PAGEPAGE1專題08函數(shù)與方程考綱要求:結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，推斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù)．概念駕馭及解題上的留意點：1.有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連綿不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連綿不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的全部函數(shù)值保持同號．(3)連綿不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．2．推斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法（1）解方程，當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上來推斷.（2）利用零點存在性定理進(jìn)行推斷.（3）數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)圖象，通過視察圖象與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點來推斷.3.已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法（1）干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.三、高考考題題例分析：例1.（2024全國I卷）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）故實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞），故選：C．例2.（2024全國卷III）函數(shù)f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零點個數(shù)為．例3.(2024·山東高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．(3，＋∞)解析：作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x>m時，xeq\s\up7(2)－2mx＋4m＝(x－m)eq\s\up7(2)＋4m－meq\s\up7(2)，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－meq\s\up7(2)<m，即meq\s\up7(2)－3m>0.又m>0，解得m>3.例4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}例5．(2014·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析：選C因為f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)<0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4)，故選C.函數(shù)與方程練習(xí)題選擇題：1．函數(shù)y＝2x與y＝2－x的圖象關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱解析：選B作出y＝2x與y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象(圖略)，視察可知其關(guān)于y軸對稱．2．設(shè)a＝22.5，b＝2.50，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2.5，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a(chǎn)>b>c解析：選Da>1，b＝1,0<c<1，所以a>b>c.3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2,1)，則f(x)的值域為()A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)4．函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案：B5．已知實數(shù)a>1,0<b<1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點所在的區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：選B∵a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．6．設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：選B函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標(biāo)所在的范圍．作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．故選B.7．若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是()A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)C解析：由題意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2).8．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是連綿不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有()A．2個 B．3個C．4個 D．5個B解析：由零點存在性定理及題中的對應(yīng)值表可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)，(3,4)，(4,5)內(nèi)均有零點，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3個零點．故選B.9．曲線y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)與y＝xeq\s\up7(eq\f(1,2))的交點橫坐標(biāo)所在區(qū)間為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))10．已知三個函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點依次為a，b，c，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜bB解析：由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，且f(x)為R上的增函數(shù)，故f(x)＝2x＋x的零點a∈(－1,0)．因為g(x)是R上的增函數(shù)，g(2)＝0，所以g(x)的零點b＝2.因為heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＜0，h(1)＝1＞0，且h(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以h(x)的零點c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a＜c＜b.11．(2024·合肥第一次質(zhì)檢)從[－2,2]中隨機選取一個實數(shù)a，則函數(shù)f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零點的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)A．解析函數(shù)f(x)有零點，即f(x)＝4x－2a·2x＋1＝0有解，則2a＝2x＋eq\f(1,2x)≥2，a≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，等號成立．所求概率為eq\f(2－1,2＋2)＝eq\f(1,4)，故選A.11．已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,8)C．－eq\f(7,8) D．－eq\f(3,8)12．(2024·杭州質(zhì)檢)設(shè)方程x＝ln(ax)(a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù))，則()A．當(dāng)a＜0時，方程沒有實數(shù)根B．當(dāng)0＜a＜e時，方程有一個實數(shù)根C．當(dāng)a＝e時，方程有三個實數(shù)根D．當(dāng)a＞e時，方程有兩個實數(shù)根D．解析：由x＝ln(ax)得ex＝ax，則函數(shù)y＝ex，y＝ax圖象的交點個數(shù)是原方程根的個數(shù)．當(dāng)a＜0時，在其次象限有一個根，A錯誤；設(shè)過原點的直線與y＝ex相切的切點坐標(biāo)為(x0，eeq\s\up4(x0))，則eeq\s\up4(x0)＝eq\f(eeq\s\up4(x0),x0)，x0＝1，則切線斜率為e，所以當(dāng)0＜a＜e時，方程無根；當(dāng)a＝e時，方程有一個實數(shù)根；當(dāng)a＞e時，方程有兩個實數(shù)根，D正確，故選D.二、填空題;13．已知關(guān)于x的方程x2＋mx－6＝0的一個根比2大，另一個根比2小，則實數(shù)m的取值范圍是________．(－∞，1)解析：[設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋mx－6，則依據(jù)條件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零點所構(gòu)成的集合為________．{－2，e}解析：由f(x)＝0得或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.15．若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是__________.(0,2)解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示，則當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點．16．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x＞0，,－x2－2x，x≤0，))若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．(0,1)三、解答題：17．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)－4lnx的零點個數(shù).[解](1)∵f(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.18．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x＞0)．(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍．[解](1)如圖所示．(2)因為f(x)＝eq\b\lc\|\