Page17（滿分：150分時間：120分鐘）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或x≥1，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.2.命題“”的否定形式是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】直接根據特稱命題的否定為全稱命題，寫出答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“”的否定是：或，故選：D．3.下列不等式正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，，，且，則【答案】D【解析】【分析】舉例說明選項ABC錯誤；利用作差法證明選項D正確.【詳解】對于A，當，，時滿足，但，所以A錯誤；對于B，當，，時，滿足，但，所以B錯誤；對于C，由不等式的基本性質易知，當，，時滿足，，但，所以C錯誤；對于D，，所以，故D正確．故選：D．4.已知函數的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出的定義域，結合函數列出相應不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可知函數的定義域為，即，故，則的定義域為，則對于，需滿足，即的定義域為，故選：C5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先將等式變形化簡，再分析推出關系可得.【詳解】，又，即，但，如時滿足，但.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，，且，則的最小值是（）A.4 B.5 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】將式子變形為，即可利用不等式求解，或者將式子變形為，結合不等式即可求解.【詳解】方法一：因為，故，解得，故,當且僅當，即，時等號成立.方法二：因，則，且，故，故，當且僅當，即，時等號成立.故選：C.7.已知定義在上的函數對任意的實數都有，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用賦值法求出，結合對數運算性質可解.【詳解】賦值法知道，，解得..故選：C.8.已知函數，若，，使得，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，分別求出兩函數在給定區間上的最小值，然后解不等式可求得答案.【詳解】因為，，使得，所以，由，得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為在上遞增，所以，所以，解得，即實數的取值范圍是.故選：B二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分.）9.已知函數，下列關于函數的結論正確的是（）A.的定義域是 B.的值域是C.若，則 D.的圖象與直線有一個交點【答案】BCD【解析】【分析】根據函數的定義域、值域、由函數值求自變量、函數圖象等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，的定義域是，所以A選項錯誤.B選項，當時，，當時，，所以的值域是，所以B選項正確.C選項，由B選項的分析可知，若，則，解得，所以C選項正確.D選項，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，D選項正確.故選：BCD10.已知關于不等式的解集為，則（）A.B.點在第二象限C.的最大值為D.關于的不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據不等式的解與方程根的關系，一元二次不等式的解法求解.【詳解】的解等價于.因為解集為，所以，故A正確.因為，則點在第三象限，故B錯誤.，由于的最小值為，且，則有最大值為，故C正確.化為，由于，則，解得，則D正確.故選：ACD.11.已知，則下列關系正確的是（）A.ea-b>1C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用對數的運算法則化簡，結合作差法和基本不等式比較大小，依次判斷各選項.【詳解】因為，所以，對A選項，，所以，故A正確；對B選項，，所以，故B選項不正確；對C選項，因為，，所以，而，故上述不等式等號不成立，則，故C不正確；對D選項，,故D正確.故選：AD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若函數，則______.【答案】##【解析】【分析】根據分段函數解析式，結合對數運算性質先計算的值，繼而計算的值，即得答案.【詳解】由題意可得，故，則.故答案為：13.已知實數滿足，且，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】運用等式性質變形，結合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可.【詳解】，則同號，又，則只能同正.，變形得到.則.當且僅當，且，則取等號.由于恒成立，則，解得.故答案為：.14.定義：如果在函數y＝f(x)定義域內的給定區間[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，滿足f(x0)＝，則稱函數y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數，0就是它的均值點．現有函數f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數，則實數m的取值范圍是________．【答案】(0,2)【解析】【分析】設x0為均值點，由已知可得：關于x0的方程＝f(x0)有實數根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，結合題意列不等式可得：－1＜m－1＜1，問題得解.【詳解】因為函數f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數，設x0為均值點，所以＝m＝f(x0)，即關于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)內有實數根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以實數m的取值范圍是(0,2)．.