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文檔簡介

第5講對數與對數函數1.對數概念如果ax=N(a>0,a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN.其中a叫做對數的底數,N叫做真數性質底數的限制:a>0,且a≠1對數式與指數式的互化:ax=N?logaN=x負數和零沒有對數1的對數是零:loga1=0底數的對數是1:logaa=1對數恒等式:alogaN=N運算性質loga(M·N)=logaM+logaNa>0,且a≠1,M>0,N>0logaeq\f(M,N)=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)2.對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域:(0,+∞)值域:R過定點(1,0)當x>1時,y>0當0<x<1時,y<0當x>1時,y<0當0<x<1時,y>0在(0,+∞)上是增函數在(0,+∞)上是減函數3.反函數指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對稱.1.函數y=eq\r(x)ln(1-x)的定義域為()A.(0,1) B.[0,1)C.(0,1] D.[0,1]2.(log29)·(log34)=()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2 D.43.lgeq\f(5,2)+2lg2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-1)=________.4.函數y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過點________.5.若logaeq\f(3,4)<1(a>0,且a≠1),則實數a的取值范圍是________.對數式的化簡與求值計算:(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;(2)(log32+log92)·(log43+log83).[通關練習]1.設2a=5b=m,且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2,則m=________.2.已知loga2=m,loga3=n,則a2m+n的值為________.對數函數的圖象及應用(1)函數f(x)=lgeq\f(1,|x+1|)的大致圖象為()[通關練習]1.已知lga+lgb=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),則函數f(x)=ax與g(x)=-logbx的圖象可能是()2.已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,2x,x≤0,))且關于x的方程f(x)-a=0有兩個實根,則a的取值范圍為_______.(1)若a>b>0,0<c<1,則()A.logac<logbcB.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb(2)已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,則實數x的取值范圍是________.[題點通關]角度一求對數函數的定義域1.函數y=eq\r(log\s\do9(\f(2,3))(2x-1))的定義域是()A.[1,2]B.[1,2)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))角度二探究對數函數的性質2.函數f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上單調遞增,則a的取值范圍是()A.(1,+∞)B.(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))) D.(3,+∞)角度三比較對數值的大小3.已知a=log23+log2eq\r(3),b=log29-log2eq\r(3),c=log32,則a,b,c的大小關系是()A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<c D.a>b>c角度四解簡單的對數不等式或方程4.已知f(x)是偶函數,且在[0,+∞)上是減函數,若f(lgx)>f(2),則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100),1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,100)))∪(1,+∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100),100)) D.(0,1)∪(100,+∞)——忽視函數的定義域致誤若函數f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))(-x2+4x+5)在區間(3m-2,m+2)內單調遞增,則實數m的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),3))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),2)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞))1.函數f(x)=eq\f(ln(x+3),\r(1-2x))的定義域是()A.(-3,0) B.(-3,0]C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(-3,0)2.若函數y=f(x)是函數y=ax(a>0且a≠1)的反函數,且f(2)=1,則f(x)=()A.log2xB.eq\f(1,2x)C.logeq\s\do9(\f(1,2))x D.2x-23.已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,3-x+1,x≤0,))則f(f(1))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A.5B.3C.-1 D.eq\f(7,2)4.已知函數f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關系是()A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<15.已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,log\s\do9(\f(1,2))(-x),x<0,))若af(-a)>0,則實數a的取值范圍是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)6.設函數f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調遞增,則f(a+1)與f(2)的大小關系是()A.f(a+1)>f(2)B.f(a+1)<f(2)C.f(a+1)=f(2) D.不能確定7.lgeq\r(2)+lgeq\r(5)+20+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)=________.8.函數f(x)=log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________.9.已知函數f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(3)當a>1時,求使f(x)>0的x的解集.10.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,f(0)=0,當x>0時,f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))x.