2.3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義．(2)了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．(3)掌握向量共線定理及其證明過(guò)程，會(huì)根據(jù)向量共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線．1.理解數(shù)乘向量的概念及其幾何意義；2.掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.3.掌握共線向量基本定理，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用；4.掌握直線的向量表示.知識(shí)點(diǎn)01數(shù)乘運(yùn)算的定義1．定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，滿足以下條件：(1)當(dāng)λ>0時(shí)，向量λa與向量a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，向量λa與向量a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，0a＝0．(2)|λa|＝|λ||a|，這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘．2．λa幾何意義：當(dāng)λ>0時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的|λ|倍．當(dāng)λ<0時(shí)，表示向量a的有向線段在反方向伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的|λ|倍．3．非零向量a的單位向量：±aa【即學(xué)即練1】下列算式中，正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③.A． B． C． D．【即學(xué)即練2】已知，是實(shí)數(shù)，，是向量，則下列命題中正確的為（）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④【即學(xué)即練3】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實(shí)數(shù)），則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ＝μ，則與共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2 D．3【即學(xué)即練4】下列說(shuō)法中，正確的是（）A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λC．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||知識(shí)點(diǎn)02數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.注：(1)對(duì)于非零向量a，當(dāng)λ＝1a時(shí)，λa表示a(2)向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．主要是“合并同類(lèi)項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類(lèi)項(xiàng)”及“公因式”指的是向量，實(shí)數(shù)指的是向量的系數(shù)．【即學(xué)即練5】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【即學(xué)即練6】下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3知識(shí)點(diǎn)03共線(平行)向量基本定理給定一個(gè)非零向量b，則對(duì)于任意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．注：向量共線定理的理解注意點(diǎn)及主要應(yīng)用(1)定理中b≠0不能漏掉.若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若b＝0，a≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個(gè)非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0.【即學(xué)即練7】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【即學(xué)即練8】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．知識(shí)點(diǎn)04直線的向量表示通常可以用AP＝tAB表示過(guò)點(diǎn)A，B的直線l，其中AB稱為直線l的方向向量．題型一：向量數(shù)乘的定義例1．（2024高一上·遼寧錦州·期末）“實(shí)數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件變式1．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．變式2．（2024高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反變式3．（2024高三·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知，與的方向相反，且，則（

）A． B． C． D．題型二：向量的線性運(yùn)算例2．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)．變式1．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）等于（）A． B． C． D．變式2．（2024高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3變式3．（2024高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，．變式4．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則．變式5．（2024高三上·北京朝陽(yáng)·期中）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．3變式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（

）A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍【方法技巧與總結(jié)】向量線性運(yùn)算的基本方法(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)向量也可以通過(guò)列方程組來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．題型三：用已知向量表示相關(guān)向量例3．（2024高三上·福建龍巖·期中）在中，為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．變式1．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．變式2．（2024高一下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點(diǎn)，若，，試用表示.

變式3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G在AC上，且滿足，若，則.變式4．（2024高三上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，若，則．【方法技巧與總結(jié)】用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．題型四：向量共線的判定例4．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列各小題的向量與是否共線.(1)；(2)；(3).變式1．（2024高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，是兩個(gè)共線的非零向量，且，，則向量與（

）A．共線 B．不共線 C．相等 D．不能確定變式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式3．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為兩個(gè)不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定一般是用其判定定理，即a是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．解題過(guò)程中，需要把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，由此判斷共線．題型五：證明三點(diǎn)共線例5．（2024高一下·四川資陽(yáng)·期中）已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線變式1．（2024高一下·廣東云浮·階段練習(xí)）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D變式2．（2024高三上·陜西銅川·期末）在中，若，則點(diǎn)（

）A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上D．為的外心變式3．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．變式4．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，.

