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專題3-1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算近5年考情(2020-2024)考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2024年甲卷第6題,5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定,考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主.(1)導(dǎo)數(shù)的概念和定義(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(3)求過某點(diǎn)的切線方程2024年I卷第13題,5分2023年甲卷第8題,5分2021年I卷第7題,5分2021年甲卷第13題,5分模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀(目錄)TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【題型6】導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)1.求平均變化率的主要步驟:(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1).(2)再計(jì)算自變量的改變量Δx=x2-x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)=eq\f(f(x2)-f(x1),x2-x1).2.瞬時(shí)速度是當(dāng)Δt→0時(shí),運(yùn)動(dòng)物體在t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限值,瞬時(shí)速度與平均速度二者不可混淆.函數(shù)在區(qū)間,上的平均變化率為15,則實(shí)數(shù)的值為A. B. C.1 D.2【解答】解:由區(qū)間,,可知,可得,又由,解得.已知函數(shù)y=f(x)=2x2+1在x=x0處的瞬時(shí)變化率為-8,則f(x0)=________.【答案】9【解析】由題知-8=eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2(x0+Δx)2+1-(2xeq\o\al(2,0)+1),Δx)=4x0,得x0=-2,所以f(x0)=2×(-2)2+1=9.【鞏固練習(xí)1】某物體的運(yùn)動(dòng)方程為,若(位移單位:,時(shí)間單位:,則下列說法中正確的是A.是物體從開始到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 B.是物體從到△這段時(shí)間內(nèi)的速度 C.是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度 D.是物體從到△這段時(shí)間內(nèi)的平均速度【解答】解:根據(jù)題意,,即物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度是,故選:.【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)在區(qū)間,△上的平均變化率為,在區(qū)間△,上的平均變化率為,則A. B. C. D.與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)【解答】解:函數(shù)在到△之間的平均變化量為:△△△△△,△,函數(shù)在△到之間的平均變化量為:△△△△△,△,△,而△,故.【鞏固練習(xí)3】如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器,以的速度向該容器內(nèi)注入溶液,隨著時(shí)間(單位:)的增加,圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加,如圖2所示,忽略容器的厚度,則當(dāng)時(shí),圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時(shí)間為(單位:)時(shí),溶液的高為,則,得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí),,即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡單計(jì)算函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是,我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或.知識(shí)點(diǎn)詮釋:①增量可以是正數(shù),也可以是負(fù),但是不可以等于0.的意義:與0之間距離要多近有多近,即可以小于給定的任意小的正數(shù);②當(dāng)時(shí),在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù),即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近;③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限,即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率,即.導(dǎo)數(shù)的物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即;在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度,即.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,則的值為(
)A. B.C. D.0【答案】B【解析】由題意知,.(2024·江蘇南通·二模)已知,當(dāng)時(shí),.【答案】1【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可直接求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知,,由,得,所以.【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)可導(dǎo),(1)則.【解答】解:(1),故答案為:.【鞏固練習(xí)2】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且若,則A. B. C. D.不確定【解答】解:,則,即【鞏固練習(xí)3】(多選題)已知,在R上連續(xù)且可導(dǎo),且,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是(
)A. B.C. D.【答案】BCD【解析】,故A錯(cuò);,故B對;,由導(dǎo)數(shù)的定義知C對;,故D對【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則:;(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則:;(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則:,則.特別地:①,②,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) (2);【解析】(1); (2)設(shè)函數(shù),則的值為(
