PAGEPAGE7課后限時作業17萬有引力與航天時間：45分鐘1．在力學理論建立的過程中，有很多宏大的科學家做出了貢獻．關于科學家和他們的貢獻，下列說法中不正確的是(D)A．伽利略首先將試驗事實和邏輯推理(包括數學推演)和諧地結合起來B．笛卡兒對牛頓第肯定律的建立做出了貢獻C．開普勒通過探討行星觀測記錄，發覺了行星運動三大定律D．牛頓總結出了萬有引力定律并用試驗測出了引力常量解析：伽利略首先將試驗事實和邏輯推理(包括數學推演)和諧地結合起來，選項A正確；笛卡兒對牛頓第肯定律的建立做出了貢獻，選項B正確；開普勒通過探討行星觀測記錄，發覺了行星運動三大定律，選項C正確；引力常量是由卡文迪許測出的，選項D錯誤．2．(多選)假設地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，則(CD)A．地球的公轉周期大于火星的公轉周期B．地球公轉的線速度小于火星公轉的線速度C．地球公轉的向心加速度大于火星公轉的向心加速度D．地球公轉的角速度大于火星公轉的角速度解析：地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動，它們各自所受的萬有引力充當向心力．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因r地<r火，故T地<T火，選項A錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，因r地<r火，故v地>v火，選項B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝man可得an＝eq\f(GM,r2)，因r地<r火，故a地>a火，選項C正確；由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，因r地<r火，故ω地>ω火，選項D正確．3．(多選)冥王星的兩顆衛星尼克斯和海德拉繞冥王星近似做勻速圓周運動，它們的周期分別約為25天和38天，則尼克斯繞冥王星運動的(AD)A．角速度比海德拉的大B．向心加速度比海德拉的小C．線速度比海德拉的小D．軌道半徑比海德拉的小解析：由ω＝eq\f(2π,T)可知，周期小的尼克斯繞冥王星運動的角速度比海德拉的大，選項A正確；由開普勒第三定律可知，周期小的尼克斯繞冥王星運動的軌道半徑比海德拉的小，選項D正確；由Geq\f(Mm,r2)＝man可得an＝Geq\f(M,r2)，故軌道半徑小的尼克斯繞冥王星運動的向心加速度比海德拉的大，選項B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，故軌道半徑小的尼克斯繞冥王星運動的線速度比海德拉的大，選項C錯誤．4．一個物體靜止在質量勻稱的球形星球表面的赤道上．已知引力常量為G，星球密度為ρ.若由于星球自轉使物體對星球表面的壓力恰好為零，則星球自轉的角速度為(A)A.eq\r(\f(4,3)πρG) B.eq\r(\f(3π,ρG))C．πρG D.eq\f(3π,ρG)解析：設星球的質量為M，半徑為R，自轉的角速度為ω，物體的質量為m，在星球赤道上，若物體對星球表面的壓力為零，則由萬有引力供應向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝mRω2，又知M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，聯立解得ω＝eq\r(\f(4,3)ρGπ)，選項A正確．5．星球上的物體脫離星球引力所須要的最小放射速度稱為其次宇宙速度，星球的其次宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2＝eq\r(2)v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度gE的eq\f(1,8)，不計其他星球的影響，則該星球的其次宇宙速度為(A)A.eq\f(1,2)eq\r(gEr) B.eq\r(\f(1,2)gEr)C.eq\r(gEr) D.eq\f(1,2)gEr解析：質量為m的物體在星球表面受到的萬有引力等于其重力，即Geq\f(Mm,r2)＝mg＝meq\f(v\o\al(2,1),r)，得v1＝eq\r(gr)＝eq\r(\f(1,8)gEr)，故v2＝eq\r(2)v1＝eq\f(1,2)eq\r(gEr)，選項A正確．6．機器人“玉兔號”在月球表面做了一個自由落體試驗，測得物體從靜止自由下落h高度的時間為t.已知月球半徑為R，自轉周期為T，引力常量為G，則(D)A．月球表面的重力加速度為eq\f(t2,2h)B．月球的第一宇宙速度為eq\r(\f(Rh,t))C．月球質量為eq\f(hR2,Gt2)D．