求證：M，N，C三點(diǎn)共線.變式5．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．變式6．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．【方法技巧與總結(jié)】三點(diǎn)共線的證明問(wèn)題及求解思路1．證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問(wèn)題的依據(jù)．2．若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量AB，題型六：由三點(diǎn)共線求參數(shù)的值例6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與不共線，向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或變式1．（2024高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知是兩個(gè)不共線的向量，向量共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2變式2．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．變式3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知向量不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－變式4．（2024高三上·北京順義·期中）在中，，是直線上的一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．變式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【方法技巧與總結(jié)】利用向量共線求參數(shù)，一種類(lèi)型是利用向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出相關(guān)向量，從而求得參數(shù)，另一種類(lèi)型是利用三點(diǎn)共線建立方程求解參數(shù)．一、單選題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（

）A． B．C． D．2．（2024高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）．A． B． C． D．3．（2024高一上·遼寧·期末）已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024高一下·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．（2024高三下·上海閔行·階段練習(xí)）已知,是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2024高三上·浙江紹興·期末）設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）若在三角形中，，，則（

）A． B．C． D．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024高一下·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中正確的有（

）A．對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量，，恒有B．對(duì)于實(shí)數(shù)m，n和向量，恒有C．對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量，，若，則D．對(duì)于實(shí)數(shù)m，n和向量，若，則11．（2024高一上·遼寧丹東·期末）在中，D在邊上，，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．12．（2024高一下·山東泰安·開(kāi)學(xué)考試）下列各組向量中，一定能推出的是（

）A．，B．，C．，D．，三、填空題13．（2024高一下·廣東惠州·開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn)：.14．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個(gè)點(diǎn)是.15．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知、是兩個(gè)不共線的向量，，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù).16．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的.（填：內(nèi)心，外心，垂心，重心）四、解答題17．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個(gè)非零向量和不共線）；(3)，.18．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．19．（2024高一下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量，不共線．(1)如果，，，求證：，，三點(diǎn)共線；(2)欲使和共線，試確定實(shí)數(shù)的值．20．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，若，，過(guò)點(diǎn)的直線交直線分別于兩點(diǎn)，且，探究之間的關(guān)系.

