2024屆福建省普通高中數學高三上期末達標檢測試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，AA3C內接于圓O,A3是圓O的直徑，DC=BE,DC//BE、DC1CB,DC1CA,AB=2EB=2,則

2.設集合A={劃-2〈工，2,xwZ},B={x|log2X<l},則()

A.(0,2)B.(-2,2]C.{1)D.{-1,0,1,2)

3.在邊長為26的菱形A8CD中，Z&4D=60°,沿對角線80折成二面角A—BQ—C為120。的四面體A8CO（如

圖），則比四面體的外接球表面積為（）

A.28乃B.7冗

C.14）D.217r

4.若雙曲線。：工一工=1的焦距為4石，則C的一個焦點到一條漸近線的距離為（）

4nr

A.2B.4C.V19D.2M

5.用1,2,3,4,5組成不含重復數字的五位數，要求數字4不出現在首位和末位，數字1,3,5中有且僅有兩個數

字相鄰，則滿足條件的不同五位數的個數是（）

A.48B.60C.72D.120

6.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）

8

D.

3

2/1）

7.已知橢圓C:工+），2=1內有一條以點P1,鼻為中點的弦則直線A8的方程為（

3kJ

A.3x-3y-2=0B.3x-3y+2=0

C.3x+3y-4=0D.3x+3>+4=0

8.某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯網行業

崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980.1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

A.互聯網行業從業人員中90后占一半以上

B.互聯網行業中從事技術崗位的人數超過總人數的20%

C.互聯網行業中從事運營崗位的人數90后比80前多

D.互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多

9.造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國

的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發明對中國古代的政治，經濟，文化的發展產生了巨大的推動作用.某小學三年級

共有學生5。0名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發明，能說出兩種發明的有45人，能說出3種及其以上發

明的有32人，據此估計該校三級的50。名學生中，對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有()

A.69人B.84人C.108人D.115人

10.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去AB.C三個不同社區進行幫扶活動，每人只能去一個社區，每個社

區至少一人.其中甲必須去A社區，乙不去8社區，則不同的安排方法種數為()

A.8B.7C.6D.5

11.如圖是二次函數/。)=/一區+"的部分圖象，則函數g(x)=〃lnx+/'(x)的零點所在的區間是()

A.—B.C.(1,2)D.(2,3)

12.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為“，大圓柱底面半徑為4，如圖1放置

容器時，液面以上空余部分的高為%如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為峭則()

圖I制2

A.七B.殳C.UiD.

r'⑺⑴以

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設/㈤,g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，且/(幻+g(x)=(x+l)2-2lH!l/(1)-^(1)=

14.設復數z滿足i(z+l)=-3+2i,則==.

15.在平面直角坐標系入Qy中，已知點4-3,0),B(-l-2),若圓(彳-2)2+)，2=/。＞0)上有且僅有一對點加,汽，

使得的面積是AM43的面積的2倍，則，■的值為.

16.己知函數/。)=〃?(2工+1)3-2產，若曲線y=/(x)在(0J(0))處的切線與直線4x+y-2=0平行，則

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1

x=-+cosa

17.（12分）在平面直角坐標系xQy中，曲線C的參數方程為V(a為參數).以原點O為極點，x軸

y=——+sina

2

的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.

（1）設直線/的極坐標方程為夕二二，若直線，與曲線C交于兩點A.B,求4〃的長;

12

7T

（2）設M、N是曲線C上的兩點，"MON=-,求AQMN面積的最大值.

2

18.（12分）設拋物線。:），2=2〃X（〃>0）的焦點為/，準線為/,A3為過焦點”且垂直于工軸的拋物線。的弦,

已知以在B為直徑的圓經過點（一1,0）.

（1）求P的值及該圓的方程;

（2）設,M為/上任意一點，過點"作C的切線，切點為N,證明：MF上FN.

19.（12分）選修4?5：不等式選講

已知函數/3=上一訓一k+2ml的最大值為3,其中〃?>0.

（1）求加的值;

222

(2)若a,beR,ab>Ota+b=m?求證:

ba

20.（12分）如圖1,在等腰RfAABC中，ZC=90°,D,￡分別為AC,AB的中點，產為CD的中點，G在線

段3c上，且區G=3CG。將八儂沿。E折起，使點A到A的位置（如圖2所示），且A,E_LC。。

（2）求平面AFG與平面A所成銳二面角的余弦值

x=1+2cosa

21.（12分）在直角坐標系中，圓。的參數方程為：廠為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正

y=V3+2sina

半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.

