1/7創新考向集訓(時間：90分鐘滿分：92分)創新考向一抽象思維1．(4分)在①x2－x＋2x，②1a－3＝a＋4，③x2＋5x＝6，④2xx-3＝1中，關于x的分式方程有(A．1個B．2個C．3個D．4個2．(4分)如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點O為AA′，BB′的中點，只要量出A′B′的長度，就可以知道該零件內徑AB的長度．這種卡鉗依據的數學基本事實是(A)A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例D．兩點之間，線段最短3．(12分)已知關于x的分式方程2x-2+mx(1)若方程的增根為x＝2，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程無解，求m的值．解：去分母，得2(x＋1)＋mx＝3(x－2)．移項、合并同類項，得(1－m)x＝8.(1)當方程的增根為x＝2時，有(1－m)×2＝8，解得m＝－3.(2)若原分式方程有增根，則(x＋1)(x－2)＝0，∴x＝2或x＝－1.當x＝2時，m＝－3；當x＝－1時，(1－m)×(－1)＝8，解得m＝9.∴當m＝－3或m＝9時，方程有增根．(3)當方程無解時，即當1－m＝0時，(1－m)x＝8無解，解得m＝1.當方程有增根時，原方程也無解，即m＝－3或m＝9時，方程無解．∴當m＝－3或m＝9或m＝1時，方程無解．創新考向二判斷推理4．(4分)如圖，點D在AB上，點E在AC上，且∠B＝∠C，佳佳想在①AD＝AE；②∠AEB＝∠ADC；③BE＝CD；④AB＝AC四個條件中選取一個進行補充，進而得到△ABE≌△ACD.他可選擇的條件有(B)A．4個 B．3個C．2個 D．1個5．(4分)某小區的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關于小路對稱，在分別以兩條小路為x軸和y軸的平面直角坐標系內，若點A的坐標為(－6，2)，則點B的坐標為(A)A．(6，2) B．(－6，－2)C．(2，6) D．(2，－6)6．(8分)小丁和小迪分別解分式方程xx-2-x-3你認為小丁和小迪的解答是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．解：小丁和小迪的解答都不正確．正確解答如下：去分母，得x＋x－3＝x－2.移項、合并同類項，得x＝1.檢驗：當x＝1時，x－2＝－1≠0，2－x＝1≠0，所以x＝1是原分式方程的解．故原分式方程的解是x＝1.7．(12分)下面是某同學對多項式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4進行因式分解的過程．解：設x2－4x＝y，則原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步)＝y2＋8y＋16 (第二步)＝(y＋4)2 (第三步)＝(x2－4x＋4)2. (第四步)回答下列問題：(1)該同學因式分解的結果是否徹底？若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果．(2)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1進行因式分解．解：(1)因式分解不徹底．最后結果為(x－2)4．(2)設x2－2x＝y，則原式＝y(y＋2)＋1＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2＝(x2－2x＋1)2＝(x－1)4.8．(12分)如圖(1)，正方形ABCD是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a，b的正方形拼成的．(1)利用正方形ABCD面積的不同表示方法，直接寫出(a＋b)2，a2＋b2，ab之間的數量關系，這個關系式是(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；(2)若m滿足(2024－m)2＋(m－2023)2＝4047，請利用(1)中的數量關系，求(2024－m)(m－2023)的值；(3)若將正方形EFGH的邊FG，GH分別與圖(1)中的PG，MG重疊，如圖(2)．已知PF＝8，NH＝32，求圖中陰影部分的面積．(結果必須是一個具體數值)(1)(2)第8題圖解：(2)設2024－m＝a，m－2023＝b，則(2024－m)(m－2023)＝ab，a＋b＝1.由題意，得a2＋b2＝4047，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴12＝4047＋2ab.∴ab＝－2023.∴(2024－m)(m－2023)＝－2023.(3)設正方形EFGH的邊長為x，則PG＝x－8，NG＝32－x.