專題22圓的綜合

考情聚焦

課標要求考點考向

考向一圓切線的判定

考向二圓切線的性質

1.了解三角形的內心與外心。

圓的綜

2.了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念。考向三圓與四邊形的綜合

合

3,了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系。

考向四圓與正多邊形的綜合

考向五圓中線段的求解

,真題透視,

考點畫的綜合

A考向一圓切線的判定

解題技巧

(1)證明過某點的直線是切線時，若已知該點在圓上，則常連接圓心和該點，證明輔助線與直線垂直；

(2)證明直線是圓的切線時，若已知直線與過圓心的某線垂直，則常證明圓心與垂足的連線長等于半徑

1.(2024?濟寧)如圖，VA3C內接于。O,。是上一點，AD=AC.E是。。外一點,

ZBAE=ZCAD,ZADE=ZACB,連接3E.

(1)若AB=8,求AE的長；

(2)求證：班是。。的切線.

【答案】(1)AE=8

(2)見解析

【分析】(1)根據N應歸=NC4D可得=然后證明ADAE絲ACI^ASA),根據全等三角形

的性質可得答案；

(2)連接OAOB,首先證明NABE=NA￡3=NAr)C=NACD,再根據三角形內角和定理和圓周角定理求出

AOBA=90°--ZAOB,然后計算出ZOBE=ZOBA+ZABE=90。即可.

2

【詳解】（1）解：：=

ZDAE=ZCAB,

又ZADE=ZACB,

：.△JQ4E^AC4B（ASA）,

AE=AB=8；

（2）證明：如圖，連接0408,

由(1)得：AE^AB,AD=AC,

：.ZABE=ZAEB,ZADC=ZACD,

"：ZBAE=NCAD,

：.ZABE=ZAEB=ZADC=ZACB,

"：OA=OB,

：.AOBA=NOAB=1(180°-ZAOB)=90°-1zAOB,

又,:ZACB=-ZAOB,

2

/.ZOBA=90°-ZACB,

：.ZOBE=NOBA+ZABE=90°-ZACB+ZACB=90°,

,/03是半徑，

/.EB是。。的切線.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，圓周角定理，切

線的判定等知識，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵.

2.(2024?威海)如圖，已知是。。的直徑，點C,。在。。上，且2C=CD.點E是線段A3延長線上

一點，連接EC并延長交射線AD于點ENFEG的平分線交射線AC于點X,NH=45°.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若BE=2,CE=4,求AF的長.

【答案】(1)見解析

24

(2)AF=—

【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，根據角平分線的定義

得到N尸=90。是解題的關鍵.

(1)連接OC,根據圓周角定理得到ZDACn/CABug/DAB,即可得到OC〃AD,然后根據角平分線的

定義得到ZF=NFEG—NFAE2NH=2x45°=90°,然后得到ZOCE=ZF=90°即可證明切線；

(2)設。。的半徑為乙moC2+CE2=OE2,可以求出人然后根據即可得到結果.

【詳解】(1)證明：連接OC,

則NQ4C=NOC4,

又：BC=CD,

BC=CD，

：.ADAC=ZCAB=-NDAB,

2

/DAC=NOCA,

：.OC//AD,

：.NOCE=NF,

,：EH平濟NFEG,

ZFEG=2ZHEG,

：.ZF=ZFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(ZHEG-NG4B)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又：OC是半徑，

...Eb是。。的切線；

(2)解：設。。的半徑為r,貝l]OE=OB+3E=r+2,

VOC2+CE2=OE2,gpr2+42=(r+2)2,

解得r=3,

EA=AB+BE='2.r+2=8,0E=5,

又「OC\\AD,

△ECO^AEFA,

3.(2024?濰坊)如圖，已知VABC內接于。O,A3是。。的直徑，/A4c的平分線交于點￡),過點D

作DE1AC,交AC的延長線于點E,連接3DCD.

(1)求證：/汨是。。的切線；

⑵若CE=1,sinZBAD=1,求。。的直徑.

【答案】(1)證明見解析；

(2)9.

