱軸為，且當時，對應的函數值．下列結論：①；②關于x的方程的正實數根在1和之間；③若拋物線經過點和，則點在直線的下方；④和在該二次函數的圖象上，則僅當實數時，其中正確的結論是．（填序號）【答案】②【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程等知識，熟練運用二次函數的圖象與性質是解題關鍵，①根據對稱軸得出，將代入表達式求出，再根據當時，對應的函數值得出，進而判斷；②根據對稱軸為，且當時，對應的函數值判斷即可；③根據點和關于對稱軸對稱進行判斷即可；④利用在該二次函數的圖象上，且，得出時，進而判斷．【詳解】解：①對稱軸為，，，將代入，得，，時，，，，故①錯誤，不合題意；②對稱軸為，且當時，對應的函數值，，時，對應的函數值，拋物線是常數與x軸的另一個交點在和之間，關于x的方程的正實數根在1和之間，故②正確，符合題意；③拋物線經過點和，且，點和關于對稱軸對稱，，點在直線軸上，當點在第一象限時，點在直線的上方，故③錯誤，不合題意；④和在該二次函數的圖象上，且，時，，故④錯誤，不合題意．故答案為：②．8．（2024·湖北·模擬預測）拋物線，對稱軸為．下列說法：①一元二次方程有兩個不相等的實數根；②對任意的實數m，不等式恒成立；③拋物線經過點；④若，且，則．正確的有（填序號）．【答案】①③④【分析】本題考查二次函數的圖像和性質，二次函數圖象與x軸的交點等問題，掌握相關知識是解題的關鍵．①根據二次函數對稱軸是直線得出并結合條件得出，然后通過判斷一元二次方程的符號解答即可；②通過分解因式得出，利用解答；③把代入解答即可；④通過對分解因式得出結合條件判斷即可．【詳解】∵中，對稱軸為，，，，，一元二次方程中，，，，∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，故①正確；，，，故②錯誤；，，把代入得，∴拋物線經過點，故③正確；，，，，，，故④正確；∴正確的有①③④，故答案為：①③④．9．（2024·山東日照·二模）已知二次函數（）與x軸的一個交點為，其對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，有下列5個結論：①，②；③；④若關于x的方程有兩個實數根，且滿足，則，；⑤直線（）經過點，則關于x的不等式的解集是．其中正確結論的個數為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數與不等式等知識．數形結合是解題的關鍵．由題意知，圖象開口向下，即，對稱軸為直線，則，，當時，，可得，可判斷①的正誤；圖象與軸有兩個交點，則有兩個不相等的實數根，即，可判斷②的正誤；將代入得，，可判斷③的正誤；由題意知，關于對稱軸對稱的點坐標為，則關于x的方程的兩個實數根，為圖象交點的橫坐標，如圖1，由圖象可知，，；可判斷④的正誤；由，可知過點，如圖2，由圖象可知，關于x的不等式，即的解集為，可判斷⑤的正誤．【詳解】解：由題意知，圖象開口向下，即，對稱軸為直線，則，∴，當時，，∴，①正確，故符合要求；圖象與軸有兩個交點，則有兩個不相等的實數根，即，②錯誤，故不符合要求；將代入得，，③正確，故符合要求；由題意知，關于對稱軸對稱的點坐標為，∵關于x的方程的兩個實數根，為圖象交點的橫坐標，如圖1，由圖象可知，，；④正確，故符合要求；∵，∴過點，如圖2，∴關于x的不等式，即的解集為，⑤正確，故符合要求；∴正確結論的個數為4個，故選：B．10．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）如圖，拋物線交x軸于，，交y軸負半軸于點C，頂點為D，下列結論：①；②；③若方程的兩根分別為m，n，則；④當是等腰直角三角形時，；⑤拋物線上有兩點、，且，若，則．正確的有（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】依據題意，由拋物線交軸的負半軸于點，從而令，又對稱軸是直線，故可判斷①；拋物線過，從而，又，即，進而，最后可以判斷②；依據，代入方程，可化為，根據一元二次方程根與系數關系即可判斷③；由是等腰直角三角形，為頂點，從而，結合頂點為，對稱軸是直線，故，再由拋物線為，又拋物線過點，計算可以判斷④；根據，判斷出點在直線左側，點在直線右側，根據二次函數增減性即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線交軸的負半軸于點，開口向上，∴令．∵∴對稱軸是直線，∴．，∴，故①錯誤．∵拋物線過，∴．又，即，∴．∴，故②錯誤．∵，則可化為，即，若方程的兩根分別為m，n，即方程的兩根分別為m，n，則；故③正確；是等腰直角三角形，又為頂點，∵拋物線交x軸于，，故設頂點為，對稱軸是直線，，∴可設拋物線為，又拋物線過點，∴．∴，故④正確．因為，所以點在直線左側，點在直線右側，又因為，則．因為拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，所以，故⑤正確．故選：C．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的圖象和性質及二次函數與一元二次方程之間的關系是解題的關鍵．11．（2024·河南安陽·三模）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在該二次函數的圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確的結論是（