21．（2024高一上·北京延慶·期末）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，且，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為F.(1)用向量與表示和(2)用向量與表示(3)求出的值22．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．2.3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘6種常見(jiàn)考法歸類(lèi)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過(guò)實(shí)例分析，掌握平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義．(2)了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．(3)掌握向量共線定理及其證明過(guò)程，會(huì)根據(jù)向量共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線．1.理解數(shù)乘向量的概念及其幾何意義；2.掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.3.掌握共線向量基本定理，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用；4.掌握直線的向量表示.知識(shí)點(diǎn)01數(shù)乘運(yùn)算的定義1．定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，滿足以下條件：(1)當(dāng)λ>0時(shí)，向量λa與向量a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，向量λa與向量a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，0a＝0．(2)|λa|＝|λ||a|，這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘．2．λa幾何意義：當(dāng)λ>0時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的|λ|倍．當(dāng)λ<0時(shí)，表示向量a的有向線段在反方向伸長(zhǎng)或縮短為原來(lái)的|λ|倍．3．非零向量a的單位向量：±aa【即學(xué)即練1】下列算式中，正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③.A． B． C． D．【解析】對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，，②正確；對(duì)于③，，③錯(cuò)誤.故選：C.【即學(xué)即練2】已知，是實(shí)數(shù)，，是向量，則下列命題中正確的為（）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④【解析】對(duì)于①：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：，故①正確；對(duì)于②：根據(jù)數(shù)乘向量的法則可得：，故②正確；對(duì)于③：由可得，當(dāng)m＝0時(shí)也成立，所以不能推出，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由可得，當(dāng)，命題也成立，所以不能推出m＝n.故④錯(cuò)誤；故選：B【即學(xué)即練3】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②λ＝0（λ為實(shí)數(shù)），則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λ＝μ，則與共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2 D．3【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯(cuò)誤，當(dāng)＝0時(shí)，不論λ為何值，λ＝0.③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λ＝μ＝，此時(shí)，與可以是任意向量.故錯(cuò)誤的命題有3個(gè).故選；D【即學(xué)即練4】下列說(shuō)法中，正確的是（）A．λ與的方向不是相同就是相反 B．若，共線，則＝λC．若||＝2||，則＝±2 D．若＝±2，則||＝2||【解析】A.當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立；B.當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立；C.當(dāng)||＝2||，與2不一定共線；D.因?yàn)椋健?，所以||＝2||，故正確；故選：D知識(shí)點(diǎn)02數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a；(2)第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.注：(1)對(duì)于非零向量a，當(dāng)λ＝1a時(shí)，λa表示a(2)向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．主要是“合并同類(lèi)項(xiàng)”“提取公因式”，但這里的“同類(lèi)項(xiàng)”及“公因式”指的是向量，實(shí)數(shù)指的是向量的系數(shù)．【即學(xué)即練5】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【即學(xué)即練6】下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①，由數(shù)乘運(yùn)算知正確；②，由向量的運(yùn)算律知正確；③，向量的加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果是向量，故錯(cuò)誤.故選：C知識(shí)點(diǎn)03共線(平行)向量基本定理給定一個(gè)非零向量b，則對(duì)于任意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb．注：向量共線定理的理解注意點(diǎn)及主要應(yīng)用(1)定理中b≠0不能漏掉.若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若b＝0，a≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.(2)這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對(duì)實(shí)數(shù)t，s，使ta＋sb＝0，則a與b共線；若兩個(gè)非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0，則必有t＝s＝0.【即學(xué)即練7】已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解析】對(duì)于①，，，故兩向量共線；對(duì)于②，，，故兩向量共線；對(duì)于③，，假設(shè)存在，因?yàn)椋遣还簿€向量，故得到無(wú)解.故選：A.【即學(xué)即練8】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解析】(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，∴，共線，又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.知識(shí)點(diǎn)04直線的向量表示通常可以用AP＝tAB表示過(guò)點(diǎn)A，B的直線l，其中AB稱為直線l的方向向量．題型一：向量數(shù)乘的定義例1．（2024高一上·遼寧錦州·期末）“實(shí)數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“”與“”的互相推出情況判斷出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不一定成立，例如時(shí)可取任意實(shí)數(shù)，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.變式1．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運(yùn)算一一判定即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，顯然，即B正確；對(duì)于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．故選：B變式2．（2024高二下·北京·學(xué)業(yè)考試）已知平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，滿足，則與（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反【答案】D【分析】根據(jù)向量的共線及模的關(guān)系確定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，滿足，所以為共線反向向量，且模不相等，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D變式3．（2024高三·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知，與的方向相反，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定方向和大小關(guān)系即可得答案.【詳解】由，得，又與的方向相反，所以.故選：C.題型二：向量的線性運(yùn)算例2．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）應(yīng)用向量的運(yùn)算律化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）原式．（2）原式.變式1．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.變式2．（2024高一下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算逐個(gè)選項(xiàng)分析求解即可.【詳解】根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算規(guī)律知①②正確；在③中，，顯然該運(yùn)算錯(cuò)誤.所以運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為2.故選：C變式3．（2024高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，．【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)與平面向量運(yùn)算即可得答案.【詳解】由題意，根據(jù)正六邊形的性質(zhì).故答案為：變式4．（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕裕裕蚀鸢笧椋?變式5．（2024高三上·北京朝陽(yáng)·期中）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】將條件變形，得到的關(guān)系，進(jìn)而可得的值.【詳解】,,即,.故選：D.變式6．（2024高三上·河南焦作·期末）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（

）A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋裕裕渣c(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，所以,所以的面積是的面積的5倍．故選：A.【方法技巧與總結(jié)】向量線性運(yùn)算的基本方法(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)向量也可以通過(guò)列方程組來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算．題型三：用已知向量表示相關(guān)向量例3．（2024高三上·福建龍巖·期中）在中，為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.變式1．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合平面向量基本定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榧矗c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D.變式2．（2024高一下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點(diǎn)，若，，試用表示.

【答案】.【分析】連接，則四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】解析：如圖所示，連接，則四邊形是平行四邊形.