【分析】(1)連接0。，由角平分線可得44T>=N￡A￡>,又由。4=8可得NOAD=NO/M,即得

ZODA=ZEAD,由AE_LAE'得/￡AD+NADE=90。，進而可得NaM+NADEug。。，即得即

可求證；

(2)A3是。。的直徑可得NZMB+NABC+NDBC=90。，又由(1)知NEW+NADC+NCDEngO。，由

7RAD=7F,AD,ZDBC=ZADC,進而可得Nr>3C=NCDE,再根據ND3C=NC4D,NDCB=NBAD,

ZCAD=ZBAD,可得NCDE=NDBC=NDCB=NBAD,得到B￡)=C￡),sinZCDE=sinABAD=1,解

RtACDE得至(JCD=BD=3,再解RtAABD即可求解；

本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質，切線的判定，圓周角定理，三角函數，掌握圓的有關定

理是解題的關鍵.

【詳解】（I）證明：連接

???AD平分/A4C,

ZBAD=ZEAD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

：.ZODA=ZEADf

*.*DELAE,

AZE=90°,

???AEAD+AADE=90°,

???ZODA-^-ZADE=90°,

即NODE=90°,

C.OD1DE,

?「OD是。。半徑，

???DE是。。的切線；

（2）解：:A5是。。的直徑，

???ZADB=90°,

ZDAB+ZABD=90°,

即ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,

Z￡AP+ZAT>E=90°,

???AEAD+AADC+ACDE=90°,

:.ZDAB+ZABC+NDBC=NEAD+ZADC+NCDE

丁/BAD=/FAD,ZABC=ZADC,

:.NDBC=NCDE,

VZDBC=ZCADfNDCB=/BAD,ZCAD=ZBAD,

：.ZCDE=ZDBC=ZDCB=ZBAD

BD=CD,sinZCDE=sin/BAD=—,

3

CEI

在RtzXCZ）石中，（口=sin/CDE=—,

/.CD=3CE=3xl=3,

BD]

在RtAABD中，——=sinABAD=-,

AB3

AB=3B￡>=3x3=9,

即。。的直徑為9.

4.（2024?山東）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為圓心，

以AD為半徑作交A3于點E，以點8為圓心，以8E為半徑作"所交BC于點連接FD交所于另

一點G,連接CG.

“EB

⑴求證：CG為斯所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結果保留萬）

【答案】（1）見解析

（2）3——工

43

【分析】本題考查平行四邊形的性質和判定，圓的性質，扇形面積，等邊三角形的性質等知識點，證明四

邊形ABfD是平行四邊形是解題關鍵.

（1）根據圓的性質，證明3尸=BE=AD=AE=CF,即可證明四邊形ABED是平行四邊形，再證明△96

是等邊三角形，再根據圓的切線判定定理即可證得結果.

（2）先求出平行四邊形的高。根據扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】（1）解：連接BG如圖，

根據題意可知：AD=AE,BE=BF

又,；AB=BC,

：.CF=AE=AD,

'：BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

?:AD〃BC,

???四邊形ABFD是平行四邊形,

ZBFD=ZDAB=60°,

;BG=BF,

???△班G是等邊三角形，

：.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

???G在以5C為直徑的圓上,

ABGC=90°,

:?CG為斯所在圓的切線.

（2）過。作于點”,

由圖可得：S陰影=工鉆尸。一S扇人即-S扇MG—S,尸G,

在RbAHD中，AD=1,DAB=60°,

JDH=ADsmZDAB=lx—=—,

22

:.S°ABFD=ABDH=2X5=C,

由題可知：扇形AOE和扇形BGE全等，

?qqnTrr160i（AZ））60x^-xl27i

**扇AED-扇呼—360——360———360一—

等邊三角形59G的面積為：LGF.DH=LX1X2=B,

2224

?C_C_C_C_C—/T_生_&_35/^_工

???陰影―?nABFD扇4E0一?扇3&7_?ABRG~~~~1

A考向二圓切線的性質

解題技巧

求三角形內切圓半徑時，常結合面積，即廠=斗”

a+b+c

1.（2024?青島）如圖，VA3C中，BA=BC,以BC為直徑的半圓。分別交AB,AC于點。，E,過點E作

3

半圓。的切線，交AB于點M,交BC的延長線于點N.若ON=10,cosZABC=-,則半徑OC的長為.

A

【難度】0.65

【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定等等，解題的關

鍵在于證明N￡ON=NABC,根據等邊對等角推出=,則可證明得到NEON=NABC,

再由切線的性質得到/。硒=90。，則解求出OE的長即可.