）A．①②④ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數與一元二次方程的關系、二次函數圖象與系數的關系等知識點，掌握二次函數的性質成為解題的關鍵．根據拋物線開口向下可得，根據拋物線的對稱軸可推得，根據時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據拋物線的圖象可知二次函數與直線有至少有一個交點，推得關于x的一元二次方程至少有一個實數根，故③錯誤；根據拋物線的對稱性可得二次函數必然經過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．【詳解】解：①∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線的對稱軸為直線，∴，由圖象可得時，，即，∵，∴．故①錯誤；②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．故當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∵，，∴點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，∴，故②正確；③∵圖象經過點，對稱軸為，∴二次函數與直線有兩個交點，∴關于x的一元二次方程有兩個不等的實數根，故③錯誤；④∵圖象經過點，對稱軸為直線，∴二次函數必然經過點，∴時，的取值范圍，故④正確；綜上，②④正確，故選：C．12．（2024·山東淄博·二模）二次函數（，，是常數，）的自變量與函數值的部分對應值如下表：…………且當時，與其對應的函數值，有下列結論：①函數圖象的頂點在第四象限內；②和3是關于的方程的兩個根；③，其中正確的結論個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】本題考查了二次函數的性質，根據表格數據得出對稱軸為直線，當時，與其對應的函數值，則，，即可判斷①；根據二次函數的對稱性可知：關于對稱軸的對稱點為，即可判斷②；根據對稱軸可得，根據當時，與其對應的函數值，得出，進而可得，根據對稱性可得二次函數的圖象過點，，得出，當時，得出，結合，即可判斷③．【詳解】解：①根據圖表可知：二次函數的圖象過點，，對稱軸為直線，，當時，與其對應的函數值，，，函數圖象的頂點在第四象限內；故①正確：②根據二次函數的對稱性可知：關于對稱軸的對稱點為，即和3是關于的方程的兩個根，②正確；③對稱軸為直線，，，當時，與其對應的函數值，，即，．對稱軸為直線，二次函數的圖象過點，，，當時，，，．，③錯誤．故選：C．13．（2024·湖北恩施·二模）二次函數（，，是常數，且）的自變量與函數值的部分對應值如下表：…012……22…且當時，對應的函數值，有以下結論：①；②關于的方程的正實數根在1和之間；③；④點和在該二次函數的圖象上，則當實數時，．其中正確的結論是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查二次函數的相關性質，①根據表格數據可得對稱軸為直線，即，，即可判斷；②根據題意得出拋物線開口向下，根據對稱性可得當時，，過點，則關于x的方程的正實數根在1和之間；③將與代入解析式得到m和n的表達式，再結合當時，對應的函數值，即可表示出的取值范圍；④分類討論，當在拋物線的對稱軸右側時，的橫坐標恒大于等于對稱軸對應的x的值時必有，求出對應的t即可；當與在拋物線的對稱軸異側時，根據拋物線的性質當的橫坐標到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離時滿足，求出對應的t即可.【詳解】解：∵當和時，，∴對稱軸為直線，∴，即，當時，，即∴，故①錯誤；∵當和時，，當時，對應的函數值，∴拋物線開口向下，根據對稱性可得當時，，又∵過點，∴關于x的方程的正實數根在1和之間；故②正確；∵，∴將與代入解析式得：，則：，∵當時，對應的函數值，∴得：，即：，解得：，∴，故③正確④∵函數過點且當，即時，對應的函數值，∴可以判斷拋物線開口向下，當在拋物線的對稱軸右側時，恒在拋物線的對稱軸右側，此時恒成立，∴的橫坐標大于等于對稱軸對應的x，即，解得時；當與在拋物線的對稱軸異側時，根據拋物線的性質當的橫坐標到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離時滿足，即當時，滿足，∴解得，即與在拋物線的對稱軸異側時滿足，∴綜上當時，.故④正確.故選：C.14．