9.2.4總體離散程度的估計人教A數(shù)學必修二第九章統(tǒng)計一、學習目標與學科素養(yǎng)：9.2.4總體離散程度的估計—方差與標準差

1.結合實例，理解描述數(shù)據(jù)離散程度的參數(shù)（極差、方差與標準差）.（數(shù)學抽象）2.掌握描述離散程度的特征數(shù)方差與標準差的計算公式用于估計總體的離散程度.（數(shù)學運算）

在初中，我們學習過方差，下列數(shù)據(jù)的方差各是多少？甲：22222乙：23456二、復習回顧1.先計算甲、乙數(shù)據(jù)的平均數(shù)：2.再計算甲、乙數(shù)據(jù)的方差：三、新課引入

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“集中趨勢”，當樣本數(shù)據(jù)質量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，很多時候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度，這就是方差.9.2.4總體離散程度的估計—方差

問題3甲、乙射擊運動員在一次比賽中各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677四、問題引入1.計算甲、乙運動員射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)各是多少？2.甲、乙兩名運動員射擊成績中位數(shù)、眾數(shù)分別為多少？通過從小到大排序可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運動員射擊成績的中位數(shù)、眾數(shù)也都是7，平均數(shù)等沒有差異.如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？在這一次選拔性考核中，你應當如何作出選擇？問題3甲、乙射擊運動員在一次比賽中各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677四、問題引入甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？甲、乙兩名運動員射擊成績中位數(shù)、眾數(shù)分別為多少環(huán)？通過簡單的排序可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運動員射擊成績的中位數(shù)、眾數(shù)也都是7如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？在這一次選拔性考核中，你應當如何作出選擇？思考：甲、乙兩人射擊的平均成績相等,觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）甲的成績極差為6，較乙的極差大，比較分散，乙的成績的極差為4，相對集中，比較穩(wěn)定.重點知識一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差，根據(jù)甲、乙運動員的10次射擊成績，可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.

可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙的大，極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.

我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠，因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.新課引入甲410乙591.極差與離散程度重點知識思考：對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)設想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即我們稱上式為這組數(shù)據(jù)的方差.有時為了計算方差的方便，還把方差寫成右式形式2.方差與離散程度方差，顧名思義，即“差的平方的均值”！

標準差的取值范圍是什么？標準差為0的數(shù)據(jù)有何特點？s≥0，標準差為0的數(shù)據(jù)都相等.由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方，取它的算術平方根，即重點知識我們稱上式為這組數(shù)據(jù)的標準差（standarddeviation).2.方差與標準差如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…，YN,總體平均數(shù)為,則稱重點知識與總體均值類似，總體方差也可以寫成加權的形式，如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1,Y2,...,Yk,其中Y,出現(xiàn)的頻數(shù)為f(i=1,2,...,k),則總體方差為如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,…，yn,樣本平均數(shù)為,則稱為樣本方差，為樣本標準差2.總體方差與樣本方差的符號表示

計算甲、乙兩名運動員的射擊成績的標準差，比較其射擊水平的穩(wěn)定性.甲：78795491074乙：9578768677s甲=2，s乙=1.095.x甲=7，x乙=7.實際應用由s甲>s乙可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小，由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.

如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置，如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲.3.方差的應用—統(tǒng)計決策s甲=4，s乙=1.2.22

標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)據(jù)較分散；標準差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)集中在平均數(shù)周圍。顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標準差是一樣的,但在解決實際問題中,一般多采用標準差。重點知識3.方差的應用—統(tǒng)計決策例題習題例6在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為其中例6配湊化簡例6男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得分層抽樣中，平均數(shù)與方差公式【總結】

在分層隨機抽樣中，如果樣本分為兩層，第1層樣本數(shù)據(jù)有m個，記為xi(i=1,2,…,m),平均數(shù)與方差分別為，第2層樣本數(shù)據(jù)有n個，記為yj(j=1,2,…,n),平均數(shù)與方差分別為，設樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為，則有下列計算公式：【鞏固練習】

某工廠新舊兩條生產線的產量比為7:3，為了解該工廠生產的一批產品的質量情況，采用樣本量比例分配的分層抽樣方法從兩條生產線抽取樣本，并觀測樣本的質量指標值，計算得新生產線質量指標的均值為10，方差為1，舊生產線質量指標的均值為9，方差為2，由此估計，該批產品的質量指標的均值為____，方差為_____．【鞏固練習】

