專題3-1導數的概念與運算近5年考情（2020-2024）考題統計考點分析考點要求2024年甲卷第6題，5分高考對本節內容的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點考查導數的計算、四則運算法則的應用和求切線方程為主．（1）導數的概念和定義（2）導數的運算（3）求過某點的切線方程2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2021年I卷第7題，5分2021年甲卷第13題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平均速度（變化率）與瞬時速度（變化率）【題型2】導數的定義中極限的簡單計算【題型4】導數的運算【題型3】導數的幾何意義初步【題型5】復合函數求導【題型6】導數的賦值運算模塊二模塊二核心題型·舉一反三【題型1】平均速度（變化率）與瞬時速度（變化率）1.求平均變化率的主要步驟：(1)先計算函數值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.(3)得平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1).2．瞬時速度是當Δt→0時，運動物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度的極限值，瞬時速度與平均速度二者不可混淆．函數在區間，上的平均變化率為15，則實數的值為A． B． C．1 D．2【解答】解：由區間，，可知，可得，又由，解得．已知函數y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時變化率為－8，則f(x0)＝________．【答案】9【解析】由題知－8＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2（x0＋Δx）2＋1－（2xeq\o\al(2,0)＋1）,Δx)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.【鞏固練習1】某物體的運動方程為，若（位移單位：，時間單位：，則下列說法中正確的是A．是物體從開始到這段時間內的平均速度 B．是物體從到△這段時間內的速度 C．是物體在這一時刻的瞬時速度 D．是物體從到△這段時間內的平均速度【解答】解：根據題意，，即物體在這一時刻的瞬時速度是，故選：．【鞏固練習2】若函數在區間，△上的平均變化率為，在區間△，上的平均變化率為，則A． B． C． D．與的大小關系與的取值有關【解答】解：函數在到△之間的平均變化量為：△△△△△，△，函數在△到之間的平均變化量為：△△△△△，△，△，而△，故．【鞏固練習3】如圖1，現有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當時，，即圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.【題型2】導數的定義中極限的簡單計算函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與無限接近；③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．導數的物理意義函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．若函數在區間內可導，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由題意知，.（2024·江蘇南通·二模）已知，當時，.【答案】1【分析】根據導數的定義即可直接求解.【詳解】由導數的定義知，，由，得，所以.【鞏固練習1】設函數可導，（1）則．【解答】解：（1），故答案為：．【鞏固練習2】函數在區間內可導，且若，則A． B． C． D．不確定【解答】解：，則，即【鞏固練習3】（多選題）已知，在R上連續且可導，且，下列關于導數與極限的說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A錯；，故B對；，由導數的定義知C對；，故D對【題型4】導數的運算一、基本初等函數的導數公式原函數導函數（為常數）二、導數的四則運算法則（1）函數和差求導法則：；（2）函數積的求導法則：；（3）函數商的求導法則：，則．特別地：①，②，求下列函數的導數．(1) (2)；【解析】（1）； （2）設函數，則的值為（

）A．10 B．59 C． D．0【答案】C【解析】函數的定義域為，設，則，所以所以.【鞏固練習1】求下列函數的導數．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根據基本初等函數的求導公式，結合求導法則即可逐一求解.【詳解】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得【鞏固練習2】求下列函數的導函數．(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】利用導函數求導法則和復合函數求導法則進行計算.【詳解】（1）；（2）；【鞏固練習3】在等比數列中，，若函數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，，所以，.因為是等比數列，且，所以，，所以，，所以，.【題型3】導數的幾何意義初步導數的幾何意義導數的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數的大小可以根據函數圖象，觀察對應切線的斜率的大小，函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．函數的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】如圖所示，根據導數的幾何意義，可得表示切線斜率，表示切線斜率，又由平均變化率的定義，可得，表示割線的斜率，結合圖象，可得，即.（湖南省2024屆高三數學模擬試題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，的導函數，故曲線在點處的切線斜率為，則切線方程，即（23-24高三上·福建福州·期中）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據導數的幾何意義和平行關系的斜率關系對選項一一分析即可.【詳解】，，則，當且僅當即等號成立，根據導數的幾何意義知，切線的斜率，因為切線與直線l平行，所以l的斜率，選項A中直線的斜率為，符合題意；選項B中直線的斜率為，不符合題意；選項C中直線的斜率為，符合題意；選項D中直線的斜率為，符合題意【鞏固練習1】函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2）【解答】解：由函數的圖象可知，當時，單調遞增，所以（2），（4），（4）（2），由此可知，在上恒大于0，因為直線的斜率逐漸增大，所以單調遞增，所以（2）（4），則（2）（4），因為（2）（4），所以（2）（4）（2）（4）【鞏固練習2】（2024·全國·高考真題）設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導數的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.【鞏固練習3】（2024·福建廈門·一模）已知直線與曲線在原點處相切，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導數幾何意義求直線的斜率，進而確定傾斜角.【詳解】由，則，即直線的斜率為，根據傾斜角與斜率關系及其范圍知：的傾斜角為.【鞏固練習4】（2024·四川宜賓·模擬預測）若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的導數，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設與曲線相切的切點為，求得函數的導數，由導數的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當時，，曲線在處的，即，曲線，導數為，設切點為，則，解得，切點在切線上，即有，得.【題型5】復合函數求導簡單復合函數的導數（1）復合函數的概念一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x)).（2）復合函數的求導法則正確地拆分復合函數是求導的前提一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.求下列函數的導數．(1)； (2)；【解析】（1）（2）【鞏固練習1】求下列各函數的導數：(1)；(2)【答案】(1)，(2)(1)，.(2)因為所以.【鞏固練習2】（2024高三·全國·專題練習）求下列函數的導數：(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用復合函數求導公式計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【鞏固練習3】求下列函數的導數．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用基本函數的導數和求導法則，逐一對各個求導即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為，所以.（3）因為，所以（4）因為，所以【題型6】導數的賦值運算若導函數中含有某個數的導數時，可以通過對x賦值來求出解已知函數（是的導函數），則________【答案】【分析】對函數進行求導，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【詳解】，，，已知函數滿足滿足；求的解析式【解析】令得：得：（2024·全國·模擬預測）已知函數（是的導函數），則曲線在處的切線方程為．【答案】．【分析】由導數的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點坐標，有點斜式求出切線方程即可.【詳解】由題意設切點，因為，令，得，由導數幾何意義知：，又，所以，故曲線在處的切線方程為：，整理得：.【鞏固練習1】已知函數f(x)=f'(1)+xlnx,則f(e)=________【答案】1+e∵f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1,則f(x)=1+xlnx,∴f(e)=1+elne=1+e.【鞏固練習2】已知函數的導函數為，且滿足，則______【答案】【分析】先對進行求導，然后把代入，可列出關于的等式，即可解出，從而得出的解析式，即可求出.【詳解】解：因為，所以，把代入，得，解得：，所以，所以.【鞏固練習3】已知函數y=f(x),其導函數y=f'(x)