)A.10 B.59 C. D.0【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè),則,所以所以.【鞏固練習(xí)1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)(2)(3)(4)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,結(jié)合求導(dǎo)法則即可逐一求解.【詳解】(1)由可得(2)由可得(3)由得(4)由得【鞏固練習(xí)2】求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1);(2);【答案】(1)(2)【分析】利用導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】(1);(2);【鞏固練習(xí)3】在等比數(shù)列中,,若函數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè),則,,所以,.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,且,所以,,所以,,所以,.【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率,所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象,觀察對應(yīng)切線的斜率的大小,函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率.函數(shù)的圖像如圖所示,下列不等關(guān)系正確的是(
)A.B.C.D.【答案】C【詳解】如圖所示,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得表示切線斜率,表示切線斜率,又由平均變化率的定義,可得,表示割線的斜率,結(jié)合圖象,可得,即.(湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題)曲線在點(diǎn)處的切線方程為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意,的導(dǎo)函數(shù),故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,則切線方程,即(23-24高三上·福建福州·期中)已知直線l與曲線相切,則下列直線中可能與l平行的是(
)A. B. C. D.【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和平行關(guān)系的斜率關(guān)系對選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】,,則,當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,切線的斜率,因?yàn)榍芯€與直線l平行,所以l的斜率,選項(xiàng)A中直線的斜率為,符合題意;選項(xiàng)B中直線的斜率為,不符合題意;選項(xiàng)C中直線的斜率為,符合題意;選項(xiàng)D中直線的斜率為,符合題意【鞏固練習(xí)1】函數(shù)的圖象如圖所示,是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是A.(2)(4)(2)(4) B.(4)(2)(4)(2) C.(2)(4)(4)(2) D.(4)(2)(4)(2)【解答】解:由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,所以(2),(4),(4)(2),由此可知,在上恒大于0,因?yàn)橹本€的斜率逐漸增大,所以單調(diào)遞增,所以(2)(4),則(2)(4),因?yàn)椋?)(4),所以(2)(4)(2)(4)【鞏固練習(xí)2】(2024·全國·高考真題)設(shè)函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程,即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即可得其面積.【詳解】,則,即該切線方程為,即,令,則,令,則,故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.【鞏固練習(xí)3】(2024·福建廈門·一模)已知直線與曲線在原點(diǎn)處相切,則的傾斜角為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率,進(jìn)而確定傾斜角.【詳解】由,則,即直線的斜率為,根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知:的傾斜角為.【鞏固練習(xí)4】(2024·四川宜賓·模擬預(yù)測)若曲線在處的切線也是曲線的切線,則(
)A. B.1 C. D.【答案】A【分析】求出的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率為1,可得切線方程,再設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,解方程可得的值,進(jìn)而得到的值.【詳解】由曲線,得,在處的切線斜率為,當(dāng)時(shí),,曲線在處的,即,曲線,導(dǎo)數(shù)為,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,切點(diǎn)在切線上,即有,得.【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確地拆分復(fù)合函數(shù)是求導(dǎo)的前提一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1); (2);【解析】(1)(2)【鞏固練習(xí)1】求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2)【答案】(1),(2)(1),.(2)因?yàn)樗?【鞏固練習(xí)2】(2024高三·全國·專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1);(2);(3);(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】(1);(2);(3);(4).【鞏固練習(xí)3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1);(2);(3)(4);【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則,逐一對各個(gè)求導(dǎo)即可求出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)椋?(2)因?yàn)椋?(3)因?yàn)椋裕?)因?yàn)椋浴绢}型6】導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算若導(dǎo)函數(shù)中含有某個(gè)數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),可以通過對x賦值來求出解已知函數(shù)(是的導(dǎo)函數(shù)),則________【答案】【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),求出,再令代入解析式,即可得到答案;【詳解】,,,已知函數(shù)滿足滿足;求的解析式【解析】令得:得:(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)(是的導(dǎo)函數(shù)),則曲線在處的切線方程為.【答案】.【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線的斜率,再求出切點(diǎn)坐標(biāo),有點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn),因?yàn)椋睿茫蓪?dǎo)數(shù)幾何意義知:,又,所以,故曲線在處的切線方程為:,整理得:.【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)f(x)=f'(1)+xlnx,則f(e)=________【答案】1+e∵f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1,則f(x)=1+xlnx,∴f(e)=1+elne=1+e.【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足,則______【答案】【分析】先對進(jìn)行求導(dǎo),然后把代入,可列出關(guān)于的等式,即可解出,從而得出的解析式,即可求出.【詳解】解:因?yàn)椋裕汛耄茫獾茫海裕?【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)y=f(x),其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)
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