（1）求圓。的極坐標方程；

X=tcos（pL

（2）若直線/：,。為參數）被圓。截得的弦長為2百，求直線/的傾斜角.

y=tsin。

2

rv2

22.（10分）如圖，橢圓二十七=1①〉方>0）的長軸長為4,點4、B、C為橢圓上的三個點，4為橢圓的右端點,

CTb2

（1）求橢圓的標準方程;

（2）設P、Q是橢圓上位于直線AC同側的兩個動點（異于A、C）,且滿足NP8C=NQ84,試討論直線8P與

直線斜率之間的關系，并求證直線尸Q的斜率為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

根據已知證明BE1平面ABC,只要設AC=x,則8C=J二3（0vx<2）,從而可得體積

%..=卜々4、=：次（4刁,利用基本不等式可得最大值?

【題目詳解】

因為DC=BE,DC//BE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因為DC±CB,DC±GA,CBnCA=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形ME中，AB=2EB=2,

設AC=x,則8C=J4-X2（OVXV2〉

所以Sgsc=J4—F,所

?,?（2A2、2

以％.八成=二式14一/=:N（4一工2）又因為丫2（4一。2）工廠十：一廠,當且僅當

66VI2,

（r24_2V

X2（4-?）＜"7,即1=應時等號成立，

I2,

所以（力』、!

故選：B.

【題目點撥】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設出底面三角形一邊長為X,

用建立體積V與邊長x的函數關系，由基本不等式得最值，或由函數的性質得最值.

2、C

【解題分析】

解對數不等式求得集合8,由此求得兩個集合的交集.

【題目詳解】

Slog2A：＜l=log22,解得0cx＜2,故B=（O,2）.依題意A={-L0,L2},所以Ap|B={l}.

故選：C

【題目點撥】

本小題主要考查對數不等式的解法，考查集合交集的概念和運算，屬于基礎題.

3、A

【解題分析】

畫圖取3。的中點M,法一：四邊形0aMO?的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據

OO\=6,即可求半徑從而求外接球表面積；法三；作出AC瓦）的外接圓直徑CE,求出AC和sinNAEC,即可

求半徑從而求外接球表面積;

【題目詳解】

如圖，取8。的中點M,AC3O和AMD的外接圓半徑為，］=為=2,ACBO和AMZ）的外心。，。2到弦3。的

距離（弦心距）為4=4=1?

法一：四邊形OOM。2的外接圓直徑OM=2,R=B

S=284；

法二：0?=G，R=y/1fS=28%；

法三：作出ACBD的外接圓直徑CE,則AW=C7W=3,CE=4,ME=1，

LL7+16-271

AE=小，AC=3g,cosZAEC=r-=~—f=,

2-V7-42j7

AC3G

s…C浮2R=25/7廣

sinZAEC3。,R=S,S=28萬.

2a

2>/7

故選：A

【題目點撥】

此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.

4、B

【解題分析】

根據焦距即可求得參數〃?，再根據點到直線的距離公式即可求得結果.

【題目詳解】

22

因為雙曲線C:三-二二1的焦距為4石，

4m~

\2

故可得4+/〃2=（2逐），解得〃?2=16,不妨取〃7=4；

又焦點產（26,0）,其中一條漸近線為y=-2x,

由點到直線的距離公式即可求的d=世1=4.

75

故選：B.

【題目點撥】

本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質，屬綜合基礎題.

5、A

【解題分析】

對數字2分類討論，結合數字1,3,5中有且僅有兩個數字相鄰，利用分類計數原理，即可得到結論

【題目詳解】

數字2出現在第2位時,數字1,3,5中相鄰的數字出現在第34位或者4,5位,

共有C；用&=12個

數字2出現在第4位時,同理也有12個

數字2出現在第3位時,數字1,3,5中相鄰的數字出現在第1,2位或者4,5位,

共有用A；=24個

故滿足條件的不同的五位數的個數是48個

故選A

【題目點撥】

本題主要考查了排列，組合及簡單計數問題，解題的關鍵是對數字2分類討論，屬于基礎題。

6、B

【解題分析】

由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖:

112

消去的三棱錐的體積為；x二x2xlx2=；,

323

???幾何體的體積V=44=?,故選B.

33

點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及相關幾何量的數據是解答此類問題的關

鍵：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何

體的體積.

7、C

【解題分析】

r2222

設4(X，)，J,呂(￡,%)，則工+)：=1,三+為2=1,相減得到+%=0,解得答案.

3333

【題目詳解】

22

設8(%,%)，設直線斜率為2,則工+)，：=],玉_+力2=1，

33

相減得到：(*—-)(.+/)+(y+)，j(y_7)=0,AB的中點為

3I

294

即一十一2=0,故z=—1,直線A8的方程為：)，=一工+一?

333

故選：C.

【題目點撥】

本題考杳了橢圓內點差法求直線方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.

8、D

【解題分析】

根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假.

