第十四講數學廣角—搭配（二）知識點一.解決搭配問題的方法一般有以下兩種：（1）一一列舉法：按一定的順序將所有情況一一列舉，再數一數一共列了多少種，就有多少種方法。（2）連線法：按一定的順序把要搭配的事物兩兩連線，再數一數連了多少條線，就有多少種方法。典例精講考點1：列舉法解決搭配問題【典例1】（2018?溧陽市）算盤的一個上珠表示5，一個下珠表示1（如圖），現在用1個上珠和2個下珠，一共可以表示出（）種不同的三位數A．6 B．12 C．21【分析】此題可以分類列舉，可以分為：①1個上珠在百位，2個下珠都在十位、2個下珠都在個位、1個下珠在十位，1個在個位，共3種情況；②1個上珠和1個下珠在百位，1個下珠在個位、1個下珠在十位，共2種情況；③1個上珠和2個下珠都在百位，只有1中情況；④1個下珠在百位，1個上珠與1個下珠在十位、1個上珠與1個下珠在個位、1個上珠在十位與1個下珠在個位、1個下珠在十位與1個上珠在個位，共4種情況；⑤2個下珠在百位，1個上珠在十位、1個上珠在個位，共2種情況；然后再把這5類三位數的個數加起來即可．【解答】解：根據分析可得：①520，502，511；②601，610；③700；④160，106，151，115；⑤250，205；一個可以表示：3+2+1+4+2＝12（種）．故選：B．【點評】此題考查了有關簡單的排列、組合的知識，對于這類問題，應注意恰當分類．【典例2】（2020秋?蘇州期末）小紅訂報紙，有《數學報》、《關心下一代》和《快樂作文》三種供選擇，她最少訂閱1份，最多訂閱3份，有7種不同的訂閱方法．【分析】分訂閱1種，訂閱2種，訂閱3種進行討論，求出每種的各有幾種訂法，再相加．【解答】解：①訂閱1種時：可以是任意1種，有3種方法；②訂閱2種時，是從三種中任選2種，共有3種方法；③訂閱3種時就是3份報紙都訂閱，有1種方法；共有：3+3+1＝7（種）；答：一共有7種訂閱方法．故答案為：7．【點評】本題分情況討論后，每一種情況都可以看成簡單的組合問題．【典例3】王可家一共摘了30千克棗子，可以用下面兩種規格的盒子裝。如果每個盒子都裝滿，那么可以怎樣裝才剛好裝完？【分析】根據兩種規格的盒子，用算式列舉出即可，如：30＝6×1+8×3，30＝6×5+8×0，然后解答。【解答】解：30＝6×1+8×3，即1個6千克的盒子和3個8千克的盒子。30＝6×5+8×0，即5個6千克的盒子。答：如果每個盒子都裝滿，那么用1個6千克的盒子和3個8千克或者5個6千克的盒子可以剛好裝完。【點評】用列舉法是解答本題的關鍵。考點2：連線法解決搭配問題【典例1】（2019秋?豐臺區期末）一個漢堡和一杯飲料配出套餐．現有2種漢堡（巨無霸、麥香魚）、3種飲料（芬達、雪碧、可樂）能配6種不同的套餐．【分析】套餐含一個漢堡和一杯飲料，2種漢堡有2種選擇，3種飲料有3種選擇，根據乘法原理，共有種不同的搭配方法．【解答】解：（種答：能配6種不同的套餐．故答案為：6．【點評】本題考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．【典例2】（2019秋?武侯區期末）如圖，從學校經過少年宮到動物園，一共有8條路可以走．【分析】從學校到少年宮有4條路可走，從少年宮到動物園有2條路可走，根據乘法原理可知一共有（條路可走．【解答】解：（條，答：一共有8條路可以走．故答案為：8．【點評】本題需要用乘法原理去考慮問題即做一件事情，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事就有種不同的方法．【典例3】小朋友跳舞，每兩人一組，最多有6種分法，用線連一連．