11.1不等式(基礎練習)

考法01不等式的概念

【典例1】有下列數學表達式：①-3<0；②4x+3y>0；③X=3；④/+孫+/；⑤"5；

⑥尤+2>y+3.其中是不等式的有()

A.5個B.4個C.3個D.1個

考法02不等式的解及解集

【典例2】下列各數中，哪些是不等式x+2<4的解？哪些不是？

35

3,1,0,1,一，2,二■,3,4.

22

【典例3】把下列不等式的解集在數軸上表示出來.

(1)x>-3；

(2)x>一1；

(3)x<3；

3

(4)x<--.

考法03不等式的基本性質

【典例4】若m>n,則下列不等式正確的是（

mn

A.m-2<n-2B.—>—C.6m<6nD.-8m>-8n

44

【典例5】若不等式（。+1）尤>。+1的解集是%vl,則〃必滿足（）

A.a<0B.a>—lC.a<-lD.a<\

【鞏固練習】

一、選擇題

1.下列各式為不等式的是（）

c1

A.2x-lB.x=lC.x>2D.—

X

2.下列各數，是不等式x22的解的是（）

A.-3B.-1C.1D.3

3.不等式04元<2的解（）

A.為0,1,2B.為0,1C.為1,2D.有無數個

4.不等式x<4的非負整數解的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

5.已知“<0,b>0,且同>同，則。、b、一。、-b的大小關系是（）

A.-b<a<-a<bB.b<-a<a<-b

C.b<-a<-b<aD.a<-b<b<-a

6.下面給出6個式子：①3>0；②4x+3y>0；（3）x=5；（J）。一b；（5）x+3<8；⑥3XH0,

其中不等式有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

7.小麗同學準備用自己的零花錢購買一臺學生平板電腦，她原有750元，計劃從本月起每

月存入30元，直到她至少存有1080元,設x個月后小麗至少有1080元，則可列計算月數

的不等式為（）

A.30x—750W1080B.30x+750^1080

C.30x+750>1080D.30x-750^1080

8.下面列出的不等式中，正確的是（）

A.“m不是正數”表示為m<0B.“m不大于3"表示為m<3

C.“n與4的差是負數”表示為n-4<0D.“n不等于6"表示為n>6

9.不等式x<—2的解集在數軸上表示為（)

,_____________

-2O2

=□______________

-202

10.已知下列不等式變形不正確的是()

A.a+2<b+2B.3a<3bC.—2a<—2bD.2a—1<2b—1

11.下列不等式的變形正確的是（）

A.若a<b,則occbcB.若方>>,則土>上

mm

C.若a>b,則℃，>兒2D.若ac?>be?,貝!Ja>b

二、填空題

12.寫出一個解集為x<3的一元一次不等式

13.在4,3,2,1,0,3能使不等式3x-2>2x成立的數有_個.

2

14.假期里全家去旅游，爸爸開小型客車走中間車道，你給爸爸建議車速為km/h

15.根據“。的一半和6的兩倍的差是非正數”所列的不等式為.

16.已知關于x的不等式的解集在數軸上表示如圖所示，則這個不等式的解集是

??????A

-1012345

17.高速公路的建設，對我縣經濟發展具有重要意義，畢威高速平山隧道入口處，有如圖所

示的一塊交通標識牌，在遵守交通規則的前提下，小車通過該隧道所用時間至少為

分鐘.

平山隧道用

長度3120m=-口

18.如果不等式(。-2)%>々-2的解集是那么。必須滿足.

19.當卜=時，不等式g(履+9)>2x永遠成立.

20.某班35名同學去春游，共收款100元，由小李去買點心，每人一包；已知有2.5元一

包和4.5元■包的點心，試問最多能買幾包4.5元的點心？設買x包4.5元的點心，根據題

意，列出關于X的不等式為;

三、解答題

21.用不等式表示：

(1)7x與1的差小于4：

(2)x的一半比y的2倍大；

(3)a的9倍與b的;的和是正數.

22.用不等式表示下列數量之間的不等關系：

⑴去年某農場某種糧食畝產量是480kg,今年該糧食作物畝產量為xkg,較去年有所增

加；

(2)如圖，天平左盤放有三個乒乓球，右盤放有5g祛碼，天平傾斜，設每個乒乓球的

質量為x(g).

23.把下列各數：-4,-|-3|,0,二，+(+2),在數軸上表示出來并用“〉”把它們連

3

接起來.

-5-4-3-2-1012345

24.在數軸上表示下列不等式:

(1)x>-2；

(2)xWL5；

(3)-1?3.

