安徽省六校教育研究會20232024學年高三下學期數學素養測試卷（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.已知函數\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)處取得最小值，且\(f(0)=1\)，則\(a,b,c\)滿足的條件是（）A.\(a>0,b=0,c=1\)B.\(a<0,b=0,c=1\)C.\(a>0,b=2a,c=1\)D.\(a<0,b=2a,c=1\)2.已知\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)是平面內兩個單位向量，且它們的夾角為\(120^\circ\)，則\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(1\)D.\(2\)3.已知橢圓\(E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，其焦點坐標為（）A.\((1,0)\)和\((1,0)\)B.\((0,\sqrt{3})\)和\((0,\sqrt{3})\)C.\((\sqrt{2},0)\)和\((\sqrt{2},0)\)D.\((0,1)\)和\((0,1)\)4.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(S_3=12\)，\(S_6=27\)，則該數列的公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.45.已知復數\(z\)滿足\(|z1|=\sqrt{2}\)，則\(z\)在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(\alpha,\beta\)均在\((0,\pi)\)范圍內，則\(\sin(\alpha+\beta)=\)（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)7.已知等比數列\(\{b_n\}\)的前\(n\)項和為\(T_n\)，若\(T_2=6\)，\(T_3=12\)，則該數列的公比\(q\)為（）A.1B.2C.3D.48.已知函數\(f(x)=\log_2(x^23x+2)\)，則\(f(x)\)的定義域為（）A.\(x>1\)B.\(x>2\)C.\(x<1\)或\(x>2\)D.\(x<1\)或\(x<2\)9.已知正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(2\)，點\(E\)在棱\(AB\)上，且\(AE=1\)，則三棱錐\(A_1ABE\)的體積為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)10.已知事件\(A\)和\(B\)是互斥事件，且\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.4\)，則\(P(A\cupB)=\)（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.7二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.函數\(f(x)=x^33x+1\)在\(x=1\)處的切線方程為__________。12.已知數列\(\{a_n\}\)為等差數列，且\(a_3=7\)，\(a_5=11\)，則\(a_1+a_7=\)__________。13.已知\(\triangleABC\)的內角\(A,B,C\)滿足\(\tanA=\sqrt{3}\)，\(\tanB=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，則\(\triangleABC\)的面積\(S\)為__________。14.已知\(f(x)=e^x2x\)，則\(f(x)\)在\(x=0\)處的切線斜率為__________。15.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,1)\)，則\(|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}|=\)__________。三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。）16.已知函數\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求\(f(x)\)的單調區間。17.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且\(S_3=12\)，\(S_6=27\)，求該數列的通項公式。18.已知橢圓\(E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求橢圓上一點\(P(x,y)\)到焦點\(F(1,0)\)的距離。19.已知復數\(z\)滿足\(|z1|=\sqrt{2}\)，求\(z\)的模。20.已知\(\triangleABC\)的內角\(A,B,C\)滿足\(\tanA=\sqrt{3}\)，\(\tanB=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，求\(\triangleABC\)的周長。四、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。）21.已知函數\(f(x)=x^33x+1\)，求\(f(x)\)的極值。22.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,1)\)，求\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)的夾角。五、創新題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。）23.已知數列\(\{a_n\}\)為等差數列，且\(a_3=7\)，\(a_5=11\)，求該數列的前\(n\)項和公式。24.已知橢圓\(E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)，求橢圓上一點\(P(x,y)\)到焦點\(F(1,0)\)的最短距離。8.解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分。解答時需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）8.1已知函數$f(x)=\frac{1}{x^21}$，求該函數的值域。8.2已知橢圓$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求橢圓上一點$P(x,y)$到其左焦點$F(c,0)$的最短距離。8.3已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求該數列的通項公式。9.應用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需結合實際問題背景，并寫出必要的計算步驟。）9.1某工廠生產某種產品，每件產品的成本為50元，售價為80元。為了促銷，工廠計劃每賣出10件產品，就贈送一件。若工廠計劃銷售1000件產品，求其最大利潤。9.2已知某地區的年降水量服從正態分布$N(600,100^2)$，求該地區年降水量超過800毫米的概率。10.探究題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需對問題進行合理假設，并通過計算或推理得出結論。）10.1已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求證：對于任意正整數$n$，$a_n>n$。10.2已知函數$f(x)=x^33x^2+2x$，若$f(x)$在區間$[0,1]$上的最大值為$M$，求證：$M<2$。11.創新題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需結合數學知識，提出新的解題思路或方法。）11.1已知復數$z=1+i$，求證：$|z1|=|z+1|$。11.2已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=n^2+2n$，求證：該數列的通項公式$a_n=2n+1$。12.實踐題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需結合實際背景，提出解決方案或建議。）12.1某學校計劃修建一個長方形運動場，其長為60米，寬為40米。為了美觀，學校計劃在運動場周圍鋪設一條寬為2米的跑道。求跑道的面積。12.2已知某城市的人口增長率為5%，求10年后該城市人口將是現在的多少倍。13.開放題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需提出自己的觀點或見解，并進行合理的論證。）13.1你認為在高中數學教學中，哪些內容最難理解？請結合自己的學習經驗進行說明。13.2在學習數學的過程中，你遇到過哪些有趣或富有挑戰性的問題？請舉例說明。14.拓展題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。解答時需運用數學知識，解決實際問題。）14.1已知某公司計劃投資一個項目，預計年收益率為10%。若該公司計劃在5年內收回投資，求其投資金額。14.2已知某地區的年降水量服從