第5講對數與對數函數1．對數概念如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN．其中a叫做對數的底數，N叫做真數性質底數的限制：a>0，且a≠1對數式與指數式的互化：ax＝N?logaN＝x負數和零沒有對數1的對數是零：loga1＝0底數的對數是1：logaa＝1對數恒等式：alogaN＝N運算性質loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)2.對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(1，0)當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數3.反函數指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．1．函數y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域為()A．(0，1) B．[0，1)C．(0，1] D．[0，1]2.(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2 D．43．lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝________．4.函數y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點________．5.若logaeq\f(3,4)<1(a>0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是________．對數式的化簡與求值計算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．[通關練習]1．設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________．2．已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為________．對數函數的圖象及應用(1)函數f(x)＝lgeq\f(1,|x＋1|)的大致圖象為()[通關練習]1．已知lga＋lgb＝0(a＞0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數f(x)＝ax與g(x)＝－logbx的圖象可能是()2．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則a的取值范圍為_______．(1)若a>b>0，0<c<1，則()A．logac<logbcB．logca<logcbC．ac<bc D．ca>cb(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實數x的取值范圍是________．[題點通關]角度一求對數函數的定義域1．函數y＝eq\r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是()A．[1，2]B．[1，2)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))角度二探究對數函數的性質2．函數f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上單調遞增，則a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．(3，＋∞)角度三比較對數值的大小3．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關系是()A．a＝b<cB．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>c角度四解簡單的對數不等式或方程4．已知f(x)是偶函數，且在[0，＋∞)上是減函數，若f(lgx)＞f(2)，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)，1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,100)))∪(1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)，100)) D．(0，1)∪(100，＋∞)——忽視函數的定義域致誤若函數f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)在區間(3m－2，m＋2)內單調遞增，則實數m的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))1．函數f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定義域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0且a≠1)的反函數，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2xB．eq\f(1,2x)C．logeq\s\do9(\f(1,2))x D．2x－23．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3－x＋1，x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A．5B．3C．－1 D．eq\f(7,2)4．已知函數f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<15．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0，))若af(－a)>0，則實數a的取值范圍是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)6．設函數f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上單調遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關系是()A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能確定7．lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)＝________．8．函數f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________．9．已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a＞1時，求使f(x)＞0的x的解集．10．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(0)＝0，當x＞0時，f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x.(1)求函數f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.第5講對數與對數函數,[學生用書P34])1．對數概念如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN．其中a叫做對數的底數，N叫做真數性質底數的限制：a>0，且a≠1對數式與指數式的互化：ax＝N?logaN＝x負數和零沒有對數1的對數是零：loga1＝0底數的對數是1：logaa＝1對數恒等式：alogaN＝N運算性質loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)2.對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域：(0，＋∞)值域：R過定點(1，0)當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數3.反函數指數函數y＝ax與對數函數y＝logax互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．1．辨明三個易誤點(1)在運算性質中，要特別注意條件，底數和真數均大于0，底數不等于1.(2)對公式要熟記，防止混用．(3)對數函數的單調性、最值與底數a有關，解題時要按0<a<1和a>1分類討論，否則易出錯．2．對數函數圖象的兩個基本點(1)當a>1時，對數函數的圖象“上升”；當0<a<1時，對數函數的圖象“下降”．(2)對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數圖象只在第一、四象限．3．換底公式及其推論(1)logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b>0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)；(3)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0且a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；(4)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．1．函數y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域為()A．(0，1) B．[0，1)C．(0，1] D．