（2024·新疆烏魯木齊·二模）如圖，拋物線經過點，頂點為，且拋物線與軸的交點在和之間（不含端點）則下列結論：①當時，；②有兩個實數根；③當的面積為時，；④當為直角三角形時，在內存在唯一一點，使得的值最小，最小值的平方為，其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①先求出拋物線與軸的另一個點的坐標，根據圖像即可判斷；②根據二次函數與一元二次方程關系，利用數形結合思想即可判斷；③利用割補法用表示出面積，再求出的值，即可判斷；④過點、分別作軸、軸的平行線交于點，連接、、，運用分類討論思想，求出的值，再將繞點逆時針旋轉得到，連接，過點作軸于點，作軸于點，推出當點、、、共線時，值最小，最小值為，此時，設，在和中，利用勾股定理列出方程組，求出，的值，進而求出，并與比較，即可判斷．【詳解】①拋物線經過點，頂點為，拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的另一個交點坐標為，拋物線的開口向上，當時，，故①正確；②方程可變形為方程，因此有兩個實數根相當于函數的圖象與函數的圖象有兩個交點，畫出函數圖象如下：故②正確；③將，代入，得，解得：，，拋物線的頂點為，設拋物線對稱軸交軸于，如圖，則，，,，，，，，，，故③正確；④如圖，過點、分別作軸、軸的平行線交于點，連接、、，則四邊形是矩形，，，，，，，，，，，為直角三角形，有三種情況：或或，顯然，只能或，若，則，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，即，，，；若，則，，，，，，即，，，；點B在與之間（不含端點），，解得，，，，如圖，將繞點逆時針旋轉得到，連接，過點作軸于點，作軸于點，，，，和是等邊三角形，，，當點O、P、、共線時，值最小，最小值為，此時，設，則，，，，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，即，解得，故④錯誤；綜上，正確的有①②③．故選：A．【點睛】本題考查二次函數圖象與性質，待定系數法，二次函數于一元二次方程關系，圖形的旋轉變換，矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，二元二次方程組，能靈活運用上述知識是解題的關鍵．15．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）二次函數圖象如圖，下列結論：①；②；③當時，；④；⑤若，且，．其中正確的序號是（

）A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤【答案】D【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小：當時，拋物線開口向上；當時，拋物線開口向下；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置，當與同號時（即，對稱軸在軸左側；當與異號時（即，對稱軸在軸右側；常數項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于；根據拋物線開口方向得，由拋物線對稱軸為直線，得到，即，由拋物線與軸的交點位置得到，所以；根據二次函數的性質得當時，函數有最大值，則當時，，即；根據拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點在的右側，則當時，，所以；把先移項，再分解因式得到，而，則，即，然后把代入計算得到．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線對稱軸為直線，，即，所以②正確；拋物線與軸的交點在軸上方，，，所以①錯誤；拋物線對稱軸為直線，函數的最大值為，當時，，即，所以③正確；拋物線與軸的一個交點在的左側，而對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個交點在的右側當時，，，所以④錯誤；，，，，而，，即，，，所以⑤正確．故選：D16．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，拋物線交x軸于點A，B，交y軸的負半軸于點C，頂點為D，連接，．給出下列結論：①；②當時，；③當是等腰直角三角形時，；④若是一元二次方程的兩個根，且，則．其中，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數圖象與系數的關系，正確識別圖象，根據圖象判斷式子的正負的方法．