八年級數學·下新課標[人]第十七章勾股定理17.1勾股定理（第1課時）

國際數學家大會是最高水平的全球性數學學科學術會議,被譽為數學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會.此圖案就是大會會徽的圖案.

相傳2500多年前,畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時,發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系.這個地面圖案中有大大小小、各種“姿勢”的正方形.畢達哥拉斯在這些正方形中發現了什么呢?以等腰直角三角形三邊為邊長的三個正方形.這三個正方形面積之間存在怎樣的關系?三個正方形之間的面積關系說明了什么?

小正方形的面積之和等于大正方形的面積,也就是等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如圖,如果選取更大的等腰直角三角形,按照同樣的方法作三個正方形,這三個正方形的面積關系還一樣嗎?

1.正方形A,B,C的面積分別是多少?它們之間的數量關系說明了什么?

正方形A,B的面積分別為4和9,通過建立邊長為5的正方形,計算出正方形C的面積為25減去四個小直角三角形面積和,也就是正方形C的面積為13.

2.正方形A',B',C'的面積分別是多少?它們之間的數量關系說明了什么?

正方形A',B'的面積分別為9和25,通過建立邊長為8的正方形,計算出正方形C'的面積為64減去四個小直角三角形面積和,也就是正方形C'的面積為34.

小結直角三角形兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.

對于任意直角三角形三邊之間應該有什么關系?如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.剪4個全等的直角三角形,拼成如圖所示的圖形,你能否利用面積證明勾股定理？解決直角三角形有關計算和證明的問題時,要注意：（1）求直角三角形斜邊上的高常運用勾股定理和面積

關系式聯合求解.(2)要證明線段的平方關系,首先考慮使用勾股定理,從

圖中尋找或構造包含所證線段的直角三角形,利用

等量代換和代數中的恒等變換進行論證.(3)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些變形關系式,

如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在鈍角三角形中,三角形三邊長分別為a,b,c,若c為最

大邊長,則有a2+b2<c2,在銳角三角形中,三角形三邊

長分別為a,b,c,若c為最大邊長,則有a2+b2>c2.例：在直角三角形中，各邊的長如圖，求出未知邊的長度.解:根據勾股定理,得AB解:根據勾股定理,得AB=例：有兩邊長分別為3cm,4cm的直角三角形,其第三邊長為

cm.

課堂小結

1.如果直角三角形兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.

2.注意事項:

(1)注意勾股定理的使用條件:只對直角三角形適用,而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.

(2)注意分清斜邊和直角邊,避免盲目代入公式致錯.

(3)注意勾股定理公式的變形:在直角三角形中,已知任意兩邊長,可求第三邊長,即1.如圖所示,字母B所代表的正方形的面積是(

)A.12

B.13C.144

D.194C

2.如圖所示,若∠A=60°,AC=20m,則BC大約是(結果精確到0.1

m)

(

)A.34.64m

B.34.6mC.28.3m

D.17.3mB3.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)若a=3,b=4,則c=

;

(2)若b=6,c=10,則a=

;

(3)若a=5,c=13,則b=

;

(4)若a=1.5,b=2,則c=

.

5

8

12

2.5解:(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB,∠C=90°，

∴CD=DE.

∵CD=3，

∴DE=3.

4.如圖所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的長;(2)求△ADB的面積.(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得，八年級數學·下新課標[人]第十七章勾股定理17.1勾股定理（第2課時）電視的尺寸是屏幕對角線的長度.小華的爸爸買了一臺29英寸(74cm)的電視機,小華量電視機的屏幕后,發現屏幕只有58cm長和46cm寬.他覺得一定是售貨員搞錯了,你同意他的想法嗎?你能解釋是為什么嗎?

例：一個門框的尺寸如圖所示,一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?解:如圖所示,在Rt△ABC中,根據勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.

AC=≈2.24.因為AC大于木板的寬2.2

m,所以木板能從門框內通過.

例：如圖所示,一架2.6

m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO為2.4

m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5

m,那么梯子底端B也外移0.5

m嗎?解:可以看出,BD=OD-OB.在Rt△AOB中,根據勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,

OB==1.在Rt△COD中,根據勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,

OD=≈1.77.BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時,梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移約0.77

m.

例：如圖所示,一只螞蟻沿棱長為a的正方體表面從頂點A爬到頂點B,則它走過的最短路程為(

)

A.a

B.(1+)a

C.3a

D.aD

勾股定理應用的條件必須是直角三角形,所以要應用勾股定理必須構造直角三角形.常見的應用類型為:①化非直角三角形為直角三角形;②將實際問題轉化為直角三角形模型.小結

用勾股定理計算時,要先畫好圖形,并標好圖形,理清各邊之間的關系,再靈活運用勾股定理計算.在利用勾股定理進行有關計算和證明時,要注意運用方程的思想;求直角三角形有關線段的長,有時還要運用轉化的數學思想,或利用添加輔助線的方法構造直角三角形,再運用勾股定理求解.1.小明用火柴棒擺直角三角形,已知他擺兩條直角邊分別用了6根和8根火柴棒,他擺完這個直角三角形共用火柴棒(

)

A.20根B.14根C.24根D.30根C

2.為迎接新年的到來,同學們做了許多花布置教室,準備召開新年晚會.小劉搬來一架高2.5米的木梯,木梯放好后,頂端與地面的距離為2.4米,則梯腳與墻腳的距離應為(

)

A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米A3.已知A,B,C三地的位置如圖所示,∠C=90°,A,C兩地相距4km,B,C兩地相距3km,則A,B兩地的距離是

km.

5

4.我國古代有這樣一道數學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達點B處.則問題中葛藤的最短長度是

尺.

25解:如圖(2)所示,作出B點關于CD的對稱點B',連接AB',交CD于點O,則O點就是光的入射點,連接OB.因為AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以OC=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.

5.如圖(1)所示,兩點A,B都與平面鏡CD相距4米,且A,B兩點相距6米,一束光由A點射向平面鏡,反射之后恰好經過B點,求B點與入射點間的距離.八年級數學·下新課標[人]第十七章勾股定理17.1勾股定理（第3課時）

我們知道數軸上的點有的表示有理數,有的表示無理數,你能在數軸上找到表示的點嗎?表示的點呢?

證明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根據勾股定理,得:

BC=，B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).

已知:如圖所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求證:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

我們知道數軸上的點有的表示有理數,有的表示無理數,你能在數軸上找到表示

的點嗎?表示的點呢?

OB是以數軸的單位長度為邊的正方形的對角線,以數軸的原點為圓心、OB長為半徑畫弧,交數軸正半軸于點A,則點A表示的數是.

找到長為

的線段所在的直角三角形.(1)在數軸上找到點A,使OA=3;(2)作直線l垂直于OA,在l上取一點B,使AB=2;(3)連接OB,以原點O為圓心、以OB為半徑作

弧,弧與數軸交于點C,則點C即為表示

的點.AB在數軸上表示無理數的步驟：①利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等于所畫線

段(斜邊)長的平方,注意一般其中兩條線段的長是整數;②以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點,構造直角三角形；③以數軸原點為圓心,以斜邊長為半徑畫弧,即可在數軸上找

到表示該無理數的點.

例：如圖所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四邊形ABCD的面積.

解:延長AD,BC交于E,如圖所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4

DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=6.小結

1.用勾股定理在數軸上表示無理數,構造長為無