25.通過測量一棵樹的樹圍(樹干的周長)可以計算出它的樹齡；通常規定以樹干離地面1.5

米的地方作為測量的部位，某棵樹栽種時的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約3cm,這棵樹

至少生長多少年，其樹圍才能超過2.4m?根據題意，完成下面填空：

(1)題目涉及的兩個有關系的量，分別是：;

(2)設生長年份為X,則樹圍用x表示為：；

(3)用文字敘述生長年份與樹圍滿足的不等關系是：

(4)用適當的不等號表示(3)中的不等關系:

26.一直關于x的不等式(l-a)x>2兩邊都除以l-a,f#x<—.

1-a

(1)求。的取值范圍；

(2)試化簡|l—a|+|a+2].

27.(1)比較a與。+2的大小;

(2)比較2與2+a的大小;

(3)比較。與2a的大小.

參考答案

考法01不等式的概念

【典例1】有下列數學表達式：①—3<0；②4x+3y>0；③X=3；④/+孫+/；⑤XH5；

⑥尤+2>y+3.其中是不等式的有（）

A.5個B.4個C.3個D.1個

【答案】B

【知識點】不等式的定義

【分析】本題考查不等式的判斷，根據不等式的定義，用不等號連接的式子叫做不等式，進

行判斷即可.

【詳解】解：在①一3<0；②4x+3y>0；③x=3；④尤。+孫+/；⑤X/5；⑥x+2>y+3

中，①②⑤⑥四個式子含有不等號，是不等式，共4個;

故選B

考法02不等式的解及解集

【典例2】下列各數中，哪些是不等式x+2<4的解？哪些不是？

35

—3,—1,0,1,—,2,—,3,4.

22

【分析】將題中所給的數據代入不等式1+2<4進行判斷即可.

3

解：把題中各數分別代入不等式x+2V4,得一3,-1,0,1,不是不等式x+2V4的

2

解，2,1,3,4不是不等式x+2<4的解.

【點撥】不等式的解是指在含有未知數的不等式中，能夠使不等式成立的未知數的值.

【典例3】把下列不等式的解集在數軸上表示出來.

【答案】（1）F（2）4;

（3）:I；!二（4）F

試題分析：

將上述不等式的解集規范的表示在數軸上即可.

解：（1）將X2-3表示在數軸上為：

?5-4-3-2-I0I2345

（2）將x>-l表示在數軸上為：

?112&11i?j?.

-43-2-IoI2345

（3）將xW3表示在數軸上為：

IB111■11人11.

~33J0I2345

3

（4）將尤表示在數軸上為：

■$-4-3-2-10I2345

【點撥】將不等式的解集表示在數軸上時，需注意兩點：（1）“大于（大于或等于）向

右，小于（小于或等于）向左"；（2）"x>。或（x<a）時”，數軸上表示數"。"的點用”空心

圓圈"，"xNa（或xWa）時"，數軸上表示數"。"的點用"實心圓點”.

考法03不等式的基本性質

【典例4】若m>n,則下列不等式正確的是（）

mn

A.m-2<n-2B.—>—C.6m<6nD.-8m>-8n

44

【答案】B

【解析】

【分析】

將原不等式兩邊分別都減2、都除以4、都乘以6、都乘以-8,根據不等式得基本性質逐一

判斷即可得.

【詳解】

A、將m>n兩邊都減2得：m-2>n-2,此選項錯誤；

B、將m>n兩邊都除以4得：,此選項正確；

C、將m>n兩邊都乘以6得：6m>6n,此選項錯誤；

D、將m>n兩邊都乘以-8,得：-8m<-8n,此選項錯誤，

故選B.

【點睛】

本題考查了不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握握不等式的基本性質，尤其是性質不等式

的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【典例5】若不等式(。+Dx>。+1的解集是x<l,則。必滿足()

A.a<0B.a>—lC.a<-lD.

【答案】c

【解析】

【分析】

由不等式(“+l)x>a+l的解集是X<1,不等式的方向發生了改變，從而可得：fl+l<0,于

是可得答案.

【詳解】

解：；不等式(a+l)x>。+1的解集是x<l,

a+1<0,

QV—1,

故選：c.

【點睛】

本題考查的是不等式的基本性質，不等式的解集，掌握"不等式的兩邊都除以同一個負數，

不等號的方向要改變."是解題的關鍵

【鞏固練習】

1.C

【分析】用不等號連接表示不等關系的式子是不等式，用定義逐一判斷即可.

解：A.沒有不等號，不是不等式，本選項不符合題意；

B.用等號連接，是等式，本選項不符合題意；

C.有不等號連接，表示不等關系，是不等式，本選項符合題意；

D.沒有不等號，不是不等式，本選項不符合題意.