(1)求函數f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2-1)>-2.第5講對數與對數函數,[學生用書P34])1.對數概念如果ax=N(a>0,a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN.其中a叫做對數的底數,N叫做真數性質底數的限制:a>0,且a≠1對數式與指數式的互化:ax=N?logaN=x負數和零沒有對數1的對數是零:loga1=0底數的對數是1:logaa=1對數恒等式:alogaN=N運算性質loga(M·N)=logaM+logaNa>0,且a≠1,M>0,N>0logaeq\f(M,N)=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)2.對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質定義域:(0,+∞)值域:R過定點(1,0)當x>1時,y>0當0<x<1時,y<0當x>1時,y<0當0<x<1時,y>0在(0,+∞)上是增函數在(0,+∞)上是減函數3.反函數指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對稱.1.辨明三個易誤點(1)在運算性質中,要特別注意條件,底數和真數均大于0,底數不等于1.(2)對公式要熟記,防止混用.(3)對數函數的單調性、最值與底數a有關,解題時要按0<a<1和a>1分類討論,否則易出錯.2.對數函數圖象的兩個基本點(1)當a>1時,對數函數的圖象“上升”;當0<a<1時,對數函數的圖象“下降”.(2)對數函數y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(1,0),且過點(a,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),-1)),函數圖象只在第一、四象限.3.換底公式及其推論(1)logab=eq\f(logcb,logca)(a,c均大于0且不等于1,b>0);(2)logab·logba=1,即logab=eq\f(1,logba)(a,b均大于0且不等于1);(3)logambn=eq\f(n,m)logab(a>0且a≠1,b>0,m≠0,n∈R);(4)logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).1.函數y=eq\r(x)ln(1-x)的定義域為()A.(0,1) B.[0,1)C.(0,1] D.[0,1]B[解析]因為y=eq\r(x)ln(1-x),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,,1-x>0,))解得0≤x<1.2.eq\a\vs4\al(教材習題改編)(log29)·(log34)=()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.2 D.4D[解析]原式=eq\f(ln9,ln2)·eq\f(ln4,ln3)=4.3.lgeq\f(5,2)+2lg2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-1)=________.[解析]lgeq\f(5,2)+2lg2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-1)=lg5-lg2+2lg2-2=(lg5+lg2)-2=1-2=-1.[答案]-14.eq\a\vs4\al(教材習題改編)函數y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過點________.[解析]當4-x=1即x=3時,y=loga1+1=1.所以函數的圖象恒過點(3,1).[答案](3,1)5.eq\a\vs4\al(教材習題改編)若logaeq\f(3,4)<1(a>0,且a≠1),則實數a的取值范圍是________.[解析]當0<a<1時,logaeq\f(3,4)<logaa=1,所以0<a<eq\f(3,4);當a>1時,logaeq\f(3,4)<logaa=1,所以a>1.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,4)))∪(1,+∞)對數式的化簡與求值[學生用書P35][典例引領]計算:(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;(2)(log32+log92)·(log43+log83).【解】(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5=(1+1)lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.(2)原式=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)+\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)+\f(lg3,lg8)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)+\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)+\f(lg3,3lg2)))=eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)=eq\f(5,4).eq\a\vs4\al()對數運算的一般思路(1)首先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后正用對數的運算性質化簡合并.(2)將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算性質,轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算.[注意]在運算中要注意對數化同底和指數與對數的互化.[通關練習]1.設2a=5b=m,且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2,則m=________.[解析]因為2a=5b=m>0,所以a=log2m,b=log5m,所以eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1,log2m)+eq\f(1,log5m)=logm2+logm5=logm10=2.所以m2=10,所以m=eq\r(10).[答案]eq\r(10)2.已知loga2=m,loga3=n,則a2m+n的值為________.[解析]因為loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=22×3=12.[答案]12對數函數的圖象及應用[學生用書P35][典例引領](1)函數f(x)=lgeq\f(1,|x+1|)的大致圖象為()(2)若不等式(x-1)2<logax在x∈(1,2)內恒成立,則實數a的取值范圍為________.【解】(1)f(x)=lgeq\f(1,|x+1|)=-lg|x+1|的圖象可由偶函數y=-lg|x|的圖象左移1個單位得到.由y=-lg|x|的圖象可知選D.(2)設f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)=logax圖象的下方即可.當0<a<1時,顯然不成立;當a>1時,如圖所示,要使x∈(1,2)時f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的圖象下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,所以1<a≤2,即實數a的取值范圍是(1,2].【答案】(1)D(2)(1,2]eq\a\vs4\al()利用對數函數的圖象可求解的兩類熱點問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數,在求解其單調性(單調區間)、值域(最值)、零點時,常利用數形結合思想求解.