[0，1]B[解析]因為y＝eq\r(x)ln(1－x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x>0，))解得0≤x<1.2.eq\a\vs4\al(教材習題改編)(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4D[解析]原式＝eq\f(ln9,ln2)·eq\f(ln4,ln3)＝4.3．lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝________．[解析]lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.[答案]－14.eq\a\vs4\al(教材習題改編)函數y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點________．[解析]當4－x＝1即x＝3時，y＝loga1＋1＝1.所以函數的圖象恒過點(3，1)．[答案](3，1)5.eq\a\vs4\al(教材習題改編)若logaeq\f(3,4)<1(a>0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是________．[解析]當0<a<1時，logaeq\f(3,4)<logaa＝1，所以0<a<eq\f(3,4)；當a>1時，logaeq\f(3,4)<logaa＝1，所以a>1.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)對數式的化簡與求值[學生用書P35][典例引領]計算：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．【解】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).eq\a\vs4\al()對數運算的一般思路(1)首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數的運算性質化簡合并．(2)將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算．[注意]在運算中要注意對數化同底和指數與對數的互化．[通關練習]1．設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________．[解析]因為2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝eq\r(10).[答案]eq\r(10)2．已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n的值為________．[解析]因為loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.[答案]12對數函數的圖象及應用[學生用書P35][典例引領](1)函數f(x)＝lgeq\f(1,|x＋1|)的大致圖象為()(2)若不等式(x－1)2<logax在x∈(1，2)內恒成立，則實數a的取值范圍為________．【解】(1)f(x)＝lgeq\f(1,|x＋1|)＝－lg|x＋1|的圖象可由偶函數y＝－lg|x|的圖象左移1個單位得到．由y＝－lg|x|的圖象可知選D.(2)設f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．當0<a<1時，顯然不成立；當a>1時，如圖所示，要使x∈(1，2)時f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的圖象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1<a≤2，即實數a的取值范圍是(1，2]．【答案】(1)D(2)(1，2]eq\a\vs4\al()利用對數函數的圖象可求解的兩類熱點問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想求解．(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．[通關練習]1．(2017·鄭州模擬)已知lga＋lgb＝0(a＞0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數f(x)＝ax與g(x)＝－logbx的圖象可能是()B[解析]因為lga＋lgb＝0，所以lgab＝0，所以ab＝1，即b＝eq\f(1,a)，故g(x)＝－logbx＝－logeq\s\do9(\f(1,a))x＝logax，則f(x)與g(x)互為反函數，其圖象關于直線y＝x對稱，結合圖象知B正確．故選B.2．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則a的取值范圍為________．[解析]當x≤0時，0<2x≤1，由圖象可知方程f(x)－a＝0有兩個實根，即y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，所以由圖象可知0<a≤1.即實數a的取值范圍為(0，1]．[答案](0，1]對數函數的性質及應用(高頻考點)[學生用書P36]對數函數的性質是每年高考的必考內容之一，多以選擇題或填空題的形式考查，難度低、中、高檔都有．高考對對數函數性質的考查主要有以下四個命題角度：(1)求對數函數的定義域；(2)探究對數函數的性質；(3)比較對數值的大小；(4)解簡單的對數不等式或方程．[典例引領](1)(2016·高考全國卷乙)若a>b>0，0<c<1，則()A．logac<logbc B．logca<logcbC．ac<bc D．ca>cb(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實數x的取值范圍是________．【解析】(1)法一：(通性通法)因為0＜c＜1，所以y＝logcx在(0，＋∞)單調遞減，又0＜b＜a，所以logca＜logcb，故選B.法二：(光速解法)取a＝4，b＝2，c＝eq\f(1,2)，則log4eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＞log2eq\f(1,2)，排除A；4eq\s\up6(\f(1,2))＝2＞2eq\s\up6(\f(1,2))，排除C；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，排除D；故選B.(2)原不等式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,2x2＋1>3x>1))①或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1,2x2＋1<3x<1))②，解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式組②無解，所以實數x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).【答案】(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))eq\a\vs4\al()利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數的值域和單調性問題時，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是函數的構成形式，即它是由哪些基本初等函數通過初等運算構成或復合而成的．[題點通關]角度一求對數函數的定義域1．函數y＝eq\r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是()A．[1，2] B．[1，2)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D[解析]由logeq\s\do9(\f(2,3))(2x－1)≥0?0<2x－1≤1?eq\f(1,2)<x≤1.角度二探究對數函數的性質2．函數f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上單調遞增，則a的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．(0，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D．(3，＋∞)D[解析]由于a>0，且a≠1，所以u＝ax－3為增函數，所以若函數f(x)為增函數，則f(x)＝logau必為增函數，所以a>1.又u＝ax－3在[1，3]上恒為正，所以a－3>0，即a>3.角度三比較對數值的大小3．(2017·石家莊模擬)已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關系是()A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>cB[解析]因為a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23＞1，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.角度四解簡單的對數不等式或方程4．已知f(x)是偶函數，且在[0，＋∞)上是減函數，若f(lgx)＞f(2)，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,100)))∪(1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)，100)) D．(0，1)∪(100，＋∞)C[解析]法一：不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx≥0,lgx＜2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx＜0,－lgx＜2))，解得1≤x＜100或eq\f(1,100)＜x＜1，所以x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)，100)).