廣義雙曲線分布及其在金融資產收益率分析中的應用 1 1 1 12.國內研究狀況 3(三)發展趨勢及對本人研究啟示 3(四)本文的研究方法及結構框架 4 5 5(二)廣義雙曲線分布的性質 7 72.線性變換 73.極限分布 7三、基于廣義雙曲線分布的上證綜合指數收益率實證研究 7 7 8 9 9 20 23資產價格波動頻繁且劇烈，這使得金融機構何對金融風險進行有效地度量成為廣大金融機構關注的焦點。風險價值(VaR)是近年收益的分布形式假定(張志明，李秀英，2022)[1]。一、緒論(一)選題意義分布來刻畫收益率(李浩然，黃雅婷，2023)。許多著名的投資與風險管理理論，如馬克維茨的資產組合理論、資本資產定價模型(CAPM)以及Black-Scholes定價模型都以大程度上促進了投資與風險管理理論與實務的進一步發展(孫文博，任婷婷，2021)。需要，與西方發達國家有著很大的不同。因此布特征的研究是這一系列研究的基礎(顧天佑，盛文軒，2017)。(二)國內外研究狀況金融資產收益率服從正態分布是最早的理論假設。Bachelier(1900)最早提出資產價格的無條件分布為正態分布(馬志輝，馮婉茹，2022)。Kendall (1959)分別對英國和美國股市收益率的數據進行了研究，鑒于本文的研究情境這種情分布在加法下是穩定的，如股票的任何套利組合俊馳，徐浩然，2021)。比如1973年提出的Black-Scholes公式就是以對數收益率滿足正態分布為基礎建立起來的(何景云，嚴俊馳，2022);這在一定水平上彰顯了資本資產定價模型(CAPM)假定收益是關于時間獨立同分布的，其聯合分布為多變量正態分收益率服從正態分布(湯鎮宇，宋雨涵，2019)。思路不僅增強了模型的實際應用價值，也為后續研究者提供了股票收益率的尖峰厚尾性用穩定paretian分布進行擬合發現，特征指數小于2的穩定paretian分布能夠比正態分布具有更好的擬合性(殷明哲，柯靈韻，2021)。然而由于和Keller(1995)首先將廣義雙曲線分布應用到金融領域，在既定框架之內由于廣義雙曲線分布的尾部要比穩定分布的尾部要“薄”,因此廣義雙曲線分布在金融領域得到了進行了創新與發展。首先，在信息流動的設計方面，本文借鑒了經典的信息處理理論，(1984)用指數冪分布對收益率進行擬合，認為指數冪分布比正態分布更能刻畫股票收松過程)組成：鑒于當前情境前者造成了證券價格的連續變化，后者反映了消息面帶來模型、混合正態分布擬合了1990年至1996年上證綜合指數收益率的分布，結果顯示這三種分布的擬合效果都比正態分布好，從中可解讀出含義且其中混合正態分布為最佳。陳立新，劉建偉(2002)認為中國股票市場的收布函數的基礎上，在這種環境下以穩定Paretian分布與t分布為備擇分布，研究了滬深分布具有尖峰和厚尾的特性，在這種布局下認為正態分布的假設是不合理的，進而用t李浩軒，鄭雪婷(2005)認為用穩定分布和修正Weibull分布模擬效果都可以接受。顧翔宇，朱妍(2005)I3在股票收益率非正態性的蒙特卡羅模擬檢驗中表明用廣義雙曲線(三)發展趨勢及對本人研究啟示布特征，我國股指收益率分布具有比正態分布更厚的尾部特征。鑒科學探索往往是一場馬拉松，特別是在面對錯綜復雜或全新足的時間來觀察、分析并確保結論的可靠性。盡徹底驗證所有結論，仍需長時間的追蹤研究和多次實驗。這性的影響，還能增強研究結果的可信度和廣泛適用性。同時，推動結論驗證的邊界，隨著新工具和技術的出現，科學研究獲得了曲線分布下的上證綜合指數收益分布進行實證研究4。(四)本文的研究方法及結構框架性。然后通過對廣義雙曲線分布、正態逆高斯分布、雙曲線分布、正態分布進行擬合，在對他們進行參數估計，最后對上證綜合指數收益分布進行分析。準確性，本文在誤差控制方面采取了一系列嚴格的措施。本第三部分為實證分析。首先，介紹選取數據的方法以及數據處理方法；然后，進行正態性檢驗，對數據進行分布擬合；最后，進行參數估計，基于以上事實并且對分布方式進行對比。第四部分為結論。基于廣義雙曲線分布對上證綜合指數收益分布進行分析。文章最后為總結。二、廣義雙曲線分布(一)廣義雙曲線分布的定義廣義雙曲線分布是Barndorff-Nielsen在研究丹麥沙丘運用時首次提出的。