(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題,利用數形結合法求解.[通關練習]1.(2017·鄭州模擬)已知lga+lgb=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),則函數f(x)=ax與g(x)=-logbx的圖象可能是()B[解析]因為lga+lgb=0,所以lgab=0,所以ab=1,即b=eq\f(1,a),故g(x)=-logbx=-logeq\s\do9(\f(1,a))x=logax,則f(x)與g(x)互為反函數,其圖象關于直線y=x對稱,結合圖象知B正確.故選B.2.已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,2x,x≤0,))且關于x的方程f(x)-a=0有兩個實根,則a的取值范圍為________.[解析]當x≤0時,0<2x≤1,由圖象可知方程f(x)-a=0有兩個實根,即y=f(x)與y=a的圖象有兩個交點,所以由圖象可知0<a≤1.即實數a的取值范圍為(0,1].[答案](0,1]對數函數的性質及應用(高頻考點)[學生用書P36]對數函數的性質是每年高考的必考內容之一,多以選擇題或填空題的形式考查,難度低、中、高檔都有.高考對對數函數性質的考查主要有以下四個命題角度:(1)求對數函數的定義域;(2)探究對數函數的性質;(3)比較對數值的大小;(4)解簡單的對數不等式或方程.[典例引領](1)(2016·高考全國卷乙)若a>b>0,0<c<1,則()A.logac<logbc B.logca<logcbC.ac<bc D.ca>cb(2)已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,則實數x的取值范圍是________.【解析】(1)法一:(通性通法)因為0<c<1,所以y=logcx在(0,+∞)單調遞減,又0<b<a,所以logca<logcb,故選B.法二:(光速解法)取a=4,b=2,c=eq\f(1,2),則log4eq\f(1,2)=-eq\f(1,2)>log2eq\f(1,2),排除A;4eq\s\up6(\f(1,2))=2>2eq\s\up6(\f(1,2)),排除C;eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2),排除D;故選B.(2)原不等式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1,2x2+1>3x>1))①或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>1,2x2+1<3x<1))②,解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2),不等式組②無解,所以實數x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,2))).【答案】(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,2)))eq\a\vs4\al()利用對數函數的性質,求與對數函數有關的函數的值域和單調性問題時,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內討論;二是底數與1的大小關系;三是函數的構成形式,即它是由哪些基本初等函數通過初等運算構成或復合而成的.[題點通關]角度一求對數函數的定義域1.函數y=eq\r(log\s\do9(\f(2,3))(2x-1))的定義域是()A.[1,2] B.[1,2)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))D[解析]由logeq\s\do9(\f(2,3))(2x-1)≥0?0<2x-1≤1?eq\f(1,2)<x≤1.角度二探究對數函數的性質2.函數f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上單調遞增,則a的取值范圍是()A.(1,+∞) B.(0,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))) D.(3,+∞)D[解析]由于a>0,且a≠1,所以u=ax-3為增函數,所以若函數f(x)為增函數,則f(x)=logau必為增函數,所以a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒為正,所以a-3>0,即a>3.角度三比較對數值的大小3.(2017·石家莊模擬)已知a=log23+log2eq\r(3),b=log29-log2eq\r(3),c=log32,則a,b,c的大小關系是()A.a=b<c B.a=b>cC.a<b<c D.a>b>cB[解析]因為a=log23+log2eq\r(3)=log23eq\r(3)=eq\f(3,2)log23>1,b=log29-log2eq\r(3)=log23eq\r(3)=a,c=log32<log33=1,所以a=b>c.角度四解簡單的對數不等式或方程4.已知f(x)是偶函數,且在[0,+∞)上是減函數,若f(lgx)>f(2),則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100),1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,100)))∪(1,+∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100),100)) D.(0,1)∪(100,+∞)C[解析]法一:不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx≥0,lgx<2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lgx<0,-lgx<2)),解得1≤x<100或eq\f(1,100)<x<1,所以x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100),100)).法二:由偶函數的定義可知,f(x)=f(-x)=f(|x|),故不等式f(lgx)>f(2)可化為|lgx|<2,即-2<lgx<2,解得eq\f(1,100)<x<100,故選C.,[學生用書P37])——忽視函數的定義域致誤(2017·黃岡模擬)若函數f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))(-x2+4x+5)在區間(3m-2,m+2)內單調遞增,則實數m的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),3)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3),2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),2)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞))【解析】先保證對數有意義,即-x2+4x+5>0,解得-1<x<5.又可得二次函數y=-x2+4x+5的對稱軸為x=-eq\f(4,2×(-1))=2,由復合函數單調性可得函數f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))(-x2+4x+5)的單調遞增區間為(2,5),要使函數f(x)=logeq\s\do9(\f(1,2))(-x2+4x+5)在區間(3m-2,m+2)內單調遞增,只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m-2≥2,,m+2≤5,,3m-2<m+2,))解得eq\f(4,3)≤m<2.故選C.【答案】C本題易忽視函數f(x)=logeq\f(1,2)(-x2+4x+5)的定義域,而誤認為函數y=-x2+4x+5的對稱軸x=2在區間(3m-2,m+2)的左側即可,從而導致解答錯誤.