故選C.

【點撥】本題考查不等式的定義，熟記不等式需要用不等號連接是解題的關鍵.

2.D

【分析】利用不等式解的定義進行判定即可得出答案.

解：A、-3<2,所以-3不是不等式xN2的解，故本選項不符合題意；

B、-1<2,所以-1不是不等式光的解，故本選項不符合題意；

C、1<2,所以1不是不等式xN2的解，故本選項不符合題意；

D、3>2,所以3是不等式x?2的解，故本選項符合題意；

故選D.

【點撥】本題主要考查了不等式的解，熟練掌握不等式的解的定義進行求解是解決本題

的關鍵.

3.D

【分析】根據不等式解的定義求解即可.

解：04x<2,

二滿足不等式2的解有無數個，

故選D.

【點撥】本題主要考查了不等式的解，熟知不等式解的定義是解題的關鍵.

4.A

【分析】先根據x<4不等式，寫出非負整數解，注意：非負整數是指正整數和零，不

要把零忘記了.

解:不等式x<4的非負整數解有3,2,1,0,共4個.故選A.

【點撥】本題是一道有關非負整數的題目，解題的關鍵掌握非負整數的概念；

5.D

【分析】根據絕對值和不等式的性質，求解即可.

解：，；a<0,b>0,

：.|<i|=-a,|/?|=Z?,

又?.,同〉Ml

..—a>b>b,

?'a<—b<0

貝ija<—h<h<

故選：D

【點撥】此題考查了絕對值和不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質.

6.C

【分析】依據不等式的定義：用">〃、，〃、〃<〃、”〃、〃工〃等不等號表示不相等關系的

式子是不等式來判斷.

解：①3>0；②4x+3y>0；⑤X+3S8；⑥3xw0,這些都是不等式，共有4個,

故選：c.

【點撥】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等

式.解答此類題關鍵是要識別常見不等號：>,<,4,>,A

7.B

【知識點】用一元一次不等式解決實際問題

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，抓住關鍵詞語，弄清不等關系,

才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.

根據已存的錢與每月節省的錢數之和至少為1080元列不等式即可.

【詳解】解：根據題意得30x+75°》1080.

故選B.

8.C

【分析】

根據各個選項的表示列出不等式，與選項中所表示的不等式對比即可.

【詳解】

A.“m不是正數”表示為心士°，故錯誤.

B.“m不大于3”表示為加工二故錯誤.

C.“n與4的差是負數”表示為n-4<0,正確.

D.“n不等于6"表示為"片6,故錯誤.

故選:C.

【點睛】

考查列不等式,解決本題的關鍵是理解負數是小于0的數,非負數是大于或等于0的數,

不大于用數學符號表示是“w”.

9.D

【詳解】

A選項中，數軸上表達的解集是：》）-2,所以不能選A；

B選項中，數軸上表達的解集是：x>-2,所以不能選B；

C選項中，數軸上表達的解集是：xW-2,所以不能選c；

D選項中，數軸上表達的解集是：x<-2,所以可以選D.

故選D.

10.C

【分析】根據不等式基本性質逐一判斷即可.

解：A.根據不等式性質，不等式。<匕兩邊都加2可得。+2<6+2,原變形正確，故此

選項不符合題意；

B.根據不等式性質，不等式a<b兩邊都乘以3可得3a<38，原變形正確，故此選項

不符合題意；

C.根據不等式性質，不等式a<方兩邊都乘以-2可得-2a>-26,原變形不正確，故此

選項符合題意；

D.根據不等式性質，不等式a<b兩邊都乘以2可得2a<%,再在不等號兩邊同時減1

得2a-l<2b-l,原變形正確，故此選項不符合題意.

故選：C.

【點撥】本題主要考查了不等式的性質.解題的關鍵是掌握不等式的性質：（1）不等式

兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同

一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改

變.

11.D

【分析】根據不等式的基本性質，每個選項判斷即可得出答案.

解：A.若a〈b,當c>0時，則ac<6c,故選項錯誤，不符合題意；

B.若%>y,當％>o時，則土>上，故選項錯誤，不符合題意；

mm

C.若a>b,當02>0時，則/2>稅2,故選項錯誤，不符合題意；

D.若ac?>be1,貝選項正確，符合題意；

故選：D.

【點撥】此題考查了不等式基本性質，解題的關鍵是熟記并會用不等式基本性質.注意:

基本性質L不等式兩邊同時加上或減去同一個整式，不等號的方向不變.基本性質2.不

等式兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變.基本性質3.不等式兩邊同時乘

以或除以同一個負數，不等號的方向改變.

12.x-3<0（答案不唯一）

【分析】根據題意寫出符合要求的不等式即可.