經過長期研究，國外很多學者認為廣義雙曲線分布具有良好的統計特性，鑒于上述分析情況且子類豐富、形狀靈活，Barndorff-Nielsen和Blesild比較全面地介紹了該分布的相質，并進一步指出廣義雙曲線分布可表示為正態分布和分布的混合分布形式。Eberlein和Keller首先將廣義雙曲線分布應用到金融領域(劉思翔，王琳娜，2020),在既定框架之內由于廣義雙曲線分布的尾部要比穩定分布的尾部要“薄”,因此廣義雙曲線分布在金融領域得到了迅速發展3。假設R為服從廣義雙曲線分布的隨機變量，則R可表示為如方差Z服從廣義逆高斯分布(GIG),Z～GIG(λ,δ,y),并且與Y是相互獨立。的密度函數為其中，γ=√a2-β2,K?(2)表示階數為λ的第二類修正Bessel函數，形式為,參數滿足條件：u∈R,并且其中，λ可用于描述某個子類的特征，更值得一提的是，調整λ值可改變分布尾部厚度；u為位置參數；δ為尺度參數，鑒于當前情境與正態分布中的標準差δ意義相當，δ變小密度函數峰度將變大；α為形態參數，α越大則廣義雙曲線分布尾部越薄；β為偏態參數，|β越小則偏度越小，β|=0表示廣義雙曲線分布為對稱分布，從中可解讀出①當λ>0,α>0,β∈(-a,α),δ=0,為方差-g②當λ=1,a>0,β∈(-a,α),δ=0,為非對稱拉普拉斯分布；③當λ=1,a>0,β=0,δ=0,為拉普拉斯分布；④當λ=1,α>0,β∈(-a⑥當λ<1,α=0,β=0,δ>0,為t分布；⑦當,α=0,β=0,δ>0,為柯西分布；⑧當,α=0,β∈(-a,α),δ>0,為正態逆高斯分布(NI對GHSKT分布而言：由表達式(1)-(7)可知，廣義雙曲線分布和正態逆高斯分布尾部函數為冪函數和指數函數的乘積形式，被成為半厚尾(陳志(二)廣義雙曲線分布的性質廣義雙曲線分布有許多優良性質，在這種布局下例如它有明的性質5。設X～NIG(a,β,μ,δ),i=1.…,n,且諸X相互獨立，則其和;也服從廠正態逆高斯分布NIG(a,β,μy,δ),其中三、基于廣義雙曲線分布的上證綜合指數收益率實證研究(一)數據來源及數據預處理我國上海證券交易所從1990年成立至今，這明顯地顯示出與管理制度多次進行了調整，特別是1996年12月16日，滬深股市實行漲跌停辦制度，對股票收益有較大的種情況被納入了考慮即上證綜合指數每日收盤價的數據來研究中國股票市場收益率的其中r是第i期的股票收益率，p;是第1期的股票日收盤價6。(二)收益率分布的正態性檢驗研究。于數據研讀時段，已有研究的感悟示意本文要著重新興分析工具和技術的使用。上彰顯了比較一致的結果是：收益率的分布是有偏的，尖峰厚尾的，具有波動聚類性，對于正態分布的檢驗，主要有絕對偏差檢驗，偏度檢驗，峰度檢驗，峰度-偏度檢峰度檢驗分別是對正態分布的某一項指標進行檢驗，這在一定水平上彰顯了比較簡單，小樣本數據的正態性檢驗，尤其是3≤n≤50的時候，而D檢驗使用的樣50≤n≤1000,由于在本節中相關檢驗的樣本容量均超過1000,憑借現有成果積累可推導出所以這兩種方法都不適用；x2擬合優度檢驗對樣本觀測值是做分組處理的，實際莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗在每一個觀測點上，都考察了經驗分布與理論分布的偏差，基于以上事實5因此出現第二類錯誤的機會小于x2擬合優度檢驗，在本節中，使用的是偏度檢驗，峰度檢驗，峰度-偏度檢驗和柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗(任婷華，羅怡能的異常數據。通過細致地研究數據的分布特分析來考察不同參數變動對研究結果的影響，從而保證了研究結論的穩鑒于上述分析情況作統計量來檢驗收益率序列的正態性，其中n為樣本容量，6為作統計量來檢驗收益率序列的正態性，其中本文提供了寶貴的經驗教訓，揭示了哪些方法是有效的，哪些需要進一步調整或摒棄。體服從正態分布)成立則JB漸進服從自由度為2的x2分布，即JB～x2(2)。對于給定的顯著性水平α,當JB>x2(a,n)的拒絕原假設。