巴彥淖爾市—學年下學期高一期末考試數學注意事項：．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內對應的點位于（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據復數的幾何意義判斷即可.【詳解】在復平面內對應的點為，位于第四象限.故選：D2.在正中，向量在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據正三角形的性質及投影向量的定義計算可得.【詳解】在正中，，所以，第1頁/共17頁所以向量在方向上的投影向量為.故選：C3.在中，角的對邊分別是，若，則（）A.或B.或C.D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，由正弦定理代入計算，即可得到結果.【詳解】由正弦定理可得，即，且，則或.故選：A4.某商場評選金牌銷售員，現將該商場所有銷售員某月的銷售額進行整理，得到如圖所示的統計圖，則該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數為（）A.萬元B.萬元C.萬元D.萬元【答案】B【解析】【分析】根據平均數公式計算可得.【詳解】該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數為：（萬元）.故選：B5.已知是三個不同平面，是兩條不同的直線，則下列命題是真命題的是（）第2頁/共17頁A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據線線，線面，面面的位置關系，判斷平行或垂直.詳解】A.若若，則或，故A錯誤；B.若，則與相交或平行，故B錯誤；C.若直線C錯誤；D.滿足面面垂直的性質定理，故D正確.故選：D6.重復記錄在數據中，則這組新的數據和原來的數據相比，一定不會改變的是（）A.平均數B.中位數C.極差D.眾數【答案】C【解析】【分析】根據題意，由平均數，中位數，極差以及眾數的定義，即可判斷.【詳解】平均數是所有數據之和再除以這組數據的個數，故平均數有可能改變，中位數是按照順序排列一組數據中居于中間位置的數，故中位數也可能改變，極差表示一組數據中最大值與最小值之差，將重復記錄在數據中，最大值與最小值并未改變，所以極差一定不變，眾數是一組數據中出現次數最多的數，有可能改變.故選：C7.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，則該四棱錐外接球的表面積為（）第3頁/共17頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將四棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為該四棱錐的外接球，又長方體的體對角線即為外接球的直徑，求出外接球的半徑，即可求出其表面積.【詳解】因為在四棱錐中，底面是矩形，平面，如圖將四棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為該四棱錐的外接球，又，設長方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積.故選：A8.已知四邊形的頂點都在半徑為2的圓上，且經過圓的圓心，，四邊形的面積為，則（）A.2B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】將四邊形的面積轉化為，利用三角形面積公式，結合兩角差的正弦公式進行化簡，可得，結合，從而可求出，進而可求出.第4頁/共17頁【詳解】連接，則為等邊三角形，，四邊形的面積為，所以，所以，因為，所以，所以，，，，所以，因為，所以，所以或，所以，或，因為，所以舍去，所以，所以為等腰直角三角形，所以.故選：C第5頁/共17頁【點睛】關鍵點點睛：此題考查三角函數恒等變換公式的應用，考查三角形面積公式的應用，解題的關鍵是將四邊形的面積轉化為可求得結果，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知事件兩兩互斥，若，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據互斥事件的概率加法公式計算可得.【詳解】因為事件兩兩互斥，所以，故D正確；，則，故A正確；，則，故B錯誤；，故C正確.故選：ACD10已知復數滿足，則（）A.B.C.D.第6頁/共17頁【答案】AD【解析】.【詳解】因為，則，所以，則，故A正確；當時，，當時，，故B錯誤；因為，則，故C錯誤；因為，則，故D正確；故選：AD在長方體中，在線段與平面所成角的正弦值可能為（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據線面角的定義，結合垂直關系，轉化為求的最值，再結合選項判斷.【詳解】連結，第7頁/共17頁因為平面，平面，所以平面平面，且平面平面，過點作，連結，則平面，為與平面所成線面角，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，所以，連結，，，因為，當點是的中點時，，此時最短，，當點在或時，最長，最大值為5，所以，選項AB在范圍內.所以直線與平面所成角的正弦值可能為或.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.