∵S陰影＝S正方形APGM＋2S長方形PBNG＋S正方形CQGN，∴S陰影＝(x－8)2＋2(x－8)(32－x)＋(32－x)2.∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴S陰影＝[(x－8)＋(32－x)]2＝242＝576.創新考向三規律探究9．(4分)我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下了《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了(a＋b)n展開式的系數規律．1111211331……(a＋b)0＝1(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3……當代數式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值為1時，則x的值為(C)A．2 B．－4C．2或4 D．2或－4解析：根據題意，得(a＋b)4＝a4+4a3b+6a2∴x4－12x3＋54x2－108x＋81＝x4＋4x3·(－3)＋6x2·(－3)2＋4x·(－3)3＋(－3)4＝(x－3)4.∴(x－3)4＝1，解得x－3＝1或x－3＝－1，解得x＝2或4.故選C.10．(4分)如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環往復的軸對稱變換，若原來點A的坐標是(2，5)，則經過第2024次變換后點A的對應點的坐標為(D)A．(2，－5) B．(－2，－5)C．(－2，5) D．(2，5)創新考向四新定義11．(4分)定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數m，n的平方差，且m－n＞1，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，16＝52－32，16就是一個“智慧優數”，可以利用m2－n2＝(m＋n)(m－n)進行研究．若將“智慧優數”從小到大排列，則第3個“智慧優數”是15；第23個“智慧優數”是57．解析：根據題意，當m＝3，n＝1，則第1個“智慧優數”為32－12＝8，當m＝4，n＝2，則第2個“智慧優數”為42－22＝12，當m＝4，n＝1，則第3個“智慧優數”為42－12＝15.正整數的平方分別為1，4，9，16，25，36，49，64，81.當m＝5，n＝3，則第4個“智慧優數”為52－32＝16，當m＝5，n＝2，則第5個“智慧優數”為52－22＝21，當m＝5，n＝1，則第6個“智慧優數”為52－12＝24.以此類推，當m＝6時，有4個“智慧優數”．同理當m＝7時，有5個“智慧優數”，m＝8時，有6個“智慧優數”．“智慧優數”雖然不會重復，但產生方式卻會．例如，24是一個“智慧優數”，卻可以有兩種方式產生：m＝7，n＝5和m＝5，n＝1.∵后面也有“智慧優數”比較小的，所以需要將“智慧優數”進行一一列出，并進行比較．當m＝9時，n＝5，第22個“智慧優數”為92－52＝81－25＝56；當m＝11時，n＝8，第23個“智慧優數”為112－82＝121－64＝57.故答案為15；57.12．(12分)對于多項式x2＋x－2，如果我們把x＝1代入x2＋x－2，發現此多項式的值為0，這時可以斷定多項式x2＋x－2中有因式x－1，可設x2＋x－2＝(x－1)(x＋m)(m為常數)，通過展開多項式或代入合適的x的值，即可求出m的值．我們把這種因式分解的方法叫作“試根法”．根據以上材料，完成下列問題．(1)因式分解：x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)；(2)若多項式x2＋mx－n(m，n為常數)因式分解后，有一個因式是x－2，求2m－n的值；(3)若多項式x3＋2x2－3用“試根法”因式分解得(x＋a)·(x2＋bx＋c)(a，b，c為常數)，請直接寫出a，b，c的值．解：(2)設x2＋mx－n＝(x－2)(x＋a)＝x2＋(a－2)x－2a，則m＝a－2，n＝2a.那么2m－n＝2(a－2)－2a＝2a－4－2a＝－4.(3)∵(x＋a)(x2＋bx＋c)＝x3＋bx2＋cx＋ax2＋abx＋ac＝x3＋(a＋b)x2＋(ab＋c)x＋ac＝x3＋2x2－3，∴a＋b＝2，ab＋c＝0，ac＝－3，解得a＝－1，b＝3，c＝3.創新考向五傳統文化13．(4分)剪紙藝術是中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現了數學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為(n，2m)，其關于y軸對稱的點F的坐標為(n－4，m＋1)，則(n－m)2024的值為(C)A．32024 B．－1