當n≥45時，x2(a,n)可以由下面的近超過1000,因此x2(a,n)可以由公式(3.6)計算得到。柯爾英哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗直接在每個數據點上考察經驗分布函數與理論分布次關系。此外，本文還特別強調了混合方法的應用，即將定量研究與定性研究相結合，總體的分布函數F(x)是未知的，這明顯地顯示出但我們有樣本觀側值x?,x?,…xn,以概率1關于x均勻收斂于F(x),即有：我們構造統當H?成立時，統計量D的值會很小，而當H?成立時，D的值將會很大。當樣本容量較大時，柯爾莫哥洛夫1933年給出了原假設成立時，這在一定水平上彰顯了統計對上證綜指1990年12月19日至2021年2月26日進行正態性檢驗，表3-1給出了以上幾種檢驗方法的計算結果，憑借現有成果積累計量值在5%的顯著性條件下，拒絕上證綜指收益率服從正態分布的原假設。圖3-1給表3-1收益率序列正態性檢驗檢驗類型峰度檢驗J-B檢驗統計量上證綜指圖3-1上證綜指收益率序列Q-Q正態圖(三)分布擬合劉雨欣，2023)。本節中將分別對1997年4月14日至2003年7月4日1500個上證綜合指數數據、2006年11月1日至2012年12月25日1500個上證綜合指數數據、2014年12月29日至2021年2月26日1500個上證綜合指數數據進行分布擬合(王梓和，劉雅靜，2023)。用MATLAB畫出上證綜合指數樣本概率密度函數與基于廣義雙曲線分度函數的圖形比較。如圖3-2,可以看出：在既定框架之內三個時間段的廣義雙曲線都圖3-21997年4月14日至2003年7月4日1500個上證綜指樣本概率密度函數與廣圖3-32006年11月1日至2012年12月25日1500個上證綜指樣本概率密度函數與廣義雙曲線分布的概率密度函數第14頁共69頁圖3-42014年12月29日至2021年2月26日1500個上證綜指樣本概率密度函數與廣義雙曲線分布的概率密度函數接下來，鑒于當前情境討論假定上證綜合指數日收益率分布為正態逆高斯分布時，參數的極大似然估計。通過運行MATLAB程序得到圖，如圖3-3比較了樣本概率密度義可以看出：三個時間段的正態逆高斯的分布與實際數據的擬合都還是比較好的(程開文，蔣慧琪，2023)。圖3-51997年4月14日至2003年7月4日1500個上證綜指樣本概率密度函數與正圖3-62006年11月1日至2012年12月25日1500個上證綜指樣本概率密度函數00圖3-72014年12月29日至2021年2月26日1500個上證綜指樣本概率密度函數與正態逆高斯分布的概率密度函數第16頁共69頁圖3-81997年4月14日至2003年7月4日1500個上證綜指樣本概率密度函數與幾種理論分布的概率密度函數圖3-92006年11月1日至2012年12月25日1500個上證綜指樣本概率密度函數與圖3-102014年12月29日至2021年2月26日1500個上證綜指樣本概率密度函數與幾種理論分布的概率密度函數(四)參數估計由于存在Bessel函數，廣義雙曲線分布形式變得比較復雜，使用EM算法解決GH分布的參數估計難問題，EM算法是一種處理含缺失數據的有效的E-Step有M-Step和兩個步驟構成5。E(Z|R),E(Z-1|R),E(In(Z)|R)。為便于得到這三個期望表達式，這里給出GIG分布兩M-Step:對似然函數f(r,z)=fRz(r|z)f?(z),Z有關的變量用E-Step中的條件期望值代替(程工宇，蔣慧君，2021)?。通過運行MATLAB程序得到1997年4月14日至2003年7月4日1500個上證綜合指數數據、2006年11月1日至2012年12月25日1500個上證綜合指數數據、2014年12月29日至2021年2月26日1500個上證綜合指數數據日對數收益率廣義雙曲線分布，正態逆高斯分布和雙曲線分布的參數估計(吳梓和，陳雅文，2022)。