【分析】（1）為了方便，我們用A、B、C、D來代表這4個小朋友．與A跳舞的有B、C、D，共3名小朋友，有3種分法；與B跳舞的，除A外，有C、D，共2名小朋友，有2種分法；與C跳舞的，除A、B外，還有D，共1名小朋友，有1種分法；所以，共有3+2+1＝6（種）．（2）用線段連接即可．【解答】解：（1）3+2+1＝6（種）．（2）如右圖：故答案為：6．【點評】此題考查了加法原理：做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有m1+m2+…+mn種不同的方法．綜合練習一．選擇題1．（2020春?蓬溪縣期末）用三個圓片在數位表中擺兩位數，可以擺（）個．A．2 B．3 C．4【分析】根據計數器的特點，用3個圓片在數位表中可以擺出：30、12、21，這3個數，據此選擇。【解答】解：用3個圓片在數位表中可以擺出：30、12、21，這3個數。故選：B。【點評】解決本題的關鍵是會使用數位表。2．（2019?北京模擬）有1元、2元、5元和10元人民幣各1張，每次取2張，可以有（）種不同的取法．A．4 B．6 C．10 D．14【分析】將1元、2元、5元和10元人民幣各1張任意取出2張一一列舉出來即可．【解答】解：每次取2張有：1元、2元＝；1元、5元＝；1元、10元；2元、5元；2元、10元；5元、10元．共有6種．故選：B．【點評】解答此題的關鍵是根據題意，能利用所給的幣值，找出組成的組合，一定不要重復和遺漏．3．（2018秋?宜昌期末）從A點到C點共有（）種走法．A．3 B．4 C．2【分析】從A點開始到C點結束，共有兩條路可走：A→B→C，A→D→C，據此解答即可．【解答】解：從A點到C點共有2種走法：A→B→C，A→D→C．故選：C．【點評】本題關鍵是明確行走路線中各點的順序．4．（2019?保定模擬）4個同學照相，每兩人照一張，一共照了（）張．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先不考慮重復的情況，每兩人照一張，每個人要和其他3人照3次，一共照了3×4＝12張；由于每個人重復多算了1次，所以實際上一共照了（12÷2＝6）張．【解答】解：根據題意可得：3×4÷2＝6（張）答：一共照了6張．故選：C．【點評】本題考查了組合知識，要注意不能重復計數，關鍵要理解：在不考慮重復的情況每個人要和其他3人照3次．5．（2019?保定模擬）3只小動物排隊，一共有（）種排法．A．3 B．6 C．9【分析】每種小動物排在第一名都有2種排法，那么3個小動物排隊，一共有（2×3）種排法．【解答】解：假設是甲、乙、丙3只小動物排隊，就有以下排法：甲乙-丙丙乙甲-丙丙丙甲-乙乙所以一共的排法是：3×2＝6（種）．故選：B．【點評】本題考查了排列知識，要注意排列的順序，關鍵要理解每種小動物排在第一名都有2種排法．6．（2018?湘潭）學習小組有6人，若從中挑選3人去參加一項體驗活動，則共計有（）種選擇方法．A．12 B．15 C．18 D．20【分析】從6個中先選1個，有6種選法；再從剩余5個中再選1個，有5種選法；再從剩余4個中選1個，有4種選法；總選法有6×5×4＝120種，重復的次數：3個人可以排列出3×2＝6種可能，相除即可得到答案．【解答】解：從6個中先選1個，有6種選法；再從剩余5個中再選1個，有5種選法；再從剩余4個中選1個，有4種選法；總選法：6×5×4＝120（種）重復的次數：3個人可以排列出3×2＝6（種）120÷6＝20（種）故選：D．【點評】這道題中先計算出6個人中選出3個人進行有順序的排列，得到120種，再計算出重復計算的次數，相除即可得到答案．7．（2020春?