第3講數論模塊總復習六年級春季第3講數論模塊總復習六年級春季本講概述本講概述整除問題、質數與合數、約數與倍數、余數問題等經典模塊經典模塊整除問題1、一個五位數，空格中的數未知．請問：（1）如果該數能被72整除，這個五位數是__________．（2）如果該數能被55整除，這個五位數是__________．【答案】

（1）86256（2）85250【解析】

（1）能被72整除的數，即能被8和9整除．若能被8整除，個位應填6．再考慮能被9整除，千位應填6．因此這個五位數是86256．（2）能被55整除，即能被5和11整除．若能被5整除，個位應填0或5．當個位填0時，若能被11整除，千位應填5．當個位填5時，千位無論填幾都不滿足條件，因此滿足條件的數為85250．2、六位數能同時被9和11整除．這個六位數是多少？【答案】

120087【解析】

用兩位截斷法，把分成三段就是、00、，它們的和要能被99整除，只能是，所以原來的六位數是120087．3、2011年，海淀區，某頂級大學附中）已知是396的倍數，其中、、分別代表不同的數字．請問：三位數是．【答案】

22【解析】

是396的倍數，也就是說可被4、9、11整除．首先能判斷被4整除的只能是．其次，若被9整除，則，且不能被11整除，則除被4整除外還需被11整除，可以發現為，與題目要求的“、、分別代表不同的數字”相互矛盾，不可行；所以考慮若被11整除，則，且不能被9整除，則除被4整除外還需被9整除，所以可以為5004或9000．所以為548或908．質數與合數4、三個互不相同的質數相加，和為52，這三個質數可能是多少？【答案】

可能為（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）【解析】

小于50的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、發現只有一個偶數2，所以一定包含2，另外兩個為奇數，且和為50,、．5、請把下面的數分解質因數：（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660．【答案】

見解析【解析】

（1）；（2）；（3）373是質數；（4）．6、請把下面的數分解質因數：（1）999；（2）10101．【答案】

（1）（2）【解析】

（1）；（2）．7、算式計算結果的末尾有__________個連續的0．【答案】

24【解析】

末尾連續的0的個數與算式結果所含質因數2和5的個數有關，結果中質因數的個數又與乘積中質因數的個數有關．因為2的個數要比5的個數多，所以0的個數等于5的個數．乘積中5的倍數有20個，25的倍數有4個，所以質因數5的個數有個．末尾有24個連續的0．8、的末尾有_______個連續的0．【答案】

501【解析】

層除法，，，，，，．即算式的結果末尾有501個連續的0．9、三個質數的乘積恰好等于它們和的7倍，這三個質數是_______．【答案】

3、5、7【解析】

顯然，這三個質數中一定有7，設這三個質數為a、b、7，則，轉化為．簡單試算，可知答案是3、5、7．約數、倍數10、（1）下列各數有幾個約數？36；360；3600；36000000000；（2）26460的所有約數中，6的倍數有多少個？與6互質的有多少個？【答案】

（1）9，24，45，360（2）36，6【解析】

（1），因數個數；，因數個數個；，因數個數個；，因數個數個．（2），約數是6的倍數，則因數2可以選1個或2個，因數3可以選1個、2個或3個，5和7可以任意選，因此共有個；與6互質的因數不含有因數2和3，因數5和7可以任意選，共有個．11、26460的所有約數中，6的倍數有__________個，與6互質的有__________個．【答案】

36個；6個【解析】

，約數是6的倍數，則因子2可以選或，因子3可以選、或，5和7可以任意選，因此共有個．與6互質的約數不含有2和3，因子5和7可以任意選，共有個．12、一個自然數，它最大的約數和次大的約數之和是111，這個自然數是__________．【答案】

74【解析】

最大的約數是這個自然數本身，因此它是次大約數的倍數．它們的和也應該為次大約數的倍數．，次大約數為37時滿足條件，這個自然數為74．13、一個兩位數，其最小的三個約數之和是32，那么這個兩位數最大的三個約數之和是_______．【答案】

89【解析】

最小的三個因數必定包含1，另外兩個的和為31，必定是一奇一偶，因此含有因數2，還剩下一個是29；所以這個兩位數是58，其最大的三個約數分別是58、29、2，它們的和是．14、三個自然數乘積為86400，且這三個數的約數個數分別為8、9、10．那么這三個自然數分別是多少？【答案】

30、36、80【解析】

，，，．易知約數個數為9的其形式為，約數個數為10的其形式為，約數個數為8的其形式為或．經試驗，只有30、36、80滿足要求．公約數、公倍數15、用短除法計算：（1）（54，90），[54，90]；（2）（45，75，90）．【答案】