根據，，得出拋物線對稱軸為直線，則，當時，，即可判斷①；根據拋物線的對稱軸為直線，得出當時，該二次函數取最小值，即可判斷②；連接，令對稱軸與x軸相交于點E，根據等腰直角三角形的性質得出，則，設該拋物線的解析式為，把代入得：，求出a的值，即可判斷③；根據，是一元二次方程的兩個根，得出拋物線與直線相交于，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線交軸于，，∴拋物線對稱軸為直線，∴，當時，，整理得：，故①正確，符合題意；當時，，當時，，由②可知，拋物線的對稱軸為直線，∴當時，該二次函數取最小值，∵，∴，即，故②不正確，不符合題意；連接，令對稱軸與x軸相交于點E，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，設該拋物線的解析式為，把代入得：，解得：，故③正確，符合題意；∵，是一元二次方程的兩個根，∴拋物線與直線相交于，∵拋物線交軸于，，∴，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，共2個，故選：B．17．（2024·湖北·模擬預測）已知二次函數有以下結論：①對任意實數m，都有與對應的函數值相等；②無論a取何值，此函數的圖象必過兩個定點；③若此函數圖象與x軸有兩不同交點A，B，且，則；④若，對應的y的整數值有3個，則或．其中正確的個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】①先求二次函數對稱軸，根據對稱軸來判斷與對應的兩個點是關于直線對稱，從而得出判斷；②根據二次函數直接判斷結論是錯誤的；③設，且，根據根與系數的關求出兩根之和兩根之積，從而表示長，再根據已知條件分兩種情況分別討論，最終得出結果；④根據已知條件分兩種情況分別討論，當時，若，y隨的增大而減小，得，再根據的整數值有3個，得；當時，若，y隨的增大而增大，，方法和第一種情況類似，求出，從而得出最終結論．【詳解】解：①二次函數對稱軸為直線，，∴與關于直線對稱，∴對任意實數，都有與對應的函數值相等，∴①正確；②∵對稱軸為直線，與軸的交點為，∴拋物線也過點，∴無論取何值，拋物線一定過兩個定點和，∴②正確；③∵若拋物線與軸交于不同兩點，設，且，∵是方程的兩個不同的根，∴，∴，∵，，當時，解不等式得，當時，無解，綜上所述：，∵若拋物線與軸交于不同兩點，∴，∴或，綜上所述：，∴③正確；④∵當時，若，y隨的增大而減小，當時，，當時，，，∵的整數值有3個，，，當時，若，y隨的增大而增大，，∵的整數值有3個，，，綜上所述：或，∴④正確．故選：A．【點睛】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、二次函數圖象與系數的關系、一元一次不等式組的整數解，掌握這幾個知識點的綜合應用，其中分情況討論及二次函數的性質的應用是解題關鍵．18．（2024·湖南·模擬預測）如圖，二次函數的圖象經過點，且與軸的交點的橫坐標分別為，，其中，．下列結論：①；②；③；④對任意，都成立，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查二次函數圖象與性質，根據二次函數圖象與性質逐項判斷即可得到相關不等式的關系，熟記二次函數圖象與性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向下，則，①錯誤；由圖象可知，拋物線對稱軸，結合①中可得，即，②正確；如圖所示：當時，，③正確；，，，由①知，則，即，則，，即，④正確；綜上所述，題中結論正確的是②③④，共3個，故選：C．19．（2024·四川南充·模擬預測）關于二次函數，有下列四個結論：①對任意實數m，都有與對應的函數值相等；②若時，對應的y的整數值有4個，則或；③若拋物線與x軸交于A、B兩點，且，則或；④若，則一元二次方程一定有兩個實數根．以上結論，正確的有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①③④【答案】B【分析】根據拋物線的對稱軸利用中點坐標公式即可判定①；分和兩種情況，根據二次函數的圖象與性質，確定出當時，函數值的取值范圍，由題意即可求得a的取值范圍，從而判定②；當時，，則；由，則當時，即對稱軸右邊到對稱軸的距離為3時自變量值，此時得對應函數值；分和兩種情況，分別得到和，解兩個不等式組即可判定③；對于方程，有；當，且時，，原方程一定有兩個不相等實數根；，但，則不一定成立；故可判定④；從而可確定最后答案．【詳解】解：二次函數的對稱軸為直線，，故①正確；當時，；當時，；當時，；若，則，對應y的整數值有4個分別是，，；若，則，對應y的整數值有4個分別是，，；綜上，時，對應的y的整數值有4個，則或；故②錯誤；當時，，則，若，拋物線與x軸交于A、B兩點，，當時，，，解得：，若，拋物線與x軸交于A、B兩點，，∴當時，，，解得：；若拋物線與x軸交于A、B兩點，且，則或，故③正確；對于一元二次方程，有，若，且，則成立，原方程一定有兩個不相等實數根；若，但，則不一定成立；故④錯誤．綜上，正確的有①③，故選：B．【點睛】本題是二次函數的綜合，考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程，解不等式組等知識；掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．