月球同步衛星離月球表面的高度為eq\r(3,\f(hR2T2,2π2t2))－R解析：由自由落體運動規律得h＝eq\f(1,2)gt2，所以g＝eq\f(2h,t2)，故A錯誤；月球的第一宇宙速度為近月衛星的運行速度，依據mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(\f(2hR,t2))，故B錯誤；在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，有mg＝Geq\f(Mm,R2)，所以M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(2hR2,Gt2)，故C錯誤；月球同步衛星繞月球做勻速圓周運動，依據萬有引力供應向心力，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R＝eq\r(3,\f(hR2T2,2π2t2))－R，故D正確．7．兩顆互不影響的行星P1、P2各有一顆近地衛星S1、S2繞其做勻速圓周運動．圖中縱軸表示行星四周空間某位置的引力加速度大小a，橫軸表示該位置到行星中心距離r的二次方的倒數，a-eq\f(1,r2)關系圖線如圖所示．若衛星S1、S2的引力加速度大小均為a0，則(B)A．S1的質量比S2的大B．P1的質量比P2的大C．P1的第一宇宙速度比P2的小D．P1的平均密度比P2的大解析：依據萬有引力定律可知，引力加速度a＝eq\f(GM,r2)，由此可知，圖象的斜率k＝GM，P1對應的a-eq\f(1,r2)圖線的斜率大，故行星P1的質量大，但兩衛星的質量關系無法推斷，選項A錯誤，選項B正確；設第一宇宙速度為v，則v＝eq\r(a0R)，由圖象可知，P1的半徑比P2的大，故P1的第一宇宙速度比P2的大，選項C錯誤；行星的平均密度eq\x\to(ρ)＝eq\f(M,V)＝eq\f(3a0,4πGR)，P1的半徑比P2的大，則P1的平均密度比P2的小，選項D錯誤．8．(多選)用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重力，隨稱量位置的改變可能會有不同的結果．已知地球質量為M，引力常量為G.將地球視為半徑為R、質量勻稱分布的球體．下列說法正確的是(AC)A．在北極地面上稱量時，彈簧測力計讀數為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面上稱量時，彈簧測力計讀數為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧測力計讀數為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)解析：在北極地面上的物體不隨地球自轉，萬有引力等于重力，則有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面上稱量時，萬有引力大小等于重力與物體隨地球一起自轉所須要的向心力大小之和，則有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯誤；在北極上空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，則有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時，萬有引力大于重力，彈簧測力計讀數F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯誤．9．兩個質量不同的天體構成雙星系統，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動．下列說法正確的是(C)A．質量大的天體線速度較大B．質量小的天體角速度較大C．兩個天體的向心力大小相等D．若在圓心處放一個質點，則它受到的合力為零解析：雙星系統中，兩個天體以二者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動，有eq\f(Gm1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，故質量大的天體距離該點(圓周運動的圓心)近，即運動的軌道半徑r小．二者做勻速圓周運動的角速度ω相等，由v＝ωr可知，質量大的天體線速度較小，選項A、B錯誤；二者繞該點做勻速圓周運動，二者之間的萬有引力供應向心力，所以兩個天體的向心力大小相等，選項C正確；若在圓心處放一個質量為m的質點，則質量為m1的天體對它的萬有引力為F1＝Geq\f(mm1,r\o\al(2,1))，質量為m2的天體對它的萬有引力為F2＝Geq\f(mm2,r\o\al(2,2))，因m1r1＝m2r2，故F2≠F1，即圓心處放的質點受到的合力不為零，選項D錯誤．10.引力波的發覺證明白愛因斯坦100年前所做的預料.1974年發覺了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明白引力波的存在．假如將該雙星系統簡化為志向的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動．由于雙星間的距離減小，則(A)A．