（1）18，270（2）15【解析】

（1），所以，．（2），所以．16、利用分解質因數法找出下列各組數的最大公約數和最小公倍數．（1）144和250（2）240、80和96【答案】

（1），（2），【解析】

（1），，，．（2），，，，．17、兩個自然數不成倍數關系，它們的最大公約數是18，最小公倍數是216．這兩個數分別是多少？【答案】

54、72【解析】

，將12分解成互質且不成倍數關系的兩數，只能是．因此要求的兩數是和．余數問題18、一個兩位數去除252，得到的余數是42，這個兩位數是_______．【答案】

70【解析】

252與42的差210是這個兩位數的倍數，而除數要比余數大，所以這個兩位數要大于42，小于100，所以這個兩位數是70．19、（1）一個三位數除以6余2，除以8余2，那么這個三位數最小是_______．（2）一個數除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么這個數最小是_______．（3）一個數除以6余2，除以11余1，那么這個數最小是_______．【答案】

（1）122（2）104（3）56【解析】

（1）這個數除以6和8的余數都是2，因此除以24的余數也是2，這樣的數有2、26、50、74、98、122、……，其中最小的三位數是122；（2）這個數加上1之后，恰好能被3、5、7整除，即能被105整除，所以最小是104；（3）滿足除以11余1的數有1、12、23、34、45、56、……，其中滿足除以6余2最小的是56．20、一個布袋中裝有5000多個小球，如果10個一包，最后還剩9個；如果9個一包，最后還剩8個；…；如果5個一包，最后還剩4個．那么如果13個一包，最后還剩_______個．【答案】

8【解析】

小球的數目加上1之后，正好能被10、9、8、7、6、5整除，也能被它們的最小公倍數5040整除，因此小球的數目是5039，除以13余8．進位制21、一個自然數的七進制表達式是一個三位數，它的九進制表達式也是一個三位數，而且這兩個三位數的數碼順序恰好相反．這個自然數的十進制表示是多少？【答案】

248【解析】

設這個自然數的七進制表達式為，那么它的九進制表達式為，有，展開后化簡得．考慮到a、b、c都小于7，有唯一解，，．．

進門考進門考1、一公頃是________平方米．【答案】

10000【解析】

1公頃=10000平方米．2、計算：__________．【答案】

【解析】

3、3.14，π，，31.5%，中，最大的數是_________．【答案】

【解析】

，，，所以最大的數是．4、循環小數1.1234812348……用簡便方法記作______________．【答案】

【解析】

．5、有8個同學走到一起，他們兩兩握手一次，問一共握手__________次．【答案】

28【解析】

，所以8個人兩兩握手一次，一共握手28次．6、已知圓柱和圓錐的高相等，底面積的比是，那么它們的體積比是_________．【答案】

【解析】

根據復合比，圓柱、圓錐的體積比是．7、18、12的最小公倍數為_________．【答案】

36【解析】

．8、_________．【答案】

1【解析】

．9、某班有50名學生，他們中間至少有_______個人的生日在同一個月．【答案】

5【解析】

，所以至少有5個人的生日在同一個月．10、一個量筒，盛有400毫升的水，放入4顆半徑相等的鋼珠后，水面上升到480毫升的地方．每顆鋼珠的體積是________立方厘米．【答案】

20【解析】

水面上升的體積即4顆鋼珠的體積，所以每顆鋼珠的體積是立方厘米．課后作業課后作業1、已知是9的倍數，那么A是________．【答案】

4【解析】

一個數是9的倍數，則它的數字和是9的倍數．，所以．2、已知是8的倍數，那么A是________．【答案】

6【解析】

一個數是8的倍數，則它的末三位數是8的倍數，496是8的倍數，所以．3、已知是11的倍數，那么A是________．【答案】

2【解析】

一個數是11的倍數，則它的奇位數字和與偶位數字和的差是11的倍數，，所以．4、一個六位數能被72整除，其中a、b互異．那么這樣的最小是________．【答案】

36【解析】

這個六位數能被72整除，則能被8和9整除．能被9整除，根據棄九法，則能被9整除，滿足條件的數依次有09、18、27、36、45、54、……，其中369936能被8整除．所以最小的是36．5、已知兩個質數的和是31，那么這兩個質數的乘積是________．【答案】

58【解析】

兩個質數的和是31，則必一奇一偶，偶數是2，奇數是29，它們的乘積是．6、把72個蘋果和138個桔子平均分給若干個同學，且沒有任何剩余，那么最多可以分給________個同學．【答案】

6【解析】

把72和138正好分完且沒有剩余，則必須是它們的公因數．，所以最多可以分給6個同學．7、王明是個初中生（年齡大于10歲），有一次，他參加數學競賽后，所得的名次、分數和他的歲數三者的積是2910．王明的成績是__________．【答案】

97【解析】

，因為年齡大于10歲，所以是15歲，第2名，97分．8、1234567除以9的余數是__________．【答案】

1【解析】

一個數除以9的余數，只要分別看這個數的數字和除以9的余數即可．，，所以1234567除以9的余數是1．9、是一個完全平方數，那么□中的數至少是多少？【答案】

21【解析】

，所以只要是即可．10、有些數既能表示成5個連續自然數的和，又能表示成6個連續自然數的和，還能表示成7個連續自然數的和．例如：105就滿足上述要求，；；．請問：在1至1000中一共有多少個滿足上述要求的數？【答案】

5個【解析】

一個數能表示成5個連續自然數的和，則這