【題目詳解】

在A中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖得到互聯網行業從業人員中90后占56%,所以是正確的；

在B中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖得到：

56%X39.6%=22.176%>20%,互聯網行業從業技術崗位的人數超過總人數的20%,所以是正確的；

在C中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分別條形圖得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互聯網行業從事運營崗位的人數90后比80后多，所以是正確的；

在D中，互聯網行業中從事技術崗位的人數90后所占比例為56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判斷互聯網

行業中從事技術崗位的人數90后比80后多.

故選：D.

【題目點撥】

本題主要考查了命題的真假判定，以及統計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算

能力，屬于基礎題.

9、D

【解題分析】

先求得100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數，由此利用比例，求得500名學生中對四大發明只能說出

一種或一種也說不出的人數.

【題目詳解】

在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有100-45-32=23人，設對四大發明只能說出一種或一種也說

不出的有x人，則絲=%，解得x=115人.

23x

故選：D

【題目點撥】

本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.

10>B

【解題分析】

根據題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（T）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）；共7種，選B.

11、B

【解題分析】

根據二次函數圖象的對稱軸得出匕范圍，）'軸截距，求出4的范圍，判斷g（X）在區間端點函數值正負，即可求出結論.

【題目詳解】

2

'：f（x）=x-bx+af結合函數的圖象可知，

二次函數的對稱軸為x=

-<x=-<1,Vf\x）=2x-b,

22

所以g（x）=。Inx+f\x）=aInx+2/—〃在（0,+8）上單調遞增.

又因為g=671n^+l-/?<0,^（1）=6/ln1+2-/?>0,

所以函數g*）的零點所在的區間是［』.

IZ/

故選:B.

【題目點撥】

本題考杳二次函數的圖象及函數的零點，屬于基礎題.

12、B

【解題分析】

根據空余部分體積相等列出等式即可求解.

【題目詳解】

在圖1中，液面以上空余部分的體積為町24；在圖2中，液面以上空余部分的體積為江片區.因為孫2九二萬弓2也，所

以4=烏.

故選：B

【題目點撥】

本題考查圓柱的體積，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解題分析】

令x=—1,結合函數的奇偶性，求得-/(D+g(l)=-l,即可求解/⑴-g(D的值，得到答案.

【題目詳解】

由題意，函數/*),g(x)分別是R上的奇函數和偶函數，且/(x)+g(x)=(x+1)2-2加，

令x=-l,可得f(_l)+g(_l)=_/(I)+g(l)=(_]+l)2_20=_l,

所以⑴=1.

故答案為：1.

【題目點撥】

本題主要考查了函數奇偶性的應用，其中解答中熟記函數的奇偶性，合理賦值求解是解答的關鍵，著重考查了推理與

運算能力，屬于基礎題.

14、1-3/.

【解題分析】

利用復數的運算法則首先可得出z,再根據共朝復數的概念可得結果.

【題目詳解】

???復數Z滿足i(z+l)=-3+2i,

-3+2z

z4-1=------=2+3/,z=1+3z>

i

故而可得z=l-3i，故答案為l-3i.

【題目點撥】

本題考查了復數的運算法則，共枕復數的概念，屬于基礎題.

15、述

6

【解題分析】

寫出A3所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結合題意可得關于「的等式，求解得答案.

【題目詳解】

解：直線A8的方程為，三二/，即x+)，+3=0.

圓(工一2『=r2(r>0)的圓心(2,0)

到直線/W的距離dJ”設3]=平,

V22

由AM48的面積是AM43的面積的2倍的點M,N有且僅有一對，

可得點M到AB的距離是點N到直線A8的距離的2倍，

可得/WN過圓的圓心，如圖：

由乎+「=2(乎八解得「平.

故答案為：巫.

6

【題目點撥】

本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題.

]_

16、

3

【解題分析】

先求導f(x)=6w(2x+1)2-2e\f\0)=6m-2,再根據導數的幾何意義，有/'(())=-4求解.

【題目詳解】

因為函數/(幻=m(2x+1)3-2ex,

2v

所以f\x)=6/n(2x+1)-2e,/'(0)=6m-2,

所以6/〃-2=-4,

解得m=——.

故答案為：-大

【題目點撥】

本題考查導數的幾何意義，還考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)叵；(2)1.

【解題分析】

(1)利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；

(2)+由(1)通過計算得到5=；月0風5=4426+弓］,即最大值為1.

\乙)22\3/

【題目詳解】

(D將曲線C的參數方程化為普通方程為(x-g)+>'-曰)=1，

即x2+y2-X-8y=0；

再將/+)尸=22,x=pcos<9,y=/9sin。代入上式，

得/??一pcos0-\f3psin夕=0,

故曲線C的極坐標方程為夕=2sin(，+Bl，

k6J

顯然直線/與曲線。相交的兩點中，

必有一個為原點O,不妨設。與A重合，

即\AB\=\OB\=或」=2sin傳+白)=血.