【詳解】解：如圖所示，連接OE,

：.ZA=ZBCA,NOCE=/OEC,

：.ZA=/OEC,

：.AB//OE,

：./EON=/ABC,

???"'是0。的切線，

???ZOEN=90°,

OE3

在RtAEO/V中，cosNEON=cosXABC=----=—,

ON5

3

：.OE=-ON=6f

?,?半徑OC的長為6,

故答案為：6.

2.（2024?日照）如圖1,AB為。。的直徑，A3=12，。是。。上異于A5的任一點，連接過點A

作射線ADLAC,。為射線AD上一點，連接CD.

BA

圖1圖2

【特例感知】

(1)若3C=6.貝UAC=.

(2)若點CD在直線A8同側，且NADC=NB,求證：四邊形A2CL(是平行四邊形；

【深入探究】

若在點C運動過程中，始終有tanNADC=百，連接OD.

(3)如圖2,當CD與。。相切時，求的長度；

(4)求OD長度的取值范圍.

【答案】(1)673(2)證明見解析(3)2^/21(4)26WODW6A

【分析】(1)根據直徑性質得到，/4。8=90。,根據4?=12,BC=6,運用勾股定理可得AC=6豆；

(2)根據NACB=90。.AD±AC,得到AD〃BC.得到=180。，結合NADC=/3,得到

ZBAD+ZADC=l80°,得到AB〃CD,得到四邊形是平行四邊形；

(3)連接OC.根據tanNADC=6，得到NADC=60。，ZACD=30。，根據切線性質得到，

ZACD+ZACO=90°.得至IjNACD=NOCB,ZB=30。.得至！|AC=6,得到CO=4g,運用勾股定理得

OD=25/21;

(4)過點A作射線AFLAB,使NAOb=60。，連接OC,CF.得到NOE4=30。，OF=12,根據

AF=/OA.AC=^/3AD,可得生=",根據N"O=NC4尸，得至lj△C4FSAZM0,^―=—=73,

ADOADOAD

得到。。=立CF.^OF-OC<CF<OF+OC,得到64c尸418,即得2石VODV6JL

3

【詳解】(1)解：：為。。的直徑，

ZACB=90°,

'：AB=12,,BC=6,

AC=>JAB2-BC2=6-J3

故答案為：6^3；

(2)證明：???A5為。。的直徑，

???ZACB=9Q°.

???AD±AC,

：.ZDAC=90°,

J.AD//BC.

???ZB+ZBAZ)=180°,

■:ZADC=ZBf

：.ZBAD+ZADC=180°,

：.AB//CD

???四邊形ABCD是平行四邊形.

(3)解：如圖，連接OC.

???在RtAACD中，tanZAZ)C=V3,

.?.ZAZ)C=60°,

ZACD=30°,

???。。是00的切線，

???OCLCD,

：.ZACD-^-ZACO=90°.

又?.,AACO+AOCB=90°,

:.ZACD=ZOCB

：.ZB=ZACD=30°.

：.AC=-AB=6

2f

ACr-

在Rt^ACD中，CD=——=4V3,

cos30

22

在RtAC(9D中，OD=y/CD+OC="(4后+6、=201;

(4)解：如圖，過點A作AF_LAB,使NAO尸=60。，連接OC,CF.

則ZOAF=90°,

：.ZOFA=30°,

：.OF=2OA=12,

：.AF=出OA=6A/3,

VtanZADC=A/3,

，AC=mAD,

.??生=空地，

ADOA

丁ZDAC=ZOAF=90°,

：.ZDAC+ZCAO=ZOAF+ZCAO,

即NDAO=NC4產，

，△C4F6山40,

:?器雀s

.??OD=—CF.

3

OF-OC<CF<OF+OC,

6<CF<18,

/.2石<OD<6A/3.

【點睛】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理推論，圓切線性質，平行四邊形的判定，

含30。的直角三角形判定和性質，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數解直角三角形，相似三角形的判

定和性質，是解決問題的關鍵.

3.(2024?泰安)如圖，是。。的直徑，A”是。。的切線，點C為。。上任意一點，點。為AC的中點，

連接8。交AC于點E,延長80與A”相交于點尸，若Z)F=1,tan3=(,則AE的長為.

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是

解題關鍵.

