幾何證明選講、參數方程與極坐標系——：學習要求◆掌握與圓有關的切線、割線、面積、四點共圓及相似三角形的問題．◆能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化.◆能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.◆了解參數方程，了解參數的意義.◆分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當的參數寫出它們的參數方程.真題體驗1．如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結論：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結論的序號是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：①項，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確；②項，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正確；③項，延長AD于M，連結FD，∵AD與圓O切于點D，則∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯誤，故選A.2．極坐標方程ρ＝cosθ和參數方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋t))(t為參數)所表示的圖形分別是()．A．直線、直線B．直線、圓C．圓、圓D．圓、直線解析：由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(1,4).它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))為圓心，以eq\f(1,2)為半徑的圓．由x＝－1－t得t＝－1－x，代入y＝2＋t中，得y＝1－x表示直線．答案：D3．在極坐標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心極坐標是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))C．(1,0)D．(1，π)解析：把圓的極坐標方程化為直角坐標方程為x2＋y2＋2y＝0，得圓心的直角坐標為(0，－1)，故選B.答案：B4．在極坐標系中，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ圓心的距離為()．A．2B.eq\r(4＋\f(π2,9))C.eq\r(1＋\f(π2,9))D.eq\r(3)解析點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為直角坐標為(1，eq\r(3))，方程ρ＝2cosθ化為普通方程為x2＋y2－2x＝0，故圓心為(1,0)，則點(1，eq\r(3))到圓心(1,0)的距離為eq\r(3)，故選D.答案：D5．已知圓C的圓心是直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋t))(t為參數)與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________．解析：直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋t))(t為參數)與x軸的交點為(－1,0)，故圓C的圓心為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，∴圓C的半徑為r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝26．在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極坐標為________．解析：曲線ρ＝2sinθ化為直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0.由ρcosθ＝－1可化為x＝－1.將x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交點的直角坐標為(－1,1)，化為極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))相似三角形的判定及有關性質(1)平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．(2)相似三角形的判定判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似．判定定理2：兩角對應成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似．判定定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似．(3)相似三角形的性質①相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．②相似三角形周長的比等于相似比．③相似三角形面積的比等于相似比的平方．(4)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項．幾何證明的難度應嚴格控制，在解決同一個問題的過程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不超過兩次，添置的輔助線一般不超過三條．直線與圓的位置關系(1)圓內接四邊形的性質與判定定理性質：①圓的內接四邊形對角互補．②圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角．判定：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓．(2)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．(3)相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．(4)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點的割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．(5)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．直角坐標與極坐標的互化如圖，把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))在曲線方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性．直線、圓的極坐標方程(1)直線的極坐標方程若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．幾個特殊位置直線的極坐標方程①直線過極點：θ＝α；②直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a；③直線過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸：ρsinθ＝b.(2)幾個特殊位置圓的極坐標方程①圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；②圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ；③圓心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r：ρ＝2rsinθ.參數方程(1)直線的參數方程過定點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t為參數)．(2)圓、橢圓的參數方程①圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ為參數，0≤θ≤2π)．②橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數)．高考對該部分內容的考查以極坐標參數方程化為普通方程為主，注重基本運算，題型為填空題，難度不大．【例題1】?在極坐標系中，已知圓ρ＝2cosθ與直線3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求實數a的值．解：將極坐標方程化為直角坐標方程，得圓的方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直線的方程為3x＋4y＋a＝0.由題設知，圓心(1,0)到直線的距離為1，即有eq\f(|3×1＋4×0＋a|,\r(32＋42))＝1，解得a＝2或a＝－8.故a的值為－8或2.在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標不唯一．極坐標和直角坐標互化關系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0))是解決該類問題的關鍵．高考對該部分內容的考查多以填空題、解答題為主，考查簡單的極坐標系中直線和圓的方程，或者求解極坐標中曲線的某個特征值．【例題2】?在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))(α為參數)，M是C1上的動點，點P滿足eq\o(OP,\s\up10(→))＝2eq\o(OM,\s\up10(→))，點P的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝eq\f(π,3)與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.解：(1)設P(x，y)，則由條件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，由于M點在C1上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))從而C2的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα))(α為參數)．(2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sinθ.射線θ＝eq\f(π,3)與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sineq\f(π,3)，射線θ＝eq\f(π,3)與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sineq\f(π,3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq\r(3).解決這類問題一般有兩種思路：一是將極坐標方程化為直角坐標方程，求出交點的直角坐標，再將其化為極坐標；二是將曲線的極坐標方程聯立，根據限制條件求出極坐標．要注意題目所給的限制條件及隱含條件．參數方程的應用是高考的熱點．主要考查直線和圓的參數方程、判斷直線和圓的位置關系，求解有關最值問題等．題型為填空題、解答題，難度中等．【例題3】?已知直線l的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數)，曲線C的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數)．(1)將曲線C的參數方程化為普通方程；(2)若直線l與曲線C交于A、B兩點，求線段AB的長．解：(1)平方相加得：x2＋y2＝16，故曲線C的