安徽省2024?2025學年高三下學期逐夢星辰杯大聯考數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數滿足，則（）A． B． C．2 D．13．函數的零點的個數為（）A． B．C． D．無法確定，與的取值有關4．已知點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（）A． B． C． D．5．已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．向量與在上的投影向量均為，，當最大時，則（）A． B．6 C．12 D．167．已知點，為圓上兩點，，點為線段的中點，點為直線上的動點，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．8．數列擴充是指在一個有窮數列中按一定規則插入一些項得到一個新的數列，擴充的次數記為.擴充規則為每相鄰兩項之間插入這兩項的平均數.現對數列1，3進行構造，第1次得到數列1，2，3；第2次得到數列1，，2，，3；…依次構造，記第次得到的數列的所有項之和為，則（）A．510 B．514 C．1022 D．1026二、多選題（本大題共3小題）9．已知，均為正數且，則下列不等式正確的有（）A． B． C． D．10．已知函數，則下列結論正確的有（）A．為函數的最小正周期 B．函數的圖象關于對稱C．函數的值域為 D．當時，函數有5個零點11．在四棱柱中，平面，四邊形為菱形，，，，為棱的中點，為四邊形內一個動點（含邊界），且平面，則下列結論正確的有（）A．動點軌跡的長度為B．平面截四棱柱所得的截面是五邊形C．存在點使得D．當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．在中，角，，的對邊分別為，，，若，是的角平分線，點在上，，，則的面積為.13．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，直線過且與雙曲線的左支交于，兩點.若，且的周長為24，則雙曲線的焦距為.14．陽光藝術學校為提高學員學習的積極性，特意在五一期間舉辦比賽活動，共設有，，，，，六種獎品.若學員在比賽中獲得好的名次，則可獲得優勝獎，即獲獎學員可從六種獎品中任選3種，但不能同時選，兩種獎品.若學員未獲得好的名次，則可獲得鼓勵獎，即從除，之外的獎品中選2個作為鼓勵獎.已知甲在比賽中獲得好名次的概率為，則在甲選了獎品的條件下，他又選了獎品的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數列中，，，其前項和滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明：.16．在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，，為中點，過的平面分別交，于點，，且平面.

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．隨著科技的不斷發展，社會對人工智能方面的人才需求不斷擴大，我國高校畢業生中從事軟件工程職業的人數在不斷攀升.某省統計了該省其中四所高校2024年的畢業生人數及從事軟件工程職業的人數（單位：百人），得到如下表格：高校高校甲高校乙高校丙高校丁2024年畢業生人數（百人）87652024年從事軟件工程職業人數（百人）0.50.40.30.2(1)已知與具有較強的線性相關關系，求關于的線性回歸方程；(2)假設該省對從事軟件工程職業的大學生每人發放0.5萬元的補貼.①若該省高校2024年畢業生人數為7千人，估計該省要發放補貼的總金額；②若高校甲的畢業生小輝、小宇選擇從事軟件工程職業的概率分別為、，該省對小輝、小宇兩人從事軟件工程職業的補貼總金額的期望不超過0.8萬元，求的取值范圍.參考公式：，.18．已知橢圓的下頂點和右焦點分別為點和點，其離心率為，為原點，的面積為.(1)求橢圓的標準方程；(2)點在橢圓上（點與橢圓的頂點不重合）.（i）的垂直平分線與軸交于點，求實數的取值范圍；（ii）若點在第四象限，且，求直線的方程.19．已知函數，.(1)若與相切，求實數的值；(2)若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)已知函數有3個零點，，，求證：.

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以，所以，又，所以.故選B.2．【答案】A【詳解】設，，，則，所以，解得，所以.故選A3．【答案】A【詳解】因為時，由指數函數的圖象與性質知，當時，，，所以，當時，，，所以，又當時，，所以函數只有一個零點，

故選A.4．【答案】C【詳解】記點，，則，所以，由，所以，當且僅當時，取最小值.即點到點的距離的最小值為.故選C.5．【答案】D【詳解】①當時，；若，則，當時，；若，當時，取得最小值－3，即；若，，，，在時單調遞增，；②當時，函數的圖象是一個二次函數，其對稱軸為；若，則在上單調遞減，；若，；若，則在上單調遞增，；因為函數的值域為，當時，在時最小值為，在時，不滿足值域為；當時，，，，不滿足值域為；當時，在時，在時；為使值域為，需滿足，解得.綜上，.故選D.6．【答案】C【詳解】設，，所以，因為，所以，所以可設，，與的夾角為，若，，則知，，即，，，則當最大時，最大，即最小，即此時，當且僅當時成立.故選C.7．【答案】A【詳解】圓的圓心坐標為，半徑，因為點為線段的中點，，則，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，點在直線上，可得圓心到直線的距離，所以的最小值為.故選A.