蘆溪縣期末）數位表中，用4個●分別能擺出（）個兩位數．A．4 B．5 C．6【分析】個位上的數字和十位上的數字加起來是4，這樣的兩位數有13、22、31、40，據此解答即可．【解答】解：數位表中，用4個●分別能擺出13、22、31、40四個兩位數．故選：A．【點評】解決本題時，注意按照一定的順序寫，不要重復和漏寫．8．（2019?長沙）現有1克、2克、4克、8克的砝碼各1個，能稱出（）種不同的重量。A．4 B．10 C．15【分析】四個砝碼選1個，可以有四種情況：1克、2克、4克、8克；選2個有6種情況：1+2＝3（克）、4+1＝5（克）、8+1＝9（克）、2+4＝6（克）、8+2＝10（克）、8+4＝12（克）；選3個有4種：1+2+4＝7（克）、1+4+8＝13（克）、2+1+8＝11（克）、4+8+2＝14（克）；選4個只有一種情況：1+2+4+8＝15（克）。據此解答。【解答】解：4+6+4+1＝15（種）答：能稱出15種不同的重量。故選：C。【點評】本題考查了學生排列組合方面的知識以及學生的分析推理能力。二．填空題9．（2020春?安溪縣期末）在表中，用4個“●”可以擺出5個不同的數．十位個位【分析】根據計數器的特點，用4個“●”在計數器上可以擺出：4、13、22、31、40，這5個數，據此解答。【解答】解：用4個“●”在計數器上可以擺出：4、13、22、31、40，這5個數，如下表：故答案為：5。【點評】解決本題的關鍵是會用計數器撥數。10.（2020春?海安市期末）用0，7，6，9四個數字組成不同的四位數，其中最大的數是9760，最接近7000的數是7069．【分析】①“7”開頭：7069、7096、7609、7690、7906、7960，有6個；②“6”開頭的四位數同樣也有有6個；③“9”開頭的四位數同樣也有6個；然后計算出四位數的個數，找出最接近7000的數即可。【解答】解：根據分析，這個四位數可以分別以7、6、9開頭，7、6、9開頭的四位數各有6個，6×3＝18（個），所以可以組成18個不同的四位數，其中最大的是9760，最接近7000的數7069。故答案為：9760、7069。【點評】分別求出以7、6、9開頭的四位數各有多少個是解答本題的關鍵。11．（2020春?固始縣期末）用3，0，4，8這四個數學能排出9個不同的兩位數，其中最小的兩位數30．【分析】運用窮舉法寫出所有的可能，再從中找出最小的即可。【解答】解：3、0、4、8三個數字可以組成的兩位數有：30、40、80、43、48、83、84、34、38，共有9個不同的兩位數；其中最小的是30。故答案為：9，30。【點評】本題是簡單的排列問題，注意0不能放在最高位十位上。12．（2020春?河池期末）用2、3、5能組成6個沒有重復數字的兩位數．【分析】先寫出用這幾個數組成的兩位數，再求解。【解答】解：用2、3、5這三個數可以組成的兩位數有：23，25；32，35；52，53。一共有6個不重復的兩位數。故答案為：6。【點評】在寫這些兩位數時，要注意按照一定的順序寫，不要多寫和漏寫。3．（2020春?蘆溪縣期末）用2、5、7、8能組12個沒有重復數字的兩位數．【分析】先寫出用這幾個數組成的兩位數，再求解。【解答】解：用2、5、7、8這四個數可以組成的兩位數有：25，27，28；52，57，58；72，75，78；82，85，87。一共有12個不重復的兩位數。故答案為：12。【點評】在寫這些兩位數時，要注意按照一定的順序寫，不要多寫和漏寫。14．（2020春?新田縣期中）用6、0、3這三個數字組成最大三位數是630，組成的最小三位數是306，它們相差324．