法二：由偶函數的定義可知，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，故不等式f(lgx)＞f(2)可化為|lgx|＜2，即－2＜lgx＜2，解得eq\f(1,100)＜x＜100，故選C.,[學生用書P37])——忽視函數的定義域致誤(2017·黃岡模擬)若函數f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)在區間(3m－2，m＋2)內單調遞增，則實數m的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))【解析】先保證對數有意義，即－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.又可得二次函數y＝－x2＋4x＋5的對稱軸為x＝－eq\f(4,2×（－1）)＝2，由復合函數單調性可得函數f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)的單調遞增區間為(2，5)，要使函數f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)在區間(3m－2，m＋2)內單調遞增，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2，,m＋2≤5，,3m－2＜m＋2，))解得eq\f(4,3)≤m＜2.故選C.【答案】C本題易忽視函數f(x)＝logeq\f(1,2)(－x2＋4x＋5)的定義域，而誤認為函數y＝－x2＋4x＋5的對稱軸x＝2在區間(3m－2，m＋2)的左側即可，從而導致解答錯誤．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上遞減，求a的取值范圍．[解]令函數g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數在(－∞，1]上遞減，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1，2)．,[學生用書P307(獨立成冊)])1．函數f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定義域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)A[解析]因為f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))，所以要使函數f(x)有意義，需使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,1－2x>0，))即－3<x<0.2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0且a≠1)的反函數，且f(2)＝1，則f(x)＝()A．log2x B．eq\f(1,2x)C．logeq\s\do9(\f(1,2))x D．2x－2A[解析]由題意知f(x)＝logax，因為f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.3．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3－x＋1，x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A．5 B．3C．－1 D．eq\f(7,2)A[解析]由題意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝3－log3eq\f(1,2)＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝5.4．已知函數f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1A[解析]由函數圖象可知，f(x)為單調遞增函數，故a＞1.函數圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數圖象可知－1<logab<0，解得eq\f(1,a)<b<1.綜上有0<eq\f(1,a)<b<1.5．(2017·西安模擬)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0，))若af(－a)>0，則實數a的取值范圍是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)A[解析]若a>0，則af(－a)＝alogeq\s\do9(\f(1,2))a>0?logeq\s\do9(\f(1,2))a>0?0<a<1；若a<0，則af(－a)＝alog2(－a)>0?log2(－a)<0?－a<1?－1<a<0.綜上，－1<a<1且a≠0，故選A.6．設函數f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上單調遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能確定A[解析]由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函數f(x)為偶函數，故可以判斷f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，所以f(a＋1)>f(2)．7．lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)＝________．[解析]lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＋20＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)＝lgeq\r(10)＋1＋5eq\s\up6(\f(2,3))×5eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(3,2)＋5＝eq\f(13,2).[答案]eq\f(13,2)8．函數f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________．[解析]依題意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，當且僅當log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立，所以函數f(x)的最小值為－eq\f(1,4).[答案]－eq\f(1,4)9．設函數f(x)＝|logax|(0<a<1)的定義域為[m，n](m<n)，值域為[0，1]，若n－m的最小值為eq\f(1,3)，則實數a的值為________．[解析]作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致圖象如圖，令|logax|＝1.得x＝a或x＝eq\f(1,a)，又1－a－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝1－a－eq\f(1－a,a)＝eq\f(（1－a）（a－1）,a)＜0，故1－a＜eq\f(1,a)－1，所以n－m的最小值為1－a＝eq\f(1,3)，a＝eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)10．關于函數f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命題：①其圖象關于y軸對稱；②當x>0時，f(x)是增函數；當x<0時，f(x)是減函數；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在區間(－1，0)、(2，＋∞)上是增函數；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中所有正確命題的序號是________．[解析]根據已知條件可知f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)為偶函數，顯然利用偶函數的性質可知命題①正確；對真數部分分析可知最小值為2，因此命題③正確；利用復合函數的單調性判定法則可知f(x)在(0，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，f(x)為偶函數，故f(x)在(－1，0)上遞增，在(－∞，－1)上遞減，故命題④正確，命題②錯誤；函數f(x)有最小值，因此命題⑤錯誤．[答案]①③④11．已知函數f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a＞1時，求使f(x)＞0的x的解集．[解](1)要使函數f(x)有意義，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，))解得－1＜x＜1.故所求函數f(x)的定義域為(－1，1)．(2)由(1)知f(x)的定義域為(－1，1)，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)為奇函數．(3)因為當a＞1時，f(x)在定義域(－1，1)內是增函數，所以f(x)＞0?eq\f(x＋1,1－x)＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的解集是(0，1)．12．已知函數f(x)＝loga(2x－a)，在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上恒有f(x)>0，則實數a的取值范圍是()A．eq\b\