某工廠新舊兩條生產線的產量比為7:3，為了解該工廠生產的一批產品的質量情況，采用樣本量比例分配的分層抽樣方法從兩條生產線抽取樣本，并觀測樣本的質量指標值，計算得新生產線質量指標的均值為10，方差為1，舊生產線質量指標的均值為9，方差為2，由此估計，該批產品的質量指標的均值為____，方差為_____．

解：由公式

得9.71.519.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6平均數(shù)與方差在的統(tǒng)計中的綜合應用計算出樣本平均數(shù)=,樣本標準差s≈.8.796.20平均數(shù)與方差的綜合應用如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內，在區(qū)間外的只有7個.也就是說，絕大部分數(shù)據(jù)落在內.（1）數(shù)據(jù)的極差越大，數(shù)據(jù)分布越集中穩(wěn)定.(

)（2）數(shù)據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)分布越集中穩(wěn)定.(

)（3）數(shù)據(jù)標準差越大，數(shù)據(jù)分布越集中，波動幅度越小.(

)（4）在對實際問題進行決策時，主要計算參照樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差或標準差.(

)×√√【當堂達標練習】1.知識辨析，判斷正誤×2.一組數(shù)據(jù)：3，2，5，6的中位數(shù)與方差分別為()A.3,2.5 B.3.5，2.5C.4,10 D.4,2.5D解：中位數(shù)為,平均數(shù)為4，方差為2.5,故選D.【當堂達標練習】3.某校高二年級為考查一次數(shù)學測驗成績，按首選科目（物理或歷史）進行分層抽樣得到一個樣本，樣本中選物理類學生占75%，該次數(shù)學平均成績?yōu)?24分，方差為6，選歷史類學生數(shù)學平均成績?yōu)?00分，方差為10，則可估計出該校全體高二學生本次數(shù)學測驗的平均分是______，方差是

．【當堂達標練習】3.某校高二年級為考查一次數(shù)學測驗成績，按首選科目（物理或歷史）進行分層抽樣得到一個樣本，樣本中選物理類學生占75%，該次數(shù)學平均成績?yōu)?24分，方差為6，選歷史類學生數(shù)學平均成績?yōu)?00分，方差為10，則可估計出該校全體高二學生本次數(shù)學測驗的平均分是______，方差是

．

解：由公式

得1181154.(2023武漢高三模擬)在去年的足球甲A聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.1；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1，全年比賽失球個數(shù)的標準差為0.4.則下列說法正確的為（）A.平均來說甲隊比乙隊防守技術好B.乙隊比甲隊防守技術水平更穩(wěn)定C.每輪比賽甲隊失球數(shù)一定比乙隊少D.乙隊可能有一半的場次不失球【當堂達標練習】解：甲的失球平均數(shù)比乙小，方差比乙大，AB正確.盡管甲隊失球的平均數(shù)比乙小，可是每輪比賽甲隊失球數(shù)不一定比乙少，C錯誤。每輪比賽失球的總平均數(shù)為1.5+2.1=3.6，若乙隊有一半場次不失球，則乙隊失球平均數(shù)會小于1.8，D錯誤.AB

學生數(shù)平均分方差甲409810乙309212丙3095155.某市教育部門采用分層隨機抽樣從甲、乙、丙三個學校選取了100名學生的某次考試數(shù)學成績（單位：分），并制成如下表格：試估計這次考試數(shù)學成績的平均數(shù)與方差.【當堂達標練習】6.

甲、乙兩人同時生產內徑為25.40mm的一種零件，為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各隨機抽取20件，量得其內徑尺寸如下（單位：mm）：甲：25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙：25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4926.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48

從生產零件內徑的尺寸看，誰生產的零件質量較高？【當堂達標練習】

甲生產的零件內徑更接近內徑標準，方差小于乙的方差，所以甲穩(wěn)定程度較高，故甲生產的零件質量較高.解：課堂小結(1)方差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的平均程度,方差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則方差為0.(3)為了判斷以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標準差s——樣本方差的算術平方根來描述.數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組