復數的虛部為______．【答案】【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，再判斷其虛部即可.第8頁/共17頁【詳解】因為，所以復數的虛部為.故答案為：13.如圖，四棱臺的側棱長均相等，四邊形和四邊形都是正方形，，則該四棱臺的體積為__________.【答案】【解析】【分析】求出四棱臺的高，再根據棱臺的體積公式計算即可.中，為四棱臺的高，過點作與交于點，則，四邊形和四邊形都是正方形，且，則，，則，，，即四棱臺的高.又上底面積，下底面積，則該四棱臺的體積為.故答案為：.第9頁/共17頁14.已知是的外心，若，則內角的最大值是__________.【答案】##【解析】【分析】取的中點，連接，因為是的外心，所以，根據平面向量加法的三角形法則和平面向量數量積的定義將和轉化為邊得到邊之間的關系，再利用余弦定理結合重要不等式即可求解.【詳解】取的中點，連接，如圖：因為是的外心，所以，設中對應邊分別為，則，同理可得，因為，所以，根據余弦定理得：，當且僅當時等號成立，第10頁/共17頁因為函數在為減函數，且，所以內角的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）用向量垂直的坐標結論求出，再用模公式求解即可；（2）用向量平行的坐標結論求出，再用夾角的坐標公式求解即可；【小問1詳解】因為，，所以.由，可得，即，解得，所以，故.【小問2詳解】依題意得.因為，所以解得，則.，，，所以，第11頁/共17頁所以與夾角的余弦值為.16.一段時間內生產的100件產品，對其質量（單位：g）進行統計，并將樣本數據分為六組，得到如下頻率分布直方圖．（1）試估計樣本數據的分位數；（2內的產品中采用分層隨機抽樣的方法抽取5件產品作為產品深加工方案制定的分析樣例，再從被抽取的這5件產品中隨機抽取2件產品作為深加工的標準樣例，求標準樣例中恰有1件產品的質量在內的概率；（32取到的產品中至少有1件優等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）（3）【解析】1）利用頻率分布直方圖估計樣本數據的分位數.（2）求出5件產品中兩個指定區間內的產品數，再利用列舉法求出古典概率.（3）求出優等品率，再利用對立事件的概率公式計算即得.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，樣本數據在的頻率為，在的頻率為，則樣本數據的分位數，于是，解得，所以樣本數據的分位數約為73.75g.【小問2詳解】第12頁/共17頁樣本數據在內的產品被抽取的件數為，記為，樣本數據在內的產品被抽取的件數為，記為則從被抽取的這5件產品中隨機抽取2件產品的情況有：，共10種，其中標準樣例中恰有1件產品的質量在內的情況有6種．所以標準樣例中恰有1件產品的質量在內的概率為．【小問3詳解】依題意，從該生產線上隨機抽取1件產品，該件產品為優等品的概率為，則抽取到的產品中至少有1件優等品的概率為．17.某校舉辦環保知識競賽，初賽中每位參賽者有三次答題機會，每次回答一道題，若答對，則通過初賽，否則直到三次機會用完.已知甲?乙?丙都參加了這次環保知識競賽，且他們每次答對題目的概率都是，假設甲?乙?丙每次答題是相互獨立的，且甲?乙?丙的答題結果也是相互獨立的.（1）求甲第二次答題通過初賽的概率；（2）求乙通過初賽的概率；（3）求甲、乙、丙三人中恰有兩人通過初賽的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）根據相互獨立事件的概率公式計算可得；（2）根據相互獨立事件及對立事件的概率公式計算可得；（3）根據相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】記甲第二次答題通過初賽為事件，則；【小問2詳解】記乙通過初賽為事件，則；第13頁/共17頁【小問3詳解】依題意甲、乙、丙每人通過初賽的概率均為，記甲、乙、丙三人中恰有兩人通過初賽為事件，則.18.是直線在直線與“由點對施以視角運算”：若點在線段上，記；若點在線段外，記．在中，角的對邊分別是，點在射線上．（1）若是角的平分線，且，由點對施以視角運算，求的值；（2對施以視角運算，的周長．【答案】（1）（2）【解析】1）依題意可得，從而得到，即可得解；（2）根據所給定義及條件得到，再由余弦定理求出，即可求出，從而求出三角形的周長；【小問1詳解】因為是角的平分線，所以且在線段上，所以，又，所以；【小問2詳解】因為點在射線上，，且，所以在線段外，且，第14頁/共17頁所以，所以，在中，由余弦定理可得，即，解得所以，所以的周長為.19.在四棱錐中，平面，平面平面分別為的中點．（1）證明：平面．（2）證明：．（3）若二面角的正切值為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）48【解析】1）連接，證明，由線線平行證線面平行即得；（2）過作交于，證平面得，由平面得，可證平面，即得；第15頁/共17頁（3作交于,證平面交于即為二面角的平面角，由題設，通過兩組三角形相似求出即得.【小問1詳解】如圖，連接．因為分別為的中點，所以為的中位線，則．因為平面平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，過作交于．因平面平面，平面平面，平面，故平面．因為平面，所以．因為平面平面，所以．因為，所以平面，又平面，所以．【小問3詳解】如圖3，過作交于，過作交于，連接．第16頁/共17頁因