先證=可得A/MFSAOBA從而得到三=C2=tanB=L,求得AT>=2,再運用勾股定理可

ADBD2

得4/=有，再根據圓周角定理以及角的和差可得NA￡D=NAKD,最后根據等角對等邊即可解答.

【詳解】解：?.'AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

*/是。。的切線,

：.ZBAF=90°,

：.ZDAF=ZABD=900-ZDAB,

z^DAFs公DBA，

DF^=tanB=l

ADBD2

DF=1,

：.AD=2,

：.AF=y/5,

:點。為AC的中點,

AD=CD，

：.ZABD=ZDAC=ZDAF,

'：ZADE=ZADF=90°,

：.90°-ZDAE=90°-NDAF,即ZAED=ZAFD,

/.AE=AF=也.

故答案為：x/5.

4.(2024?煙臺)如圖，AB是。。的直徑，VABC內接于。。，點/為VABC的內心，連接C/并延長交。

于點。，E是BC上任意一點，連接AD，BD,BE,CE.

(1)若NABC=25。，求NCEB的度數；

(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；

⑶若C/=2&,求VABC的周長.

【答案】(1)115°

(2)DI=AD=BD,證明見解析

(3)30

【分析】(1)利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據三角形的內角和定理求NC4B=65。，然后利用圓

內接四邊形的對角互補求解即可；

(2)連接用，由三角形的內心性質得到內心，ZCAI=ZBAI,ZAC1=ZBC1,然后利用圓周角定理得到

ZDAB=NDCB=ZACI,AD=BD,利用三角形的外角性質證得/D4/=4VA,然后利用等角對等邊可得

結論；

（3）過/分別作AB,IFVAC,IP±BC,垂足分別為。、F、P,根據內切圓的性質和和切線長定

理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,進而可求解.

【詳解】（1）解：：A8是。。的直徑，

Z.ZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

/.ZCAB=90°-25°=65°,

?..四邊形ABEC是0。內接四邊形，

ZCEB+ZC4B=180°,

ZCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接可，

:點/為VABC的內心，

ZCAI=NBAI,ZACZ=NBCI=-ZACB=45°,

2

?*,AD=BD，

AZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

VZDAI=ZJDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

ZDAI=ZDIA,

：.DI=AD=BD；

（3）解：過/分別作/QLAB,IFVAC,IPA.BC,垂足分別為。、F、P,

?.,點/為VABC的內心，即為VABC的內切圓的圓心.

F、尸分別為該內切圓與VASC三邊的切點，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

"：CI=2-j2,ZIFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=CZcos45°=2=CP,

VDI=AD=BD,DZ=—13V2,ZADB=90°,

2

：.AB=^AD2+BD2=V2x—=13,

2

???VABC的周長為AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

二30.

【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質、三角形的內角和定理、三角形的內心性質、三角形

的外角性質、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答

的關鍵.

A考向三圓與四邊形的綜合

1.（2024?德州）有一張如圖所示的四邊形紙片，AB=AD=6m,CB=CD=8cm,為直角，要在該紙

片中剪出一個面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的半徑為cm.

【答案】y

【分析】連接AC,作—WC的平分線交AC于點。，作O"23c于H，如圖求得AABC絲AADCeSS）,

貝l]NBAC=NZMC,ZACB=ZACD,所以AC平分/R4C和NBCD,加上02平分/ABC,根據角

平分線性質得到點O到四邊形ABCD的各邊的距離相等，則得到。。是四邊形ABCD的內切圓，它是所求的

面積最大的圓形紙片，其半徑為OH,接著證明△SO”為等腰直角三角形得到。歸=9,設OH=r,則

BH=r,CH=8—r,然后證明△CO/fsAEB,利用相似比可計算出r.

【詳解】解：連接AC,作NA3C的平分線，交AC于點。，悍OHLBC于

在VABC和△ADC中,

AB=AD

<CB=CD,

AC=AC

：.△⑷5C%AZ）C（SSS）,

AABAC=ADAC,ZACB=ZACD

.AC平分和/BCD,

QOB平分工ABC,

???點O到四邊形ABCD的各邊的距離相等，

???。。是四邊形ABC。的內切圓，它是所求的面積最大的圓形紙片，其半徑為

ZOBH=-ZABC=45°,

2

???△BOH為等腰直角三角形，

:.OH=BH,

設OH=rem,則BH=rem,CH=BC—BH=8—r(cm),

VZABC=90°,OHJ.BC,

：.OH//AB,

:.△COHs/AB,

OHCHr8-r

——=——即nn一=----，

ABCB68

24

/.r=—.

