專題6.2平面向量的運算【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1向量的加減運算】 3【題型2平面向量的混合運算】 4【題型3由平面向量的線性運算求參數】 5【題型4向量共線定理的應用】 7【題型5根據向量關系判斷三角形的心】 9【題型6向量線性運算的幾何應用】 12【知識點1平面向量的線性運算】1．向量的加法運算(1)向量加法的定義及兩個重要法則定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量,，在平面內任取一點A.作法作，連接AC.結論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個不共線的向量,，在平面內任取一點O.作法作，以OA,OB為鄰邊作四邊形OACB.結論以O為起點的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運算律(1)交換律：；(2)結合律：.3．向量的減法運算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即=+().求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內任取一點O，作=，=，則==.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數乘運算(1)向量的數乘的定義一般地，我們規(guī)定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當>0時，的方向與的方向相同；當<0時，的方向與的方向相反.(2)向量的數乘的運算律設,為實數，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特別地，我們有()=()=()，()=.

(3)向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量,，以及任意實數,,，恒有()=.【題型1向量的加減運算】【例1】（2023·云南·高二學業(yè)考試）化簡AC?BD+CD?AB得（

）A．AB B．DA C．BC D．0【解題思路】利用向量的加減運算法則化簡即可.【解答過程】AC?BD+CD?AB故選：D.【變式11】（2023·全國·高一專題練習）OM?A．MB B．BA C．AB D．BM【解題思路】利用平面向量的線性運算化簡，求解即可．【解答過程】由題意可得：OM?故選：C．【變式12】（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）如圖所示，在△ABC中，BD=6DC，則AD=

A．17AB+C．16AB+【解題思路】根據向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.【解答過程】根據向量的線性運算法則，可得：AD=故選：A.【變式13】（2023上·廣西南寧·高二校考開學考試）下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA?OD+【解題思路】根據向量的加法、減法運算化簡即可得解.【解答過程】因為AB+因為AB+因為OA?因為NQ+故選：B.【題型2平面向量的混合運算】【例2】（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡6a?bA．6a+2bC．?2a?14b【解題思路】利用平面向量的數乘及加減運算即可求得結果.【解答過程】根據向量的四則運算可知，6a故選：D.【變式21】（2023上·北京·高二校考階段練習）設i,j,k是兩兩不共線的向量，且向量a=?i+2A．11i?2j+5k B．?11i【解題思路】根據向量基底運算法則直接計算即可.【解答過程】因為a=?i+2所以2a故選：C.【變式22】（2023下·浙江·高一校聯考階段練習）設M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則2MA+3MBA．AB B．BC C．CD D．5【解題思路】根據平行四邊形性質及向量的線性運算化簡得解.【解答過程】如圖，

2=MB+MC故選：A．【變式23】（2023·全國·高一專題練習）若a=2b+cA．?a B．C．?c 【解題思路】先化簡3a+2b【解答過程】因為a=2所以3a+2b?2=2b+c故選：C.【題型3由平面向量的線性運算求參數】【例3】（2023·山東·校聯考模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yA．83 B．3 C．103 【解題思路】根據向量的線性運算法則和運算律求解即可.【解答過程】AH=AB所以x=2,y=53，所以故選：D.【變式31】（2022·高一課時練習）在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．2 D．－1【解題思路】由DA=2BD可得D為線段AB的三等分點中靠近B的點，由向量的加(減)法及數乘運算可得3CD【解答過程】解：如圖所示：因為DA=2所以D為線段AB的三等分點中靠近B的點，所以CD=CA+所以3CD所以λ=?2.故選：C.【變式32】（2022·河南·校聯考模擬預測）已知△ABC的邊BC的中點為D，點E在△ABC所在平面內，且BD=2BE?BA，若mCEA．7 B．6 C．3 D．2【解題思路】利用平面向量的線性運算可求出4CE+3AC=AB【解答過程】因為BD=2BE?因為BE=BC+所以2CE所以4CE因為mCE所以m=4，n=3，故m+n=7.故選：A．【變式33】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且AE=2EC，點F為線段AD的中點，記EF=λAB+μADλ,μ∈A．?56 B．?16 C．【解題思路】通過向量的線性運算化簡向量即可求解.【解答過程】EF=EA+AF=?所以λ+μ=?5故選：A.【知識點2向量共線定理】1．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使=.