8．【答案】B【詳解】設第次構造后得的數列為1，，3，則，則第次構造后得到的數列為1，，，，，…，，，3，于是，，顯然，而，因此數列是以4為首項，2為公比的等比數列，則，即，所以.故選B.9．【答案】BD【詳解】由，因為，均為正數，所以，，故A錯誤；由上知，，所以，，所以，故B正確；，，所以，故C錯誤；，當且僅當，時，等號成立，故D正確.故選BD.10．【答案】ABD【詳解】因為，故B正確；因為，因為，所以為函數的一個周期，又，因為，當時，單調遞增，當時，單調遞減，結合選項B可得函數的大致圖象，結合圖象故A正確；經分析可知，，所以，故C錯誤；結合和圖象易知兩個圖象有5個交點，故D正確.

故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】如圖1，取分別，中點為，，,平面，平面，易得平面平面，即的軌跡為線段，又，故A正確；如圖2，取中點為，連接，，可得，所以平面截四棱柱所得的截面是四邊形，故B錯誤；因為四邊形為菱形，，所以，因為平面平面，平面平面,平面,所以平面，因為為直角三角形，所以此時存在，當時，因為平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，即平面，則有，故C正確；三棱錐的體積最大時，此時點與點重合，如圖3.由已知得此時，所以在底面的射影為的外心，又由為直角三角形，所以在底面的射影為中點，設為，設外接球的球心為，半徑為，，，，由，，可得外接球半徑，所求外接球的表面積為，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】在中，由角平分線定理得，所以，，即，解得，，所以.13．【答案】【詳解】由題知，，，的周長為，，，由得，即，，故，，，，，在中，，解得，焦距為.

14．【答案】【詳解】設M：甲選了獎品，N：甲選了A獎品，則，，所以.15．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知，得，即，且.數列是以為首項，公差為1的等差數列.；（2），所以，，兩式相減，得，所以，因為，，所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設，則為，的中點，連接，因為為菱形，則，又因為，且為的中點，則，，，平面，所以平面，且平面，則，又因為平面，平面，平面平面，可得，所以.又因為為正三角形，所以因為，，且與相交，所以平面；（2）因為，且為的中點，則，且，，，平面，所以平面，設，則，，且平面，平面，可得平面，平面，且平面平面，所以，即，，交于一點，因為為的中點，則為的重心，且，則，由題，，，，，如圖，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，可得，，設平面的法向量，則令，則，可得，設平面的法向量為，可得，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】(1)(2)①（萬元）；②【詳解】（1）由題意得（百人），（百人），，，，，，所以，故得關于的線性回歸方程為；（2）①當畢業生人數（百人）時，由回歸方程（百人），補貼總金額為（萬元）；②設兩人從事軟件工程職業的補貼總金額為（萬元），的取值可能為0，0.5，1.，，，由，即，得.又因為解得.綜上，的取值范圍是18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）由已知得，，所以，由得，.所以橢圓的標準方程為；（2）法一：（i）題意可知直線的斜率存在，設直線的斜率為，則直線的方程為，即，聯立與得：，解得或.將代入，得，所以，點的坐標為，設為線段的中點，點的坐標為，所以點的坐標為，所以直線的斜率為，又因為，所以，整理得，因，所以且，當且僅當，即時取得等號.因為異于橢圓的頂點，所以，解得的取值范圍是.（ii）由，且，兩式相除得，由（i）知，點的坐標為，且點在軸的下方，則.設到直線的距離為，.，.則有，化簡得解得：或（舍）.則直線的方程為，即.法二：（i）設，則或，的中垂線方程：，令，則，又，，.；（ii）設直線的傾斜角為，，，即，，，直線的方程為，聯立解得（在第四象限），而，直線的方程為，即.19．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1），，，設切點為，則且，即，，聯立得，化簡得，令，，.所以在上單調遞減，又，所以，故.（2