20．（2024·四川南充·模擬預測）已知直線與拋物線交于點，與直線交于點．下列說法：①拋物線的頂點一定在直線上；②直線始終在拋物線的下方；③線段長度的最小值為3；④當時，若的長度隨的增大而減小，則．其中正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．23④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查二次函數的性質，根據二次函數的性質逐個計算判斷即可．【詳解】∵拋物線的頂點為，∴頂點在直線上，故①正確；∵，∴直線始終在拋物線的下方，故②正確；直線與拋物線交于點，與直線交于點，∴，∴線段PQ的最小值為2，故③錯誤；∵，開口向上，在對稱軸的左側，長度隨的增大而減小，，，則．故④正確．綜上可得：①②④，故答案為：B．21．（2024·湖北·模擬預測）函數的圖像如圖所示且其對稱軸為直線，E為x軸上方拋物線上一點，在拋物線AE段上有一點F使得三角形AEF面積最大，同理做出M、N使得三角形EFM與三角形AFN面積最大，則下列結論正確的有（

）①②連接則③④當的最大值為時拋物線定過、A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據開口方向和與y軸交點的位置可得，再由對稱軸計算公式得到，據此可判斷①；設，，直線解析式為，聯立得：，則；設在直線上方且平行于直線的直線解析式為，當直線與拋物線只有一個交點時，直線到直線的距離最大（二者有交點的情況下），即此時點A，點B和直線與拋物線的交點組成的三角形面積最大，聯立得：，則可得，即，，同理可得，；求出，則可得到，再證明表示的是直線的一次項系數，同理表示的是直線的一次項系數，則直線與直線的一次項系數相同，據此可判斷②；當拋物線解析式為時，且點E坐標為時，則，由②可得，分別求出三個三角形的面積即可判斷③；求出的最大值為則，推出，當時，解得或，據此可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，∴，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴拋物線解析式為設，，直線解析式為，聯立得：，∴；設在直線上方且平行于直線的直線解析式為，當直線與拋物線只有一個交點時，直線到直線的距離最大（二者有交點的情況下），即此時點A，點B和直線與拋物線的交點組成的三角形面積最大，聯立得：，∴，∴，∴，同理可得，，∴，，∵點A是拋物線與x軸的交點，∴，∴，∴；，∴，∵，∴，∴表示的是直線的一次項系數，同理表示的是直線的一次項系數，∴直線與直線的一次項系數相同，∴，故②正確；當拋物線解析式為時，且點E坐標為時，則，由②可得，∴，∴，∴，∴此時有，故③錯誤；在中，當時，，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴的最大值為當的最大值為時，則，∴，∴拋物線解析式為，當時，解得或∴此時拋物線定過、，故④正確；∴正確的有①②④，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，解題的關鍵在于確定．三、二次函數與一次函數綜合22．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，二次函數的圖像交軸于兩點（在左側），交軸于點，將繞著點逆時針旋轉，其所在直線與二次函數圖像交于點，則點坐標為．【答案】【分析】本題考查了二次函數與一次函數的交點問題，解直角三角形，待定系數法求函數解析式，矩形的性質，等腰直角三角形的直角，勾股定理，過點作于，過點作于，于，連接，設直線與軸相交于點，利用解直角三角形求出點的坐標，進而利用待定系數法求出直線的解析式，再聯立函數解析式得到二元一次方程組，解方程組即可求解，求出點的坐標是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點作于，過點作于，于，連接，設直線與軸相交于點，則四邊形為矩形，∴，，，∵二次函數，∴，∴，把代入得，，解得，，∴，，∴，，，∴，，，∴，∵，∴，為等腰直角三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，聯立函數解析式得，，解得或，∴點坐標為，故答案為：．23．（2024·遼寧大連·二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，點在軸負半軸上，點繞點順時針旋轉，恰好落在第四象限的拋物線上點處，且，則點的坐標是．【答案】【分析】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求解析式，三角形全等的性質和判定等知識，合理運用二次函數的性質是解決本題的關鍵．過點作的延長線于點，過點作于點，則，設與軸交于點，根據全等三角形的性質得到，，求得的解析式為：，聯立即可得到．