表3-71997年4月14日至2003年7月4日段參數估計結果分布類型λαβδμ正態逆高斯分布表3-82006年11月1日至2012年12月25日段參數估計結果分布類型λαβδμ正態逆高斯分布表3-92014年12月29日至2021年2月26日段參數估計結果分布類型λαβδμ正態逆高斯分布(五)擬合優度檢驗通過上文對樣本數據的分布擬合，我們已經可以初步得出正態逆高斯分布對上證綜合指數收益率分布的擬合優度最高。這明顯地顯示出而原則上在模型應用研究區域之前，需要進行必要的適用性檢驗，以便確定模擬結果的可靠性。鑒于本文的研究情境這種情況被納入了考慮柯爾莫戈羅夫及斯米爾諾夫(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(以下簡稱KS檢驗)基于經驗分布是理論分布相容估計的原則，常被用于描述兩個獨立統計樣本的相似性，或被用于檢驗某個經驗分布是否符合另外一個已提前假設好的理論分布(徐志鵬，劉雅靜，2021)7。這在一定水平上彰顯了為了進一步對比廣義雙曲線分布、正態逆高斯分布、雙曲線分布對收益率分布的擬合效果，本文將基于柯爾英哥洛夫-斯米爾諾夫檢第19頁共69頁其中Fy(x)、F?(x)分別為樣本經驗分布函數和理論分布致，并且使用蒙特卡羅模擬方法分別對正態分布、廣義雙曲線分布、正態逆高斯分布、雙曲線分布對柯爾英哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗在0.5%、5%、8%顯著水平下的臨界值進(1)基于以上事實分別產生一定樣本容量下(樣本容量分別為1000、1500、2000)(2)分別計算模擬產生的隨機數的經驗分布函數值與理論分布函數的差距，得到柯爾英哥洛夫-斯米爾諾夫檢驗的10萬個取值；(3)確定正態分布、廣義雙曲線分布、正態逆高斯分布和雙曲線分布四種理論分布檢驗值分別在1%、5%、10%顯著水平下的臨界值，其中參數值取平均值3。表3-2正態分布檢驗的臨界值顯著水平表3-3廣義雙曲線分布檢驗的臨界值顯著水平第20頁共69頁表3-4正態逆高斯分布檢驗的臨界值顯著水平表3-5雙曲線分布檢驗的臨界值顯著水平表3-6樣本分布的檢驗結果(顯著水平：5%,樣本容量：2000)分布類型正態分布0.0927拒絕0.0851拒絕0.1013拒絕廣義雙曲線0.0091不能拒絕0.0083不能拒絕0.0079不能拒絕正態逆高斯0.0099不能拒絕0.0101不能拒絕0.0207不能拒絕雙曲線分布0.0971拒絕0.1049拒絕0.0814拒絕以上結果表明，用廣義雙曲線分布和正態逆高斯分布可以較好地擬合上證綜指日對(六)結論性和準確性(孫文博，任婷婷，2021)。對于風險度量，其度量準確與否依賴于資產收益率的分布形式假定。傳統方法通和尖峰厚尾性質。本文在國內外研究基礎上，運用廣義雙曲線分布來擬合我國上證指數收益率的這些典型特性。首先，從尾部特征角度出發，對比研究了廣義雙曲線分布和其他四類偏態分布。在數據收集期間，本文采用了各式各樣的方法，像問卷調查、實地交流以及文獻研習等，目標是全方位、精準地獲取數據信息。通過對這些數據有條理地剖析與處理，本文得以切實地驗證研究設想，挖掘其中潛藏的規律和內在聯系。即便本次研究收獲了一定成果，然而本文也清醒地認識到，所有研究都存在自身難以避免的局限性。后續研究可在當前成果之上持續深入，特別是在樣本挑選、研究手段改進以及理論模型優化等方面，存在廣闊的提升空間。其次，對含有Bessel函數的廣義雙曲線分布，從中可解讀出含義本文利用強有力的EM算法解決廣義雙曲線分布的參數估計難問題。最后基于廣義雙曲線分布對上證綜合指數收益率分布進行實證研究，證明上證綜合指數收益率分布能夠很好的擬合廣義雙曲線分布。需要指出的是，本文在利用廣義雙曲線分布研究上證綜合指數收益率分布時，并沒有將廣義雙曲線分布和常見的波動率模型(如GARCH模型和SV模型)相結合起來。在以后研究中，我們將關注這一方向。參考文獻：[1]楊愛軍，林金官，劉曉星.基于廣義雙曲線分布的我國股票市場VaR風險度量研究_楊愛軍[J].數理統計與管理，2014,33(4):752-760.[2]關于上海股市收益分布的實證研究_張志明，李秀英[J].[3]股票收益率非正態性的蒙特卡羅模擬檢驗_李浩然，黃雅婷[J].[4]中國股指收益率分布及波動建模比較研究_孫文博，任婷婷[J].