7

即。。的半徑為了cm,

???圓形紙片的半徑為亍cm.

故答案為：—

【點睛】本題考查四邊形的內切圓，角平分線的性質，相似三角形的判定及性質，證明該四邊形的內切圓

是所求的面積最大的圓是解題的關鍵.

A考向四圓與正多邊形的綜合

1.（2024?東營）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多

邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而

無所失矣”.“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416,如圖，。。的

半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計。。的面積，可得兀的估計值為主8.若用圓內

2

接正八邊形近似估計0。的面積，可得兀的估計值為.

【答案】2近

【分析】本題考查了圓內接正多邊形的性質，三角形的面積公式，勾股定理等，正確求出正八邊形的面積

是解題的關鍵.過點A作AM,03,求得/4。3=360。+8=45。，根據勾股定理可得⑷^+0獷=。^,

即可求解.

【詳解】

如圖，A3是正八邊形的一條邊，點。是正八邊形的中心，過點A作AM,03,

在正八邊形中，乙4。5=360。+8=45。

???AM=OM

V0A=l,+=解得：AM=—

2

i

■■S^OAB=-XOBXAM=^-

正八邊形為8x與2應

4

/.20=產*萬

/.萬=2&

.??兀的估計值為2夜

故答案為：20.

2.（2024?濟寧）如圖，邊長為2的正六邊形AfiCD即內接于。0,則它的內切圓半徑為（）

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，勾股定理；

連接OF,作0G1A產于G,證明AAO尸是等邊三角形，可得尸G=1AF=1,然后利用勾股定理求出

2

OG即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,OF,作。G1AR于G,

OF=OA,ZAOF=360°x-=60°,

6

**?^AOF是等邊三角形，

OF=OA=AF=2,

OG1AF,

???FG=-AF=\,

2

?*,OG=V22—I2=A/3，

即它的內切圓半徑為百，

故選：D.

A考向五圓中線段的求解

解題技巧

求解圓中的線段，常見思路有：

(1)構造直角三角形，利用勾股定理;

(2)構造直角三角形，利用三角比；

(3)利用相似三角形對應邊成比例。

1.（2024?東營）如圖，VA5c內接于。。，A3是。。的直徑，點E在。。上，點C是防的中點，AELCD,

垂足為點。，0c的延長線交AB的延長線于點R

⑴求證：C。是。。的切線；

⑵若CD=百，ZABC=60°,求線段AF的長.

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理及推論，圓切線的判定.含30。的直角三角

形性質，是解決問題的關鍵.

（1）連接OC,由。1=OC,威=a，推出NOG4=NZMC,得到OC〃AD,由AELCD,得到CD,OC,

即得；

（2）由直徑性質可得NACB=90。，推出miC=N&lC=30。，根據含30。的直角三角形性質得到4。=3,

根據NF=30。，得到AF=6.

【詳解】（1）證明：：連接OC,則。4=OC,

ZOAC=ZOCA,

,點C是BE的中點，

：.&=&，

Z.OAC=ADAC,

：.Z.OCA=ADAC,

：.OC//AD,

,：AELCD,

：.CDLOC,

(2)解：TAB是。。的直徑，

???ZACS=90°,

ZABC=60°,

JABAC=90°-ZABC=30°,

ZDAC=30°,

*：CD=5

/.AD=拒CD=3,

?.,ZF=90°-(ABAC+ZDAC)=30°,

AF=2AD=6.

2.(2024?濟南)如圖，AB,CD為。。的直徑，點E在go上，連接A2￡>E,點G在AD的延長線上,

AB=AG,ZEAD+NEDB=45°.

⑴求證：AG與。。相切；

（2）若BG=46,sinZDAE=—,求DE的長.

【答案】（1）證明見解析；

c、2M

⑵丁.

【分析】（1）證明NG4B=90。，即可證明AG是。。的切線；

（2）連接CB,先計算sinZDCE=sinZDAE=工=匹,再計算=變BG=2M=DC,后得到

3DC2

DE=DCsinZDAE=2Mx|解答即可.

