河南省開封市2025屆高三下學期4月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的焦距為（

）A．1 B．2 C．4 D．62．若成等比數列，則（

）A．4 B．6 C．9 D．123．函數的最小正周期為（）A． B． C． D．4．已知集合，則使得“且”成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．已知，，，則（）A． B． C． D．6．已知函數滿足，，函數，若，則的值可以是（

）A．149 B．151 C．199 D．3007．已知函數（，），為的最小正周期，且，若在區間上恰有3個極值點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知函數滿足對任意的且都有，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，為虛數單位，，是的共軛復數，則下列說法正確的是（

）A．若為純虛數，則B．若在復平面內所對應的點位于第一象限，則C．的最小值為D．為定值10．已知為坐標原點，點，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．和的面積之和的最大值為1D．若，則11．雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，點在上，點，點在直線上，則下列說法正確的是（

）附：雙曲線在其上一點處的切線方程為.A．B．C．作于點，則（為坐標原點）D．若的延長線交于點，則的內心在定直線上三、填空題（本大題共3小題）12．已知角α的終邊經過點，則的值為．13．高二甲、乙兩位同學計劃端午假期從“韓陽十景”中挑個旅游景點：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機選擇其中一個景點游玩，記事件甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件甲和乙選擇的景點不同，則條件概率．14．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新logo（如圖所示），設計師的靈感來源于曲線：．當，，時，下列關于曲線的判斷正確的有．①曲線關于軸和軸對稱②曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8③曲線上的點到原點的距離的最大值為④設，直線交曲線于、兩點，則的周長小于8四、解答題（本大題共5小題）15．在壓力日益增大的當下，越來越多的人每天的睡眠時長無法滿足緩解壓力的需要.某研究小組隨機調查了某地100名工作人員每天的睡眠時長，這100名工作人員平均每天睡眠時長如下表所示，實際數據處理及分析中，認為工作日與周末無差異.睡眠時長/小時人數5122836172(1)估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長（同一組的數據用該組區間的中點值為代表）.(2)在被調查的100名工作人員中，有40名表示“近期壓力過大”，由頻率估計概率，在該地的所有工作人員中隨機調查3名，設“近期壓力過大”的人數為.（i）求的值；（ii）求的分布列和期望.16．已知數列的前n項和為，且．(1)若，求；(2)若，求關于n的表達式．17．已知函數(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求證．18．已知拋物線為上一點.(1)證明：以點為圓心且過點的圓與的準線相切.(2)若動直線與相交于兩點，點滿足（為坐標原點），且直線的斜率之和為.（i）求的方程；（ii）過點作的切線，若，求的面積的最小值.19．已知上下頂點分別為的橢圓經過點為直線上的動點，且不在橢圓上，與橢圓的另一交點為與橢圓的另一交點為（均不與橢圓上下頂點重合）.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線過定點；(3)設（2）問中定點為，過點分別作直線的垂線，垂足分別為，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在常數，使得，，總為等比數列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意得，，故，∴橢圓的焦距為2.故選B.2．【答案】C【詳解】根據等比中項的概念可得，.故選C.3．【答案】C【詳解】因為的圖象是由的圖象將軸下方的圖象翻折到軸上方和軸上方的圖象組成的，所以的最小正周期是的最小正周期的一半，因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．故選C.4．【答案】A【詳解】由題可知且，解得，所以使得“且”成立的一個充分不必要條件是集合的一個真子集，因為只有選項A中的是的真子集，故選A.5．【答案】A【詳解】由題可知，，所以，因為，，所以，因為在上單調遞減，且，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，故．故選A.6．【答案】A【詳解】由，，得的前項的值依次為，觀察規律可得：當時，為正偶數，，當或時，為正奇數，，故，易知為正偶數，故，所以，同理可得，，，結合選項可知n的值可為149，故選A．7．