【分析】用6、0、3三個數組成的三位數中，要求最大的數，就要先把最大的數字6排在最高位，往下依次是3和0，即630；要求最小的數，就要把最小的數字排在首位，但0不能排在首位，所以先把數字3排在最高位，往下依次是0和6，即306；求差，就把二者相減即可．【解答】解：用6、0、3三個數組成的三位數中，最大的是630，最小的是306；它們相差：630﹣306＝324；答：用數字6、0、3組成最大的三位數是630，組成最小的三位數是306，它們相差324．故答案為：630，306，324．【點評】此題考查了對數字進行簡單的排列組合，同時考查了0不能放在一個數的首位等知識．15．（2020春?永昌縣期末）用0、2、5、8能組成9個沒有重復數字的兩位數，其中最大的是85，最小的是20．【分析】運用窮舉法寫出所有的可能，再從中找出最大和最小的即可。【解答】解：0、2、5、8三個數字可以組成的兩位數有：20、50、80、52、82、25、85、28、58，共有9個不同的兩位數；其中最大的是85，最小的是20。故答案為：9，85，20。【點評】本題是簡單的排列問題，注意0不能放在最高位十位上。16．（2020春?陜州區期末）用4、7、8能組成6個沒有重復數字的兩位數，其中最大的是87，最小的是47．【分析】十位、個位看成2個空，由9、2、3三個數字填入，分部完成，第一個空有3種填法，因為沒有重復數字，那么第二個空只有2種填法，根據乘法原理，即可得解．其中最大的兩位數首先十位數字最大是8，其次個位數字次大是7，其中最小的兩位數首先十位數字最小是4，其次個位數字次小是7，因此得解．【解答】解：用9、2、3可以組成3×2＝6（種）沒有重復的兩位數．也4＜7＜8所以最大的兩位數是87，最小的兩位數是47．故答案為：6，87，47．【點評】此題考查了簡單的排列組合．可以全部列出，數一數，即可得解．17．（2020秋?錦江區期末）三年級一班要從2個女生、4個男生中選擇一男一女去參加講故事比賽，共有8種選擇。【分析】根據題意，從2個女生中任意挑一人，有2種挑法，從4個男生中任挑一人，有4種挑法，所以一共有4×2＝8（種）不同選擇。【解答】解：4×2＝8（種）答：共有8種選擇。故答案為：8。【點評】此題考查了簡單的排列組合，分步完成用乘法原理。18．（2020秋?肇源縣期末）媽媽給笑笑買了2件上衣和3條褲子，要搭配成一套衣服，一共有6種搭配方法。【分析】從三條褲子中選一件有3種選法、從兩件上衣中選一件有2種選法，根據乘法原理可得：共有3×2＝6種不同搭配方法。【解答】解：3×2＝6（種）答：共有6種搭配方法。故答案為：6。【點評】本題考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。19．（2020秋?甘井子區期末）一個細胞一分鐘分裂為2個（原細胞不復存在），再過一分鐘，每個細胞又分別分裂為2個，照這樣規律分裂，5分鐘后分裂成了32個細胞。【分析】根據規律一個細胞一分鐘分裂為2個（原細胞不復存在），依次列舉出5分鐘后分裂成了多少個細胞即可。【解答】解：第一分鐘：2個第二分鐘：2×2＝4（個）第三分鐘：2×2×2＝8（個）第四分鐘：2×2×2×2＝16（個）第五分鐘：2×2×2×2×2＝32（個）答：5分鐘后分裂成了32個細胞。故答案為：32。【點評】先找到規律，再根據規律求解。三．判斷題20．（2020春?曹縣期末）用3、6、9這3個數字可以組成6個不重復的兩位數．√（判斷對錯）【分析】十位、個位看成2個空，由3、6、9三個數字填入，分步完成，第一個空有3種填法，因為沒有重復數字，那么第二個空只有2種填法，根據乘法原理，即可得解。【解答】解：用3、6、9可以組成3×2