則，,.變式3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G在AC上，且滿足，若，則.【答案】1【分析】利用向量線性運(yùn)算求得，與題干對(duì)照即可求解.【詳解】，則，，所以.故答案為：1變式4．（2024高三上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】，所以，，.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．題型四：向量共線的判定例4．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）判斷下列各小題的向量與是否共線.(1)；(2)；(3).【答案】(1)共線(2)共線(3)不共線【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的共線定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，可得，所以向量與共線.（2）解：由向量，可得，所以向量與共線.（3）解：由向量，設(shè)，即，可得，此時(shí)方程組無(wú)解，所以向量與不共線.變式1．（2024高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，是兩個(gè)共線的非零向量，且，，則向量與（

）A．共線 B．不共線 C．相等 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)共線向量定理判斷可得答案.【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)共線的非零向量，所以存在實(shí)數(shù)，使得，則，，所以與共線，與共線，又，所以與共線，故A正確，BD錯(cuò)誤.當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：A變式2．（2024高一下·云南楚雄·期中）已知，是平面上的非零向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分性必要性的定義，結(jié)合向量共線的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)榉謩e表示與方向相同的單位向量，所以由可知，方向相同；“存在實(shí)數(shù)，使得”即共線，包含方向相同或方向相反兩種情況．所以，“存在實(shí)數(shù)，使得”不能推出是“”；“”可以推出“存在實(shí)數(shù)，使得”，所以“存在實(shí)數(shù)，使得”是“”的必要不充分條件．故選：B.變式3．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為兩個(gè)不共線的向量，若向量，則下列向量中與向量共線的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算表示，然后利用共線向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚裕郑耘c共線．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定一般是用其判定定理，即a是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．解題過(guò)程中，需要把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，由此判斷共線．題型五：證明三點(diǎn)共線例5．（2024高一下·四川資陽(yáng)·期中）已知，，，則（

）A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線【答案】A【分析】利用向量共線定理即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，又，所以，則與共線，又與有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線，A正確；對(duì)于B，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，B，C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即B，C，D三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，即，所以，不存在，所以與不共線，即A，C，D三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.故選：A．變式1．（2024高一下·廣東云浮·階段練習(xí)）已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】利用向量的共線定理一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，,所以，則三點(diǎn)共線，A正確；對(duì)B，,則不存在任何，使得，所以不共線,B錯(cuò)誤；對(duì)C，,則不存在任何，使得，所以不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)D，,則不存在任何，使得，所以不共線，D錯(cuò)誤；故選:A.變式2．（2024高三上·陜西銅川·期末）在中，若，則點(diǎn)（

）A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上D．為的外心【答案】A【分析】根據(jù)向量的減法法則將已知條件化簡(jiǎn)，再利用向量共線定理可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋裕院凸簿€，因?yàn)楹陀泄捕它c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在直線上，故選：A變式3．（2024高一·全國(guó)·課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】分別用，表示和，根據(jù)和的關(guān)系即可證明.【詳解】證明:因?yàn)椋裕虼耍珹，B，C三點(diǎn)共線．變式4．（2024高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，.

求證：M，N，C三點(diǎn)共線.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用向量證明三點(diǎn)共線.【詳解】設(shè)，則所以，又因?yàn)橛泄财瘘c(diǎn)C，所以M，N，C三點(diǎn)共線.變式5．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線要求，證明即可.【詳解】∵，∴．∵是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，∴．∵在平行四邊形中，，∴．①∵為的中點(diǎn)，∴．②由①②可得．由向量共線定理知．又∵與有公共點(diǎn)，∴三點(diǎn)共線．變式6．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)幾何圖形進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）利用向量共線定理即可證明.【詳解】（1）因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，所以，則，.（2）因?yàn)椋裕瑒t，所以，即，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.

