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高考第19題突破練新概念為導(dǎo)向的壓軸題(2)已知數(shù)列{an}既是“Π(2)數(shù)列”,又是“Π(3)數(shù)列”.①證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.②設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2=3,a3-a2=2,問:是否存在正整數(shù)n,p,m,使得Sn+2=pm+1?若存在,求出所有的n,p,m;若不存在,請說明理由.所以3q′2-5q′-2=0.由an>0,易知q′>0,所以q′=2,a1=1.所以an=2n-1,Sn=2n-1.假設(shè)存在正整數(shù)n,p,m,使得Sn+2=pm+1,即2n+1=pm+1,即pm+1-1=2n.可得2t=2,2s-t-1=1,所以t=1,s=2,所以n=3,S3+2=9=31+1,所以存在n=3,p=3,m=1,使得Sn+2=pm+1.當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),pm+1-1=(p-1)(pm+pm-1+…+p+1),若p為偶數(shù),則pm+1-1為奇數(shù),所以pm+1-1≠2n.若p為奇數(shù),則p>1,p-1為偶數(shù),pm+pm-1+…+p+1為m+1個(gè)奇數(shù)之和,也為奇數(shù),所以pm+1-1≠2n.所以當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),不存在正整數(shù)n,p,m,使得Sn+2=pm+1.綜上所述,存在n=3,p=3,m=1,使得Sn+2=pm+1.2.已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在它們的公共定義域D內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(x0,f(x0)),對于?x1∈D且x1∈(-∞,x0),x2∈D且x2∈(x0,+∞),若都有[f(x1)-g(x1)]·[f(x2)-g(x2)]<0,則稱f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(x0,f(x0))互穿;若都有[f(x1)-g(x1)]·[f(x2)-g(x2)]>0,則稱f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(x0,f(x0))互回.
已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為R,導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)與g′(x),f(x)與g(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(m,f(m)),f′(x)與g′(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(m,f′(m)). (1)若f(x)=ex,g(x)=1+x,試判斷函數(shù)f(x)與g(x)的位置關(guān)系.設(shè)H(x)=f(x)-g(x)=ex-(1+x)=ex-x-1,則H′(x)=ex-1,當(dāng)x<0時(shí),H′(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),H′(x)>0,∴H(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴H(x)≥H(0)=e0-1=0,即f(x)≥g(x),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號.又f(x)與g(x)的圖象在R上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)(0,1),∴函數(shù)f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)互回.(2)若f′(x)與g′(x)關(guān)于點(diǎn)(m,f′(m))互回,證明:f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m,f(m))互穿且[f(x)-g(x)]·[f′(x)-g′(x)]>0在(m,+∞)上恒成立.設(shè)x1<m,x2>m,則[f′(x1)-g′(x1)]·[f′(x2)-g′(x2)]>0,設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則h′(x)=f′(x)-g′(x),故h′(x1)·h′(x2)>0.①若h′(x1),h′(x2)均大于零,∵h(yuǎn)′(m)=f′(m)-g′(m)=0,∴h′(x)≥0,∴h(x)單調(diào)遞增,又h(m)=f(m)-g(m)=0,∴h(x1)<0,h(x2)>0,∴h(x1)·h(x2)=[f(x1)-g(x1)]·[f(x2)-g(x2)]<0,h(x2)·h′(x2)>0,
∴f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m,f(m))互穿且[f(x)-g(x)]·[f′(x)-g′(x)]>0在(m,+∞)上恒成立.②若h′(x1),h′(x2)均小于零,∵h(yuǎn)′(m)=f′(m)-g′(m)=0,∴h′(x)≤0,∴h(x)單調(diào)遞減,又h(m)=f(m)-g(m)=0,∴h(x1)>0,h(x2)<0,∴h(x1)·h(x2)=[f(x1)-g(x1)]·[f(x2)-g(x2)]<0,h(x2)·h′(x2)>0.∴f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)(m,f(m))互穿且[f(x)-g(x)]·[f′(x)-g′(x)]>0在(m,+∞)上恒成立.由(2)得f2(x)與g2(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)互穿,由(3)得f3(x)與g3(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)互回,易得當(dāng)i為奇數(shù)時(shí),fi(x)與gi(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)互回,∴?x1∈(-∞,0),x2∈(0,+∞),有[fi(x1)-gi(x1)]·[fi(x2)-gi(x2)]>0(i為奇數(shù)).由題意得[fi(x2)-gi(x2)]·[fi-1(x2)-gi-1(x2)]>0,對任意正整數(shù)i恒成立,∴[fi-1(x2)-gi-1(x2)]·[fi-2(x2)-gi-2(x2)]>0,[fi-2(x2)-gi-2(x2)]·[fi-3(x2)-gi-3(x2)]>0,…,[f2(x2)-g2(x2)]·[f1(x2)-g1(x2)]>0,累乘得[fi(x2)-gi(x2)]·[fi-1(x2)-gi-1(x2)]2·…·[f1(x2)-g1(x2)]>0,∴[fi(x2)-gi(x2)]·[f1(x2)-g1(x2)]>0,易知f1(x2)-g1(x2)>0,∴fi(x2)-gi(x2)>0.
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