湖南省長沙市湖南師大附中2024屆高三上學期第一次調研數學試題一、選擇題（每題5分，共30分）1.若集合A={x|2x1>0}，B={x|x^25x+6<0}，則A∩B等于（）A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<4}D.{x|1<x<4}2.已知函數f(x)=x^33x，則f(x)的極值點個數是（）A.0B.1C.2D.33.若等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=20，S8=60，則數列的公差d為（）A.2B.3C.4D.54.已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，則向量a與向量b的點積是（）A.1B.1C.7D.75.在△ABC中，若a=3，b=4，且cosC=1/2，則△ABC的面積是（）A.3√3/2B.3√3C.2√3D.2√3/26.若復數z滿足|z2i|=2，則z在復平面內對應點的軌跡是（）A.圓B.直線C.橢圓D.雙曲線二、填空題（每題5分，共20分）7.函數y=ln(x^2+1)的定義域是__________。8.已知數列{an}是等比數列，且a1=2，公比q=3，則數列的前5項和是__________。9.在△ABC中，若a=5，b=6，且A=60°，則c的長度是__________。10.已知函數f(x)=x^2+2x+1，若f(x)≥k對所有x成立，則k的最大值是__________。三、解答題（每題15分，共45分）11.已知函數f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的單調區間。12.已知數列{an}是等差數列，且a1=1，d=2，求證：數列{an^2}是等比數列。13.在△ABC中，若a=5，b=6，且A=60°，求△ABC的面積。四、證明題（10分）14.已知數列{an}滿足an=2^n+1，證明數列{an}是遞增數列。五、應用題（15分）15.某工廠生產某種產品，每件產品的成本為50元，售價為100元。如果每天生產x件產品，則總成本為50x元，總收入為100x元。為了獲得最大利潤，該工廠每天應該生產多少件產品？六、綜合題（20分）16.已知函數f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的極值點，并判斷這些極值點是極大值點還是極小值點。七、選做題（10分）17.已知復數z滿足|z2i|=2，求z在復平面內對應點的軌跡方程。八、附加題（10分）18.已知數列{an}滿足an=2^n+1，求證：數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2^(n+1)2。一、選擇題答案1.A2.C3.B4.C5.A6.D二、填空題答案7.（∞，1）∪（1，+∞）8.559.710.1三、解答題答案11.函數f(x)的單調增區間為（∞，1）和（1，+∞），單調減區間為（1，1）。12.證明略（涉及等差數列和等比數列的性質）。13.ABC的面積為15√3。四、證明題答案14.證明略（利用數列的遞推關系和不等式性質）。五、應用題答案15.每天生產50件產品可獲得最大利潤。六、綜合題答案16.極值點為x=1和x=1，其中x=1為極大值點，x=1為極小值點。七、選做題答案17.z的軌跡方程為y=x^2+4x3。八、附加題答案18.證明略（涉及數列求和和不等式性質）。1.集合與不等式知識點：集合的化簡、不等式的求解。題型：選擇題（1題）、填空題（7題）。示例：化簡集合或求解不等式，考察學生的邏輯推理能力。2.函數與導數知識點：函數的極值、單調性、導數的應用。題型：選擇題（2題）、解答題（11題、16題）。示例：求函數的極值點、判斷單調性，考察學生的綜合分析能力。3.數列知識點：等差數列和等比數列的性質、數列的求和。題型：選擇題（3題）、填空題（8題）、證明題（12題）、附加題（18題）。示例：求等差數列或等比數列的通項公式、求和公式，考察學生的數列基礎知識和證明能力。4.向量與幾何知識點：向量的點積、三角形的面積公式。題型：選擇題（4題）、解答題（13題）。示例：計算向量的點積、求三角形的面積，考察學生的空間想象能力和公式運用能力。5.復數知識點：復數的幾何意義、復數方程的求解。題型：選擇題（6題）、選做題（17題）。示例：求