【方法技巧與總結(jié)】三點(diǎn)共線的證明問(wèn)題及求解思路1．證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問(wèn)題的依據(jù)．2．若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量AB，題型六：由三點(diǎn)共線求參數(shù)的值例6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量與不共線，向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面共線定理，由向量平行，求得滿足滿足的方程，求解即可.【詳解】由，且均不為零向量，則，可得，則，整理得，解得或．故選：C．變式1．（2024高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知是兩個(gè)不共線的向量，向量共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量基本定理求解即得.【詳解】向量不共線，則，由共線，得，，于是，則且，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C變式2．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得，列出方程組即可得解.【詳解】因?yàn)椋遥c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得.故選：B變式3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知向量不共線，且，，若與反向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－【答案】B【分析】因?yàn)榕c反向共線，所以，建立等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因?yàn)榕c反向共線，所以，即，因?yàn)橄蛄坎还簿€，所以，解得：或，因?yàn)榍遥?故選：B變式4．（2024高三上·北京順義·期中）在中，，是直線上的一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，根據(jù)平面向量共線定理的推論及平面向量基本定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕质侵本€上的一點(diǎn)，所以，又，所以，所以.故選：B變式5．（2024高一上·浙江杭州·期末）設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）要證明三點(diǎn)共線，即證明三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量共線即可.（2）由共線性質(zhì)求出參數(shù)即可.【詳解】（1）由，得,,所以，且有公共點(diǎn)B，所以三點(diǎn)共線.（2）由與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，因此，解得，或，實(shí)數(shù)k的值是【方法技巧與總結(jié)】利用向量共線求參數(shù)，一種類(lèi)型是利用向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出相關(guān)向量，從而求得參數(shù)，另一種類(lèi)型是利用三點(diǎn)共線建立方程求解參數(shù)．一、單選題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意.故選：D.2．（2024高二下·寧夏石嘴山·期末）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共線列式計(jì)算即得.【詳解】由向量與平行，得，而向量不平行，于是，所以.故選：A3．（2024高一上·遼寧·期末）已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點(diǎn)共線，故,且共線，故不妨設(shè)，則，所以，解得，故選：D4．（2024高一下·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定，得到，根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】，故，則，又是上一點(diǎn)，所以，解得.故選：A.5．（2024高三下·上海閔行·階段練習(xí)）已知,是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.【詳解】若∥，則則存在唯一的實(shí)數(shù)μ≠0，使得故，而，存在λ使得成立，所以“∥”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同,故此時(shí)∥，所以“∥”是“存在，使得的必要條件，故∥”是“存在，使得|的充分必要條件，故選:C6．（2024高三上·浙江紹興·期末）設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】A中，舉例說(shuō)明選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B中，當(dāng)時(shí)，，但與不一定平行，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C中，兩邊平方得出，可判斷與共線，從而判斷C正確；D中，兩邊平方得出，不能得出,可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則與不一定平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則，即，所以，所以與同向，即，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則，所以，不能得出，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C7．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）若在三角形中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形，由向量的線性運(yùn)算及減法運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，因?yàn)椋裕裕蔬x：A8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量共線的性質(zhì)分別設(shè)，，結(jié)合條件依次表示出，，對(duì)應(yīng)解出，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.二、多選題9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用三角形相似得出點(diǎn)E的位置，由平面向量的加法法則逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由，可得，又，N是線段OD的中點(diǎn)，∴，∴，∴D錯(cuò)誤；∵，∴C正確；∵，∴A正確，B錯(cuò)誤．故選：AC．10．（2024高一下·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中正確的有（

）A．對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量，，恒有B．對(duì)于實(shí)數(shù)m，n和向量，恒有C．對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量，，若，則D．對(duì)于實(shí)數(shù)m，n和向量，若，則【答案】AB【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘運(yùn)算一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】由數(shù)乘向量運(yùn)算律，得A，B均正確；對(duì)于C，若m＝0，則，未必一定有，錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由，未必一定有，錯(cuò)誤．故選：AB．11．（2024高一上·遼寧丹東·期末）在中，D在邊上，，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由向量得減法法則可知，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B：,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C：,而，所以，故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D：,故D正確.故選：BCD.12．（2024高一下·山東泰安·開(kāi)學(xué)考試）下列各組向量中，一定能推出的是（