【點睛】本題主要考查了新概念知識的理解及方程思思，還考查了轉化能力及計算能力，屬于難題．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，點為邊上一點，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，由線線垂直可得平面，進而得，結合已知可證平面，可證結論；（2）以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，點豎直向上方向所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，又是平面的一個法向量，利用向量的夾角公式可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】如圖所示，連接，，因為底面為正方形，所以，因為底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，由題得，且，，平面，則平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖，以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，點豎直向上方向所在直線為軸，建立空間直角坐標系，，A2,0,0，，，，因為，所以由勾股定理可得，即①，且②，聯立①②兩式，可得，點為上靠近點的三等分點，所以，，，由題意可知，是平面的一個法向量，設平面一個法向量為，有，令，則，所以平面的一個法向量為，設二面角為，則，所以二面角的余弦值為．16.設數列an前項和為，且滿足.（1）求an（2）設，數列bn的前項和為，若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據與之間的關系分析可知數列是首項為，公比為的等比數列，進而可得通項公式；（2）由（1）可知：，利用錯位相減法可得，結合恒成立問題分析求解即可.【小問1詳解】因為，當時，由，解得；當時，則，兩方程相減得，即；可知數列是首項為，公比為的等比數列，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，則，，兩式相減得，可得，即.因為，可知是單調遞增數列，且，可得，因為對任意的恒成立，可得，解得，所以的取值范圍為.17.健身運動可以提高心肺功能，增強肌肉力量，改善體態和姿勢，降低患病風險.這些好處吸引著人們利用空閑的時間投入到健身運動中，以改善自己的身體狀況，增強一下體質.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取200人進行調查，得到如下列聯表：年齡周平均鍛煉時長合計周平均鍛煉時間少于4小時周平均鍛煉時間不少于4小時50歲以下406010050歲以上（含50）2575100合計65135200（1）試根據小概率值的獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關？精確到0.001；（2）現從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取10人做進一步訪談，再從這10人中隨機抽取5人填寫調查問卷.記抽取5人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數為，求的分布列和數學期望.參考公式及數據：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）周平均鍛煉時長與年齡有關聯（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）首先求出周平均鍛煉時長少于4小時、不少于4小時的人數，依題意所有可能的取值為，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.【小問1詳解】零假設：周平均鍛煉時長與年齡無關聯.由列聯表中的數據，可得，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于.由列聯表中的數據計算，50歲以下周平均鍛煉時長少于4小時和不少于4小時的頻率分別為和，由列聯表中的數據計算，50歲以上（含50）周平均鍛煉時長少于4小時和不少于4小時的頻率分別為和，因為，所以50歲以上（含50）周平均鍛煉時長不少于4小時的比率比50歲以下高出15個百分點，所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時長有差異.【小問2詳解】抽取的10人中，周平均鍛煉時長少于4小時的有人，不少于4小時的有人，所以所有可能的取值為，所以，，，，，所以隨機變量的分布列為：12345隨機變量的數學期望.18.已知橢圓C：（），，，，四點中恰有三點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點且斜率為1的直線交橢圓于，兩點，點為直線上任意一點，求證：直線，，的斜率成等差數列．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據對稱點判斷在橢圓的三點，然后可求得橢圓方程；（2）設Mx1,y1，Nx2,y2，，設直線的方程為：，聯立直線與橢圓的方程得，計算可得，【小問1詳解】根據橢圓的對稱性，必過點，點，必不過點，代入點得，，代入點得，，∴橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】證明：設Mx1,y1設直線的方程為：，由，得，，，，，因為，所以，所以直線，，的斜率成等差數列．19.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；（2）討論函數的零點個數.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程即可求解.（2）求出函數的導數，分類討論函數的單調性，結合零點存在性定理及函數最值情況探討零點即可.【小問1詳解】當時，，求導得，則，而，于是曲線在點處的切線為，即，直線交軸于點，交于點，所以曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積.【小問2詳解】函數的定義域為，求導得，當時，則，函數在上單調遞減，顯然，當時，，，則，，，于是，