(2)向量共線定理的應用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個不共線向量(如,)表示向量,，設=(≠0)，化成關于,的方程()=()，由于,不共線，則解方程組即可.【題型4向量共線定理的應用】【例4】（2023上·內蒙古通遼·高三校考階段練習）已知向量a,b不共線，AB=a+3b，A．A，B，C三點共線 B．A，C，D三點共線C．A，B，D三點共線 D．B，C，D三點共線【解題思路】根據向量共線定理進行判斷即可.【解答過程】因為a,b不共線，AB=a+3易得AB,BC,CD互不共線，所以A，B，C三點不共線，B，又AC=AB+BC=6a+6b，易得而BD=BC+CD=2a+6故選：C.【變式41】（2023下·山西·高一統(tǒng)考階段練習）已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=?e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【解題思路】根據已知求出AC=3e1+λ+2e2【解答過程】由已知可得，AC=AB+因為A，C，D三點共線，所以AC,則?μ∈R，使得AC即3e整理可得3?μe因為e1，e所以有3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，解得λ=故選：D.【變式42】（2023下·山東泰安·高一泰安一中校考期中）如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若AB=mAM,AC=n

A．2 B．3 C．92 【解題思路】根據AO=12AB+【解答過程】因為點O是BC的中點，所以AO=又因為AB所以AO=因為O,M,N三點共線，所以m2所以m+n=2.故選：A.【變式43】（2023·高一課時練習）設D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF與BC反向平行 B．C．3BE+3CF?BC與CA反向平行 【解題思路】將AD、BE、CF用AB和AC表示，再根據平面向量的線性運算以及平行的概念判斷可得答案.【解答過程】因為DC=2BD，所以因為CE=2EA，所以因為AF=2FB，所以AD=AB+BDBE=AE?CF=AF?所以AD+BE+CF所以AD+BE+3BE+3=?2AC所以3BE+3CF故選：A.【題型5根據向量關系判斷三角形的心】【例5】（2022·高一課時練習）已知點O是△ABC所在平面上的一點，△ABC的三邊為a,b,c，若aOA→+bOB→+cOCA．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【解題思路】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，即可得到四邊形ADFE是菱形，再根據平面向量線性運算法則及共線定理得到A，【解答過程】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且AF→∴AF為∠BAC的平分線．

∵∴a?OA→即(a+b+c)OA∴AO→∴A，O，F三點共線，即O在∠BAC的平分線上．同理可得O在其它兩角的平分線上，∴O是△ABC的內心．故選：B．【變式51】（2023·全國·高三對口高考）O是平面內一定點，A，B，C是平面內不共線三點，動點P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心【解題思路】根據向量線性關系可得λ(AB+AC【解答過程】由題設λ(AB而AB+AC所在直線過BC中點，即與BC邊上的中線重合，且所以P的軌跡一定通過△ABC的重心.故選：D.【變式52】（2023下·上海奉賢·高一校考期中）設O為△ABC所在平面內一點，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 【解題思路】延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，則由已知條件可得O為△ADE的重心，由重心的性質可得S△AOD=S△AOE=【解答過程】解：延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，因為OA+2OB+2所以O為△ADE的重心，所以設S△AOD=S△AOE=所以S△ABC所以S△ABC故選：D.【變式53】（2022上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點O,P在△ABC所在平面內，滿OA+OB+OC=0，PA=A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心【解題思路】設AB中點為D，進而結合向量加法法則與共線定理得O,D,C三點共線，O在△ABC的中線CD，進而得O為△ABC的重心，根據題意得點P為△ABC的外接圓圓心，進而可得答案.【解答過程】解：設AB中點為D，因為OA+所以OA+OB+因為OD,OC有公共點所以，O,D,C三點共線，即O在△ABC的中線CD，同理可得O在△ABC的三條中線上，即為△ABC的重心；因為PA=所以，點P為△ABC的外接圓圓心，即為△ABC的外心綜上，點O,P依次是△ABC的重心，外心.故選：A.【題型6向量線性運算的幾何應用】【例6】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知點G為△BCD的重心，E，F，H分別為CD，AD，BC的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡結果．

(1)AG+(2)12(3)13【解題思路】（1）利用重心的特點和平面向量的加法法則計算即可；（2）利用向量加法的平行四邊形法則和減法法則計算即可；（3）利用向量的加法法則和減法法則計算即可.【解答過程】（1）如圖，連接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=

又12AG+1（2）連接AH，如圖，因為E，F，H分別為CD，AD，BC的中點，所以12AB+（3）1=AB在圖中標出AG，如圖所示．【變式61】（2023·全國·高一隨堂練習）在△ABC中，點M為邊AB的中點，點N為邊AC的中點，求證：MN=【解題思路】根據向量的線性運算將MN,BC分別用【解答過程】在△ABC中，點M為邊AB的中點，點N為邊AC的中點，則BC=MN=所以MN=【變式62】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

【解題思路】根據題意結合向量的線性運算分析證明.【解答過程】由題意可得：AN+NB=所以AN+由于AN與NC，NB與FN分別共線，但NC與FN不共線，所以NB=2FN，AN=2NC，因此同理可證MC=2AM，因此M也是【變式63】（2023