【詳解】如圖，過點作的延長線于點，過點作于點，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．設與軸交于點．∵，，∴，∴．∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，∴點的坐標為，點的坐標為，∴，∴點的坐標為，設直線的解析式為，代入和得，解得：，∴直線的解析式為．聯立，解得（舍去）或，∴點的坐標為．故答案為：24．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于點，（點在點左邊），與軸交于點，拋物線的頂點為，點在線段（不與點，M重合）上，連接，將線段繞點旋轉后得到線段，若點恰好落在拋物線上，則點的坐標為．【答案】或【分析】本題考查了二次函數綜合題，掌握數形結合，構造全等三角形將點的坐標進行轉換是解題的關鍵．根據二次函數解析式求出點，的坐標，從而求出直線的解析式；由全等三角形得到，點代入，得從而求得點的坐標，第二種情況是過點作軸于點，過點作軸于點，由全等三角形得到，，點代入，得，求出的值，從而求出點的坐標．【詳解】解：，，令，得，，設直線的解析式為，將點代入，得，解得，直線的解析式為，設，如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，線段繞點旋轉后得到線段，，，，，，，，，，將點代入，得，解得（不合題意，舍去），，，如下圖，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，同理，得，，，，將點代入，得，解得（不合題意，舍去），，，綜上所述，點的坐標為或，故答案為：或．25．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于點A、B（點A在B左側），拋物線的頂點為C，點D為拋物線上一點，且在對稱軸右側，若的面積為3，則點D的坐標為．【答案】【分析】本題考查了二次函數與面積綜合，二次函數的圖象與性質，一次函數解析式等知識．熟練掌握二次函數與面積綜合，二次函數的圖象與性質，一次函數解析式是解題的關鍵．令，即，可求或，即，，由，可得，如圖，記直線與軸的交點為，設，且，待定系數法求直線的解析式為，當時，，可求，即，則，計算求出滿足要求的解，進而可得結果．【詳解】解：令，即，解得，或，∴，，∵，∴，如圖，記直線與軸的交點為，設，且，設直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，當時，，解得，，∴，∴，整理得，，解得，或（舍去），∴，故答案為：．26．（2024·浙江寧波·二模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，，且經過點，為直線上方拋物線上的一點，當

時，點的橫坐標為．【答案】/【分析】本題考查二次函數，一次函數，銳角三角形的知識，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質，過點作軸交軸于點，根據題意，利用待定系數法求出二次函數的解析式，根據，則，根據，求出，可得，將直線向下平移，使得點與點重合，可得直線的解析式為：，得到直線的解析式，聯立拋物線和直線的解析式，即可．【詳解】解：過點作軸交軸于點，∵拋物線與軸交于，，且經過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，將直線向下平移，使得點與點重合，∴，∴直線的解析式為：，∵，∴直線的解析式，∴聯立和，∴，解得：（舍去）或，∴點的橫坐標為，故答案為：．27．（2024·全國·模擬預測）如圖，拋物線與軸相交于兩點．過點的直線交拋物線于點．點在拋物線上，橫坐標為，連接，將線段繞點旋轉，得到線段，當點恰好落在直線上時，點的坐標．【答案】或【分析】本題考查了二次函數的性質，一次函數的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，分和兩種情況解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：設拋物線與軸的交點為，把代入得，，解得，，∴，，把代入得，，∴，∴，∵將線段繞點旋轉，得到線段，點在拋物線上，橫坐標，∴當點與點重合時，點與點重合，此時，點的坐標為；當時，過點作軸于，過點作軸于，則，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∵點恰好落在直線上，∴，解得（不合舍去），，∴；綜上，點的坐標為或，故答案為：或．28．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】首先利用待定系數法確定該拋物線解析式，進而確定拋物線頂點的坐標；結合的長度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周長最小．過點作關于軸和軸對稱的點，分別計算兩種情況下的周長再取最小值即可．