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區間(-∞,1]上遞減,求a的取值范圍.[解]令函數g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,對稱軸為x=a,要使函數在(-∞,1]上遞減,則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(1)>0,,a≥1,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2-a>0,,a≥1,))解得1≤a<2,即a∈[1,2).,[學生用書P307(獨立成冊)])1.函數f(x)=eq\f(ln(x+3),\r(1-2x))的定義域是()A.(-3,0) B.(-3,0]C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(-3,0)A[解析]因為f(x)=eq\f(ln(x+3),\r(1-2x)),所以要使函數f(x)有意義,需使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+3>0,,1-2x>0,))即-3<x<0.2.若函數y=f(x)是函數y=ax(a>0且a≠1)的反函數,且f(2)=1,則f(x)=()A.log2x B.eq\f(1,2x)C.logeq\s\do9(\f(1,2))x D.2x-2A[解析]由題意知f(x)=logax,因為f(2)=1,所以loga2=1.所以a=2.所以f(x)=log2x.3.已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,3-x+1,x≤0,))則f(f(1))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A.5 B.3C.-1 D.eq\f(7,2)A[解析]由題意可知f(1)=log21=0,f(f(1))=f(0)=30+1=2,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))=3-log3eq\f(1,2)+1=3log32+1=2+1=3,所以f(f(1))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))=5.4.已知函數f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關系是()A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1A[解析]由函數圖象可知,f(x)為單調遞增函數,故a>1.函數圖象與y軸的交點坐標為(0,logab),由函數圖象可知-1<logab<0,解得eq\f(1,a)<b<1.綜上有0<eq\f(1,a)<b<1.5.(2017·西安模擬)已知函數f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,log\s\do9(\f(1,2))(-x),x<0,))若af(-a)>0,則實數a的取值范圍是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)A[解析]若a>0,則af(-a)=alogeq\s\do9(\f(1,2))a>0?logeq\s\do9(\f(1,2))a>0?0<a<1;若a<0,則af(-a)=alog2(-a)>0?log2(-a)<0?-a<1?-1<a<0.綜上,-1<a<1且a≠0,故選A.6.設函數f(x)=loga|x|在(-∞,0)上單調遞增,則f(a+1)與f(2)的大小關系是()A.f(a+1)>f(2) B.f(a+1)<f(2)C.f(a+1)=f(2) D.不能確定A[解析]由已知得0<a<1,所以1<a+1<2,又易知函數f(x)為偶函數,故可以判斷f(x)在(0,+∞)上單調遞減,所以f(a+1)>f(2).7.lgeq\r(2)+lgeq\r(5)+20+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)=________.[解析]lgeq\r(2)+lgeq\r(5)+20+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\s\up6(\f(1,3))))eq\s\up12(2)×eq\r(3,5)=lgeq\r(10)+1+5eq\s\up6(\f(2,3))×5eq\s\up6(\f(1,3))=eq\f(3,2)+5=eq\f(13,2).[答案]eq\f(13,2)8.函數f(x)=log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為________.[解析]依題意得f(x)=eq\f(1,2)log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x+\f(1,2)))eq\s\up12(2)-eq\f(1,4)≥-eq\f(1,4),當且僅當log2x=-eq\f(1,2),即x=eq\f(\r(2),2)時等號成立,所以函數f(x)的最小值為-eq\f(1,4).[答案]-eq\f(1,4)9.設函數f(x)=|logax|(0<a<1)的定義域為[m,n](m<n),值域為[0,1],若n-m的最小值為eq\f(1,3),則實數a的值為________.[解析]作出y=|logax|(0<a<1)的大致圖象如圖,令|logax|=1.得x=a或x=eq\f(1,a),又1-a-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)-1))=1-a-eq\f(1-a,a)=eq\f((1-a)(a-1),a)<0,故1-a<eq\f(1,a)-1,所以n-m的最小值為1-a=eq\f(1,3),a=eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)10.關于函數f(x)=lgeq\f(x2+1,|x|)(x≠0),有下列命題:①其圖象關于y軸對稱;②當x>0時,f(x)是增函數;當x<0時,f(x)是減函數;③f(x)的最小值是lg2;④f(x)在區間(-1,0)、(2,+∞)上是增函數;⑤f(x)無最大值,也無最小值.其中所有正確命題的序號是________.[解析]根據已知條件可知f(x)=lgeq\f(x2+1,|x|)(x≠0)為偶函數,顯然利用偶函數的性質可知命題①正確;對真數部分分析可知最小值為2,因此命題③正確;利用復合函數的單調性判定法則可知f(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,f(x)為偶函數,故f(x)在(-1,0)上遞增,在(-∞,-1)上遞減,故命題④正確,命題②錯誤;函數f(x)有最小值,因此命題⑤錯誤.[答案]①③④11.已知函數f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(3)當a>1時,求使f(x)>0的x的解集.[解](1)要使函數f(x)有意義,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,1-x>0,))解得-1<x<1.故所求函數f(x)的定義域為(-1,1).(2)由(1)知f(x)的定義域為(-1,1),且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)為奇函數.(3)因為當a>1時,f(x)在定義域(-1,1)內是增函數,所以f(x)>0?eq\f(x+1,1-x)>1,解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是(0,1).12.已知函數f(x)=loga(2x-a),在區間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(2,3)))上恒有f(x)>0,則實數a的取值范圍是()A.eq\b\

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