本題考查了切線的證明，圓周角定理，三角形函數的應用，熟練掌握切線的判定定理，三角函數的應用是

解題的關鍵.

【詳解】（1）解：?.?/￡?氏/E4B所對的弧是同弧

:.ZEDB=ZEAB,

ZEAD+NEDB=45°,

Z.EAD+Z.EAB=45°,

即ZBAD=45°,

?「AB為直徑，

.\ZADB=90°,

ZB=180°-ZADB-ZDAB=45°,

?：AB=AG,

:.ZB=ZG=45°9

/.ZGAB=90°,

二.AG與。O相切.

NDAE,ZDCE所對的弧是同弧,

:.ZDAE=ZDCE,

???OC為直徑,

:.NDEC=9U0,

iDE

在RtADEC中，sinZDCE=sinZDAE=-=-----,

3DC

BG=4區ZB=45°,ZBAG=90°,

AB=—BG=2M=DC,

2

DE=DCsinZDAE=2Mx-=

33

3.（2024?淄博）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習.

【操作發現】

小明作出了。。的內接等腰三角形ABC,AB=AC.并在3C邊上任取一點。（不與點2,C重合）,連接

AD,然后將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACE.如圖①

小明發現：CE與。。的位置關系是,請說明理由：

【實踐探究】

連接DE,與AC相交于點如圖②，小明又發現：當VABC確定時，線段CP的長存在最大值.

請求出當AB=3A/T5.BC=6時，CF長的最大值；

【問題解決】

在圖②中，小明進一步發現：點O分線段BC所成的比與點/分線段DE所成的比始終相

等.請予以證明.

AA

【答案】操作發現：CE與。。相切；實踐探究：嚕；問題解決：見解析

【分析】操作發現:連接CO并延長交。。于點M,連接AM,根據直徑所對圓周角為直角得到NM4c=90。，

根據旋轉的性質得到NB=NACE,由圓周角定理推出=等量代換得到NACE=N4MC,利用

直角三角形的性質即可證明NOCE=90。，即可得出結論；

實踐探究：證明△ABC得到NB=NADE=NACB,結合三角形外角的性質得到NCD尸=NB4D,

A3BD

易證△ABDSADCP,得至（］一=一,設B￡>=X,貝｝|CD=6—x,得到

CF=巫尤（6-x）=-W（x-3『+血，利用二次函是的性質即可求解；

30'730'710

問題解決：過點E作EN〃3c交AC于點N,由旋轉的性質知：ZB=ZACE,證明NE7VC=NACB,推出

EN=CE,由旋轉的性質得：△ABD四△ACE,

得至l］3Z）=￡7V,根據aV〃3C,易證ACDFS處IEF,得至|］烏=空，即可證明結論.

ENEF

【詳解】操作發現：

解：連接CO并延長交。。于點M,連接AM,

/M4c=90。，

ZAMC+ZACM=90°,

由旋轉的性質得NB=ZACE,

???ZB=ZAMC,

ZACE=ZAMC,

：.ZOCE=ZACM+ZACE=ZACM+ZAMC=90°,

?：oc是。。的半徑，

???CE與。。相切；

實踐探究：

解：由旋轉的性質得：ZBAD=ZCAE,AD=AE,

/.=即ZBAC=ZDAE,

-,AB=AC,

.ABAC

~AD~~AE'

AABC^AADE,

\ZB=ZADE=ZACB,

/ZADC=ZADE+NCDF=ZB+/BAD,

ZCDF=ABAD,

/.△ABDS^DCF,

ABBD

~CD~~CF

設HD=x,貝lJCD=6—x,

3Mx

6-xCF

,,CF=^^^-x(6-x)=-^^^-(x-3)2+

問題解決：

證明：過點E作EN〃5c交AC于點N,

:.ZENC=ZACB

由旋轉的性質知：NB=ZACE,

?,?ZB=ZACB,

:.ZACB=ZACE,

:.ZENC=ZACE,

:.EN=CE,

由旋轉的性質得：△ABD0ZXACE,

/.BD=CE,

:.BD=EN,

?;EN〃BC,

.△CDFs^EF,

CDDF

EN~EF

?：BD=EN,

CDDF

BD~EF

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的證明，旋轉的性質，三角形相似的判定與性質，二次函數最值的應

用，正確作出輔助線，構造三角形相似是解題的關鍵.