【詳解】解：根據題意，拋物線的對稱軸為，且經過點，則有，解得，∴該拋物線的解析式為，∵，∴該拋物線頂點的坐標為，∵的長度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周長最小，如圖1，過點作關于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，則，，設直線的解析式為，將點和點代入，可得，解得，故該直線的解析式為，當時，，即，∵，且，∴此時的周長；同理，如圖2，過點作關于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，則，設直線的解析式為，將點和點代入，可得，解得，故該直線的解析式為，當時，，即，∵，且，∴此時的周長；∵，∴，∴點在軸上時，的周長最小，此時點的坐標是．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合應用、軸對稱的性質、勾股定理等知識，解題關鍵是分類討論，避免遺漏．四、求參數的值或范圍29．（2024·福建廈門·二模）已知點，，在拋物線上，且．則n的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質．熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．由題意知，拋物線的對稱軸為直線，由點，在拋物線上，可知對稱軸為直線，則，即，，，，當時，，即，可求，由，可得，計算求解，然后作答即可．【詳解】解：由題意知，拋物線的對稱軸為直線，∵點，在拋物線上，∴對稱軸為直線，∴，即，，∵，∴，∴，當時，，∴，解得，，∵，∴，解得，或，綜上所述，或，故答案為：或．30．（2024·江蘇揚州·二模）若點、、都在二次函數的圖象上，且，則m的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質．求得二次函數的對稱軸直線即為直線，由拋物線與軸交點為，其關于對稱軸直線的對稱點為，由，知，；①當，都在對稱軸左側時，隨的增大而減小，有，可得滿足的條件為；②當在對稱軸左側，在對稱軸右側時，到對稱軸直線距離大于到對稱軸直線的距離，故，得：，滿足的條件是．【詳解】解：，都在這個二次函數的圖象上，二次函數的對稱軸直線即為直線，，，，解得，，在對稱軸左側，在對稱軸右側，在中，令得，拋物線與軸交點為，關于對稱軸直線的對稱點為，，，解得；①當，都在對稱軸左側時，隨的增大而減小，且，，解得，此時滿足的條件為；②當在對稱軸左側，在對稱軸右側時，，到對稱軸直線距離大于到對稱軸直線的距離，，解得：，此時滿足的條件是，綜上所述，或．故選：D．31．（2024·福建三明·三模）已知點，，，都在二次函數（，，為常數，且）的圖象上，若，則的取值范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質，由題意得，，，，再根據，求出，然后分和兩種情況討論即可求解，熟練掌握二次函數的圖象及性質是解題的關鍵．【詳解】∵二次函數過點，，，，∴，，，，∴，即有，∵，∴，∴，當時，，∴，解得：，當時，，∴，解得：，綜上可知：的取值范圍是或，故選：．32．（2024·福建福州·模擬預測）已知拋物線過點，兩點，若，時，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【分析】根據拋物線過點，兩點，可以求得該拋物線的對稱軸，然后再根據，時，y的最大值為即可求得的值．【詳解】解：∵拋物線過點，兩點，，解得：，∴拋物線即為，它的開口向下，對稱軸是直線，當時，有最大值，若，則，∵當時，y的最大值為，∴，即，解得：，∵，．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．33．（2024·廣東東莞·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線（a，b，c為常數，且）經過和兩點．已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點，則a的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【分析】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法等知識，解題的關鍵是理解題意，構建不等式解決問題．由，得，，則其頂點坐標為，可知當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，分兩種情況：當頂點在線段上方時，當頂點在線段上時，分別討論即可求解．【詳解】解：將，代入中，得，解得：，∴，，則其頂點坐標為，當時，，當時，，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，當頂點在線段上方時，，即：，∵當時，隨增大而減小，∴此時，拋物線與線段有一個交點，即：在上方，在下方，∴，可得；當頂點在線段上時，，可得；綜上：或．