解：解集為x<3的一元一次不等式可以是x-3<0,

故答案為：x-3<0（答案不唯一）.

【點撥】本題主要考查了一元一次不等式的定義及解集，解題的關鍵是理解一元一次不

等式解集的定義.

13.【分析】解一元一次不等式得，x>2,然后判斷作答即可.

【解答】解:3x-2>2x,

移項合并得，尤>2,

A4,3能使不等式3x-2>2x成立，

故答案為：2.

14.80（答案不唯一）

【分析】根據題意可知，車速限制為70Wv<100,取其中任意數即可求解.

解：設車速為"km/h,

則70Vv<100,

二建議車速為80km/h.

故答案為：80（答案不唯一）.

【點撥】本題考查了不等式組的解集，理解題意是解題的關鍵.

15.-a-2Z）<0

2

【知識點】列一元一次不等式

【分析】本題考查了列不等式，根據題意列出不等式即可，理解題意是解題的關鍵.

【詳解】解：的一半和人的兩倍的差是非正數"所列的不等式為:26V0,

故答案為：^a-2b<Q.

16.【分析】直接根據數軸寫出答案即可.

【解答】解：這個不等式的解集是：

故答案為：尤21.

17?【分析】根據時間=距離小速度即可得到答案.

【解答】解：3120〃z=3.12hw,根據題意得，自生絲=0.039（小時）.0.039小時=2.34

80

分鐘，故答案為：2.34.

18.a<2

【分析】根據兩邊同時除以。-2,不等號的方向改變，可得a-2<0.

解：不等式(a-2)x>a-2的解集是x<l,

a-2<0,

解得，a<2.

故答案為：a<2.

【點撥】本題考查了不等式的性質.注意：不等式兩邊同除以同一個負數時，不等號的

方向改變.同理，當不等式兩邊同時除以一個數后不等號的方向改變，也可以知道不等式兩

邊同時除以的是一個負數.

19.6

【分析】將原不等式化為小-6)尤>-9,由不等式恒成立，可知與x無關，貝iJ%-6=0問

題可解.

解:原不等式化為(左-6)尤>-9.

???不等式恒成立，

%—6=0,解得左=6.

【點撥】本題考查了不等式的成立的條件，解答關鍵是注意由題意可知，不等式恒成立

時，未知數系數為0.

20.4.5X+2.5(35-x)<100

【分析】設4.5元的買x包，則2.5元的買了(35-x)包，根據題意可得，買點心的花

費不超過100元，據此列不等式.

解：由題意得，4.5x+2.5(35-x)<100.

故答案為4.5X+2.5(35-x)<100.

【點撥】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是讀懂題意，

設出未知數，找出合適的不等關系，列不等式.

21.(l)7x-l<4(2).x>2y(3)9a+1-b>0

【分析】(1)7x與1的差是7『1,小于4,再用小于號"〈"與4連接即可；

(2)x的一半記作gx,y的2倍記作2y,然后用大于號">"連接即可；

11

(3)。的9倍記作9a,b的彳記作-b,和是正數即相加后大于0.

22

解：由題意得

⑴7x—1<4；

⑵gx>2y；

(3)9。+；6>0

【點撥】本題考查了列不等式表示數量關系，與列代數式問題相類似，首先要注意其中

的運算及運算順序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區別.

22.⑴見分析;(2)見分析.

【分析】(])較去年有所增加，即比去年多的意思；

(2)由圖可以得到放球的一邊向下沉說明球的總重量比為要大，即可得到答案.

解：(1)根據題意可知，今年該糧食作物畝產量為xkg,較去年有所增加，

則x>480；

(2)觀察圖可知，三個乒乓球的質量大于5克的祛碼，

貝l|3x>5.

【點撥】本題考查了不等式的定義，要抓住關鍵詞語，弄清不等關系，把文字語言的不

等關系轉化為用數學符號表示的不等式.

23.【分析】先在數軸上表示出來，再比較即可.

-4-1-31J0+(+2)

一j￡I]■jI,I]-.

【解答】解：-5-4-3-2-1012345

+(+2)>0>_A>-I-3|>-4.

3

24.【分析】(1)根據不等式的解集在數軸上表示方法可畫出圖示；

(2)根據不等式的解集在數軸上表示方法可畫出圖示；

(3)根據不等式的解集在數軸上表示方法可畫出圖示.

【解答】解：(1)將-2表示在數軸上如下：

-5-4-3-2-1012345

(2)將xW1.5表示在數軸上如下：

???????J?>

-5-4-3-2-1012345

1.5

(3)將不等式組-1WXV3表示在數軸上如下:

-5-4-