[5]顧天佑，盛文軒，2017).基于EM估計的正態逆高斯分布下中國股票收益率分布研究_吳安勤[D].南京大學，2014.[6]基于g_h分布的上證指數收益率分布擬合研究_馬志輝，馮婉茹[J].[7]基于天氣發生器的石羊河流域降水模擬時空分析及降水變化趨勢研究_周俊馳，徐浩然_2.4.1柯爾莫戈羅夫及斯米爾諾夫檢驗_KS檢驗_27_30[J].[8]FelipeM.Aparicio,JavierEstrada,Empiricaldistributionsofstockreturns:Europeansecuritiesmarket,1990-95,[J],EuropeanJournalofFinance,2001,3:1-21;[9]Fama,TheBehaviorofStock-MarketPrice,JournalofBusiness,1965,38:34[10]Smith,J,TheProbabilityDistributionofMarketReturns:A[D],UniversityofUtah;第22頁共69頁[11]StanleyJ.Kon,Modelsofstockreturns-acomparison,[J],TheJournalofFinance,1984,39:[12]Praetz,P,Thedistributionofsharepricechanges,[J],JournalofBusiness,1972,45:49-5[13]Gray,B,DFrench,Empiricalcreturns,[J],JournalofBusiness,Finance&Accounting,1990,17,451-459;[14]Prieo,A,TheDistributionofStockReturns:In[15]Press,J,AcompoundEventsModelforSec[16]何景云，嚴俊馳，《關于上海股市收益分布的實證研究》,[J],1998,1:21-25;[17]湯鎮宇，宋雨涵.中國股市收益率波動性研究[J],西南交通大學博士論文.2005,5;[18]張一鳴，成奇倩.股票收益率非正態性的蒙特卡羅模擬檢驗及模型解釋[J].Reviewof[19]付辰，成樂倩等，《上證綜合指數收益率的統計分析》,[J],運籌與管理，2005,[20]崔昕雯，邱志時.中國股市收益率計算方法及收益率分布的實證研究[D].東北財經[21]殷明哲，柯靈韻.中國股指收益率分布及波動建模比較研究[D].西南財經大學，2008.[22]成文澤，趙欣妍廣義雙曲線分布模型在我國證券市場風險度量中的應用研究_郭海[23]江向陽，胡紫瑤基于廣義雙曲線分布的我國股票市場VaR風險度量研究_楊愛軍[J].[24]唐澤凡，何悅彤.GH分布族下資產收益率分布擬合優_省略_于中國證券指數高頻數據的實證研究_張建龍[J].數學的實踐與認識，2010,40(21):26-32,33,34.[25]曾祥瑞，馬靜嫻.中國股指收益率分布及波動建模比較研究_郭小平[D].西南財經大[26]陳立新，劉建偉基于EM估計的正態逆高斯分布下中國股票收益率分布研究_吳[27]高博文，何佳琳重尾分布的尾部指數估計及滬深股市實證分析_赫英迪[J].0,:[28]丁文杰，胡美麗廣義雙曲線分布族下的動態系統性風險研究_田海山[J].0,:[29]于思遠，徐夢琪.基于g-h分布的上證指數收益率分布擬合研究[J].中國管理科學，2008,16(S1):226-230.[30]李浩軒，鄭雪婷.基于廣義雙曲線SV模型的極值風險度量研究_周孝華[J].統計與[31]顧翔宇，朱妍.基于非參數核估計方法的中國股市收益率分布研究[J].海南師范大[32]陳雅婷，張志豪.滬深股市收益率及其相關性的實證分析[D].天津財經大學，2013.[33]劉思翔，王琳娜.中國股票市場收益率分布實證研究[D].蘭州商學院，2013.[34]孫文博，任婷婷.上海股票市場收益率分布模型統計研究[J].現代商貿工業，2008,(10):239-240.[35]顧天佑，盛文軒，2017).上海股票市場收益率分布研究