故答案為：或．34．（2024·浙江舟山·一模）已知一次函數，當時，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數性質是解答本題的關鍵．先分析和時導出，根據最小值可得最小值為，通過配方得到，再根據確定的取值．【詳解】解：當時，，，當，，，當時，，，當，，，的最小值為2，最小值為，，當時，取得最小值，即，，由題意知，所以，當時，，，不符合題意舍去，當時，，滿足題意，故選：D35．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知二次函數，當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或【答案】D【分析】依據題意，由，故拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下，又當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，進而分類討論計算可以得解．【詳解】解：由題意，∵，∴拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下．①當時，即，∵時，y隨x的增大而增大，∴當時，取最小值為；當時，取最大值為；又∵，∴∴，不合題意．②當時，∵時，y隨x的增大而減小，∴當時，取最大值為；當時，取最小值為；又∵，∴，∴，不合題意．③當時，即.∴當時，取最大值為若當時，取最小值為；∴，∴（舍去）或．當時，取最小值為；∴，∴，∴（舍去）或．綜上，或．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數的最值，一元二次方程的解法，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．36．（2024·江蘇淮安·模擬預測）已知，是拋物線上的兩點，當時，均有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，先求出二次函數的對稱軸，根據對稱軸可得點關于對稱軸的對稱點為，再根據當時，均有，可得，解不等式組即可求解，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴點關于對稱軸的對稱點為，∵當時，均有，∴，解得，故選：．37．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數，若點，點，點都在二次函數圖象上，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，絕對值的性質，由點、點可得拋物線的對稱軸為直線，即得，得，再根據二次函數解析式得拋物線與軸的交點坐標為，又根據拋物線開口向上，拋物線上的點離對稱軸的距離越近，函數值越小，得到點到對稱軸的距離比點到對稱軸的距離近，即得，最后根據絕對值的性質解不等式即可求解，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵點，點在二次函數圖象上，∴拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∵當時，，∴拋物線與軸的交點坐標為，∵拋物線開口向上，∴拋物線上的點離對稱軸的距離越近，函數值越小，∵，∴點到對稱軸的距離比點到對稱軸的距離近，∴，即，當時，，∴；當時，，∴；綜上，的取值范圍為或，故選：．38．（2025·廣東揭陽·一模）已知和為方程的兩個實數根，且，則實數n的最大值為．【答案】【分析】本題考查根與系數的關系，二次函數的最值問題，根據根解析式的關系可得，，進而結合已知條件，表示出的函數關系式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】解：∵和為方程的兩個實數根，∴，∵∴∵，∴∵∴存在最大值，最大值為故答案為：．39．（2025·廣東佛山·一模）在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是拋物線對稱軸上的一個動點．小明經過探究發現：當的值確定時，拋物線的對稱軸上能使為直角三角形的點的個數也隨之確定．若拋物線的對稱軸上存在3個不同的點，使為直角三角形，則的值是（

）A． B．或 C．2 D．2或【答案】D【分析】本題考查了二次函數的應用、圓的切線的性質等知識，綜合性較強，有一定難度．正確分情況討論，找出拋物線的對稱軸的位置是解題關鍵．如圖（見解析），分三種情況：①當時，則點在與垂直的直線上運動（不含點），②當時，則點在與垂直的直線上運動（不含點），③當時，則點在以為直徑的圓上運動，圓心為的中點，判斷出這個拋物線的對稱軸（圖中的和）與相切，由此計算即可得．【詳解】解：由題意可知，有以下三種情況：①如圖，當時，，為直角三角形，則點在與垂直的直線上運動（不含點），且M點是與拋物線對稱軸的交點；②當時，，為直角三角形