兩星運動的周期均漸漸減小B．兩星運動的角速度均漸漸減小C．兩星的向心加速度均漸漸減小D．兩星運動的線速度均漸漸減小解析：設雙星之間的距離為L，質量較大的星球與O點距離為r，質量為M，另一星球質量為m，由萬有引力定律和勻速圓周運動學問得Geq\f(Mm,L2)＝Mrω2，Geq\f(Mm,L2)＝m(L－r)ω2，聯立解得ω＝eq\r(\f(GM＋m,L3))，由于雙星之間的距離L減小，故兩星運動的角速度增大，選項B錯誤；由周期T＝eq\f(2π,ω)可知，兩星的運動周期減小，選項A正確；由Geq\f(Mm,L2)＝Man可知，由于雙星之間的距離L減小，故兩星運動的向心加速度增大，選項C錯誤；由Geq\f(Mm,L2)＝Meq\f(v2,r)可知，v＝eq\r(\f(Gmr,L2))，因兩星質量不變，故此值eq\f(r,L)不變，又由于雙星之間的距離L減小，故兩星運動的線速度增大，選項D錯誤．11．(多選)“超級地球”是指圍繞恒星公轉的類地行星．科學家們發覺有3顆不同質量的“超級地球”環繞一顆體積比太陽略小的恒星公轉，公轉周期分別為4天、10天和20天．依據上述信息可以計算(AB)A．3顆“超級地球”運動的線速度之比B．3顆“超級地球”運動的向心加速度之比C．3顆“超級地球”所受的引力之比D．該恒星的質量解析：3顆“超級地球”的中心天體相同，依據萬有引力供應向心力，即eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可求得3顆“超級地球”的軌道半徑之比，已知周期之比、軌道半徑之比，依據v＝eq\f(2πr,T)可求得3顆“超級地球”運動的線速度之比，故A正確；已知周期之比、軌道半徑之比，依據an＝eq\f(4π2,T2)r，可求得3顆“超級地球”運動的向心加速度之比，故B正確；依據F＝eq\f(GMm,r2)，由于3顆“超級地球”的質量之比未知，所以無法求得所受的引力之比，故C錯誤；因為不知道詳細的軌道半徑，所以無法求得中心天體的質量，故D錯誤．12．由于地球的自轉，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉所需向心力的大小不同，因此同一個物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299300，因此我們通常忽視兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽視．假如某星球因為自轉的緣由，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點受到的重力大小之比為78，已知該星球的半徑為R.(引力常量為G)(1)求繞該星球運動的同步衛星的軌道半徑r；(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ.解析：(1)設物體質量為m，星球質量為M，星球的自轉周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即F萬＝Geq\f(Mm,R2)＝G極物體在星球赤道上隨星球自轉時，向心力由萬有引力的一個分力供應，另一個分力就是重力G赤，有F萬＝G赤＋Fn因為G赤＝eq\f(7,8)G極，所以Fn＝eq\f(1,8)·Geq\f(Mm,R2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R該星球的同步衛星的周期等于星球的自轉周期T，則有Geq\f(Mm′,r2)＝m′eq\f(4π2,T2)r聯立解得r＝2R.(2)在星球赤道上，有eq\f(7,8)·Geq\f(Mm,R2)＝mg解得M＝eq\f(8gR2,7G)又因星球的體積V＝eq\f(4,3)πR3所以該星球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(6g,7GπR).答案：(1)2R(2)eq\f(6g,7GπR)13．我國放射的“嫦娥一號”衛星放射后首先進入繞地球運行的“停岸軌道”，通過加速再進入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地心最近距離為L1，最遠距離為L2，衛星快要到達月球時，依靠火箭的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，成為環月球衛星，最終在離月心距離L3的“繞月軌道”上飛行．已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為g/6，求：(1)衛星在“停岸軌道”上運行的線速度；(2)衛星在“繞月軌道”上運行的線速度；(3)假定衛星在“繞月軌道”上運行的周期為T，衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該一個周期內衛星放射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間(忽視月球繞地球轉動