12\o12y

(2)不妨設"(自⑼，巾2，。+5)，

則0MN面積為

1.兀1c.

5o=—sin—=—?2sin-2sin

21222

=2sin(^+―Icosf^+―j=sin2/9-t--

3J

當sin20+g=1,即取夕=看時，5nm=1.

I3/"

【題目點撥】

本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.

18、（1）〃=2,圓的方程為：（工一1）2+），2=4.（2）答案見解析

【解題分析】

/\

（D根據題意，可知A點的坐標為g土P,即可求出〃的值，即可求出該圓的方程;

（2）由題易知，直線M的斜率存在且不為0,設M（1，X）），"N的方程為.y=Mx+I）+），。，與拋物線C聯立方程組,

12（12、一___

根據A=0,求得%+%化簡解得），=1進而求得N點的坐標為77,-7,分別求出FM，FN，利用向量的

I人KJ

數量積為0,即可證出"尸_L￡N.

【題目詳解】

解：（1）易知A點的坐標為士

所以〃=]—（—1）,解得〃=2.

又圓的圓心為*1,0）,

所以圓的方程為（工一1）2+），2=4,

（2）證明易知，直線M的斜率存在且不為0,

設的方程為），=&@+1）+%，

代入。的方程，得妒_”+4（%+〃）=0.

令4=16-16&（%+&）=0,得%+%=，

k

所以打2-4），+4（為+/1）=^~產+4=0,解得了=，.

kk

21（12

將y代入C的方程，得工二尸，即N點的坐標為77,

kkI火7火

所以FA/=（2,%）,五N=（‘—1]）

【題目點撥】

本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關系，利用聯立方程組、求交點坐標以及向量的數

量積，考查解題能力和計算能力.

19、(1)m=1(2)見解析

【解題分析】

(1)分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；(2)將所證不等式轉化為工-射松1,再構造

at)

函數利用導數判斷單調性求出最小值可證.

【題目詳解】

(1)???優>0,

3m,x>ni

；?/(x)=k一-k+2/w|=-2x-m,-2m<x<m.

3m,x<-2m

，當時，/(x)取得最大值3m.

??/w—1?

(2)由(I),得/+b2=1，

a3b3a4+h4(a2+b2^-la2Ir]

-1-=---=---------=--2ab?

baababab

a2+b2=\>lab?當且僅當。二人時等號成立,

:.0<cih?—.

2

令〃a)=；-2f,()<z<1.

則〃⑺在［o,；

上單調遞減????/?Z

?,?當0<。/?〈一時，——2ab>\.

2ab

【題目點撥】

本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中

解答中根據絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉化恒成立問題是解答本題的關鍵，著重考查分析問題和解答

問題的能力，以及轉化思想的應用.

20、(1)證明見解析

⑵半

【解題分析】

(1)要證明線面平行，需證明線線平行，取8C的中點連接DW，根據條件證明OM//3EOM〃/G,即

BE//FG；

(2)以「為原點，FC所在直線為上軸，過“作平行于。的直線為y軸，尸4所在直線為z軸，建立空間直角坐標

系尸一制，Z,求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【題目詳解】

(1)證明：取8C的中點M,連接DW.

???8G=3CG,為CM的中點.

又F為CD的中技，；.FG//DM.

依題意可知。則四邊形。MBE為平行四邊形，

ABE//DM,仄而BE//FG.

又尸Gu平面A/G,平面AJG，

，3石//平面4尸6.

(2)vDELAD^DEIDCt且

.?.￡＞七_1平面4。。，4尸匚平面人。€?,

DE1A.Ff

vA.F1DC,且DEcDC=D,

A/J■平面8CDE,

???以/為原點，P所在直線為x軸，過尸作平行于C8的直線為）,軸，尸4所在直線為z軸，建立空間直角坐標系

F-xyzt不妨設CZ)=2,

則產(0,0,0),4(0,0,6),5(1,4,0),E(-l,2,0),G(1J,O),

『=(0,(),8)，FG=(1,1,0),AE=(T，2,—G),EB=(2,2,0).

設平面A/G的法向量為4=（x，y,zj,

〃?%=0

則

n-FG=0

令』=1,得〃=(1,-1,0).

設平面4BE的法向量為m=（9,當，z?），

則卜伏=。,即卜+2%一任=0,

ym-EB=0[2々+2y2=0

令々=1,得加=（1,-1,_右）.

-1+1師

從而cos<m,n>=—j=——產=----,

V2xV55

故平面AbG與平面48E所成銳二面角的余弦值為半.

【題目點撥】

本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

21、(1)x?=4cos^-yj；(2)弓或g

【解題分析】

(