專題3-1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年甲卷第6題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主．（1）導(dǎo)數(shù)的概念和定義（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（3）求過某點(diǎn)的切線方程2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2021年I卷第7題，5分2021年甲卷第13題，5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平均速度（變化率）與瞬時(shí)速度（變化率）【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【題型6】導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】平均速度（變化率）與瞬時(shí)速度（變化率）1.求平均變化率的主要步驟：(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).2．瞬時(shí)速度是當(dāng)Δt→0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限值，瞬時(shí)速度與平均速度二者不可混淆．函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為15，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1 D．2【解答】解：由區(qū)間，，可知，可得，又由，解得．已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為－8，則f(x0)＝________．【答案】9【解析】由題知－8＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2（x0＋Δx）2＋1－（2xeq\o\al(2,0)＋1）,Δx)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.【鞏固練習(xí)1】某物體的運(yùn)動(dòng)方程為，若（位移單位：，時(shí)間單位：，則下列說法中正確的是A．是物體從開始到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 B．是物體從到△這段時(shí)間內(nèi)的速度 C．是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 D．是物體從到△這段時(shí)間內(nèi)的平均速度【解答】解：根據(jù)題意，，即物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度是，故選：．【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)在區(qū)間，△上的平均變化率為，在區(qū)間△，上的平均變化率為，則A． B． C． D．與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【解答】解：函數(shù)在到△之間的平均變化量為：△△△△△，△，函數(shù)在△到之間的平均變化量為：△△△△△，△，△，而△，故．【鞏固練習(xí)3】如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，則，得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．導(dǎo)數(shù)的物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由題意知，.（2024·江蘇南通·二模）已知，當(dāng)時(shí)，.【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可直接求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知，，由，得，所以.【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，（1）則．【解答】解：（1），故答案為：．【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且若，則A． B． C． D．不確定【解答】解：，則，即【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知，在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且，下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A錯(cuò)；，故B對；，由導(dǎo)數(shù)的定義知C對；，故D對【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．特別地：①，②，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1) (2)；【解析】（1）； （2）設(shè)函數(shù)，則的值為（

）A．10 B．59 C． D．0【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則，所以所以.【鞏固練習(xí)1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合求導(dǎo)法則即可逐一求解.【詳解】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得【鞏固練習(xí)2】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）；（2）；【鞏固練習(xí)3】在等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，所以，.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以，，所以，，所以，.【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對應(yīng)切線的斜率的大小，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得表示切線斜率，表示切線斜率，又由平均變化率的定義，可得，表示割線的斜率，結(jié)合圖象，可得，即.（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，的導(dǎo)函數(shù)，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線方程，即（23-24高三上·福建福州·期中）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以l的斜率，選項(xiàng)A中直線的斜率為，符合題意；選項(xiàng)B中直線的斜率為，不符合題意；選項(xiàng)C中直線的斜率為，符合題意；選項(xiàng)D中直線的斜率為，符合題意【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2）【解答】解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以（2），（4），（4）（2），由此可知，在上恒大于0，因?yàn)橹本€的斜率逐漸增大，所以單調(diào)遞增，所以（2）（4），則（2）（4），因?yàn)椋?）（4），所以（2）（4）（2）（4）【鞏固練習(xí)2】（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.【鞏固練習(xí)3】（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點(diǎn)處相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進(jìn)而確定傾斜角.【詳解】由，則，即直線的斜率為，根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：的傾斜角為.【鞏固練習(xí)4】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當(dāng)時(shí)，，曲線在處的，即，曲線，導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，切點(diǎn)在切線上，即有，得.【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確地拆分復(fù)合函數(shù)是求導(dǎo)的前提一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)； (2)；【解析】（1）（2）【鞏固練習(xí)1】求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)【答案】(1)，(2)(1)，.(2)因?yàn)樗?【鞏固練習(xí)2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【鞏固練習(xí)3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對各個(gè)求導(dǎo)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)椋?（3）因?yàn)椋裕?）因?yàn)椋浴绢}型6】導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算若導(dǎo)函數(shù)中含有某個(gè)數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以通過對x賦值來求出解已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則________【答案】【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【詳解】，，，已知函數(shù)滿足滿足；求的解析式【解析】令得：得：（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線在處的切線方程為．【答案】．【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，有點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋睿茫蓪?dǎo)數(shù)幾何意義知：，又，所以，故曲線在處的切線方程為：，整理得：.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=f'(1)+xlnx,則f(e)=________【答案】1+e∵f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1,則f(x)=1+xlnx,∴f(e)=1+elne=1+e.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則______【答案】【分析】先對進(jìn)行求導(dǎo)，然后把代入，可列出關(guān)于的等式，即可解出，從而得出的解析式，即可求出.【詳解】解：因?yàn)椋裕汛耄茫獾茫海裕?【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)y=f(x),其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)