【答案】C【詳解】由題意可得：的最小正周期，又，且，所以為圖象的一條對稱軸，所以（），解得（），又，所以，故.當時，則，若函數在區間上恰有3個極值點，則，解得，故的取值范圍是.故選C.8．【答案】D【詳解】∵函數滿足對任意的且都有∴令，則，∴∴.故選D.9．【答案】ABC【詳解】；對于A，為純虛數，，解得：，A正確；對于B，在復平面內對應的點位于第一象限，，解得：，即，所以，B正確；對于C，，C正確；對于D，，不是定值，D錯誤.故選ABC.10．【答案】ABD【詳解】對于A：由題意得，，故A正確；對于B：若，則，又因為，所以或，若，則，此時，若，則，此時，故B正確；對于C：，，，所以，整理得，所以和的面積之和的最大值為，故C錯誤；對于D：若，注意到在單位圓上，當且僅當與單位圓相切時，取最大值，此時恰為，故為以為斜邊的等腰直角三角形，所以，故D正確.故選ABD.11．【答案】BCD【詳解】設雙曲線的半焦距為.根據雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限.對于A，由題意得，，，解得，故，，A錯誤.對于B，由題可知雙曲線右頂點坐標為，故，則，∴直線的斜率存在，∵點在直線上，∴，∴，則，∵，∴，故，解得，故B正確.對于C，由題意得，點處的切線方程為，切線斜率為，∵，故直線與雙曲線相切，是切點.由雙曲線的光學性質可知，雙曲線上任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，則平分，延長，與的延長線交于點，連接，則為等腰三角形，，∵為的中點，為的中點，∴，故C正確.對于D，記的內心為，則是的平分線，是的平分線，由選項C可得，直線是雙曲線的切線，切點分別為點，設，則直線的方程為，直線的方程為，聯立兩式，解得，由得，，設直線，則式可化為，即點在定直線上，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】依題意，，所以.13．【答案】【詳解】對于事件，甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，則其反面為“甲、乙兩人均不選擇廉村孤樹”，所以，，對于事件，甲和乙中只有一人選擇廉村孤樹，另一個人選擇其它村，所以，，因此，所求概率為.14．【答案】①②③【詳解】曲線：，對①：取曲線上點，則，在曲線上，故曲線關于軸和軸對稱，正確；對②：取，，取，，故曲線在一個長為，寬為的矩形內部，故其面積小于，正確；對③：設曲線上一點為，則，設，到原點的距離的平方為，，，當時，距離平方有最大值為，故距離的最大值為，正確.對④：對于曲線和橢圓，設點在上，點在上，，故，所以，設點在上，點在上，，所以，即，故橢圓在曲線內(除四個交點外)，如圖：設直線交橢圓于兩點，交軸于，為橢圓的兩個焦點，由橢圓的定義可知：，，所以的周長為8，由圖可知，的周長不小于8，錯誤.15．【答案】(1)7.27小時.(2)（i）；（ii）分布列見解析，.【詳解】（1）記這100名工作人員平均每天的睡眠時長為小時，則（小時），故估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長為7.27小時.（2）（i）被調查的100名工作人員中有40名表示“近期壓力過大”，則表示“近期壓力過大”的頻率為，由頻率估計概率，在該地的所有工作人員中隨機調查1名工作人員，表示“近期壓力過大”的概率為，故，則，，故.（ii）因，則，，故其分布列如下表所示：0123故期望.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，可得，故，又，所以．（2）由，可得，，…，，兩邊分別相乘得，所以．當時，，所以，即，即，由題可知，所以，所以的奇數項、偶數項均成公差為的等差數列．所以，，所以．所以，故．17．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題可知，則，又．故所求切線方程為．（2）當時，要證，即證，即證在時恒成立．令，則，故當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，故當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，故．當時，有，故，即在時恒成立，故當時．18．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）由題可知點為的焦點，設為點，拋物線的準線方程為.∵為上一點，∴由拋物線的定義得等于點到的準線的距離，∴以為圓心且過點的圓與的準線相切.（2）設.（i）當時，點關于軸對稱，點，直線關于軸對稱，成立.當時，由得，直線的方程為，將點的坐標代入，可得，則.聯立直線與的方程，可得，∴.∵，∴，化簡可得，則，由得，，由得，故的方程為.（ii）設直線，與的方程聯立，可得，由，得，由得，，故點.設的中點為，∵，∴，故.∵，∴三點共線，且為線段的中點，∴的面積為的面積的，由為的中點得，的面積為的面積的，∴的面積為的面積的.∵，∴.∵點到直線的距離，∴，當且僅當時等號成立，故的面積的最小值為.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在，【詳解】（1）因為橢圓經過點，代入可得，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意，直線的斜率一定存在，設，直線的方程為，聯立橢圓和直線的方程得，由韋達定