新題特訓i

一、填空題

1.（2024?山東?模擬預測）如圖，平面直角坐標系X。'中，圓心在x軸上的。A與。C同時與縱軸相

%

切.OA=OC=4,直線/：y=百+上交x軸于點8.記8點的橫坐標為/，04與G）C的組合圖形記為曲

Y

【分析】根據直線/：、=耳+左與曲線M至少有4個不同的公共點，利用一次函數平移，數形結合的思想

找到臨界點，解直角三角形，求出直線與坐標軸的交點，即可解答.

當x=0時，貝=當y=。時，貝！1彳=一石左，

:0yH（0,k）,

?：NBOH=90°,

:.OB^y/3\k\,OH=\k\,

OH

tanZOBH=

~OB~~3~

:.N0BH=3UQ,

如圖，當直線>=用+上與GM切與點。時，連接AD,

X

此時，直線/：、=耳+左與曲線M有3個不同的公共點,且ZAZM=90°,

1■,AD=4,

4n

：.AB=——=8,則此時點8與點C重合,

sin30

.'.5(^,0)；

YY

當直線>=方+上經過原點。時，此時，8(0,0),直線/：>=國+左與曲線M有3個不同的公共點,

如圖，當直線、=國+左與OC切與點E時，連接CE,

同理，此時，點2與點A重合，直線/：丁=西+左與曲線M有3個不同的公共點，且NCEB=90。，03=4,

.?.5(4,0),

X

綜上，直線/：>=存+上與曲線M至少有4個不同的公共點，-4</<4且的=0,

故答案為：-4</<4且演-0.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，解直角三角形，一次函數的平移問題，一次函數與坐標軸的交

點問題，熟練掌握一次函數平移及直線與圓的位置關系是解題的關鍵.

2.(23-24九年級下?山東泰安?期中)如圖所示，是圓。的直徑，EC是圓的切線，E為切點，EC//AB,

若AC與圓的交點為。，且AD=CD,則—ACE的大小為.

【答案】15。/15度

【分析】設圓心為0,連接AE,BE,DE,作。于「根據切線的性質得出。石，CE,設

EF=DF=X,根據勾股定理求出DE=JE尸+DF2=缶，證明△CE0sC4E,得出=三=

ZkCACEAE

EDCD1EF1

求出:百=7k=-7=，得出AE=解直角三角形得出sin/EA/=大=7，求出/E4/=30。,

AECEV2AE2

即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OE,AE,BE,DE,作EF,AC于尸，

??,石C是圓的切線，E為切點,

??.OE±CEf

EC//AB,

：.OE1AB,

?.?OA=OE,

???石為等腰直角三角形，

???ZOAE=ZOEA=45°f

AB是。。的直徑，

NAEB=90。,

???ZO￡B=90°-45°=45°,

JZOBE=180。一90°-45°=45°,

,-*獨E=，

JZADE=ZABE=45°,

又?：EF_LAC,

：.ZEFD=90°,

???△詼為等腰直角三角形,

:.EF=DF,

設EF=DF=x,

則DE=yjEF2+DF2=舊，

9：AB//EC,

：.ZC=ZCABf

VZC-}-ZCED=ZEDF=45°,ZEAD+ZBAD=ZBAE=45°,

???ZCED=ZEAD,

?：ZECD=ZACE,

Z^CED^ZXCAE,

.CECD_ED

**CA-CE-AE?

?\CE2=CACD,

,:AD=CD,

：.CA=2CD,

CE2=CACD=2CD?,

CE=yfiCD，

?_E__D_____C__D_______1__

AE=6ED=2x，

EF1

在Rt&4￡下中，sinZE4F=—二一，

AE2

???NE4F=30。，

???ZBAC=ZOAE-ZEAF=15°,

?；0E〃AB,

：.ZACE=ZBAC=15°.

故答案為：15。.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，切線的性質，解直角三角形，

三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質.

3.（2024?山東?模擬預測）如圖，在直線/：y=^x上取一點A，使。4=1.過點A作片耳，/,交無軸

-3

于點耳；在直線Z：y=^x上找一點4，使，過點4作4與，/,交X軸于點B2.在直線1：y力X

3,3

上找一點4,使A3B2=OB2……以此類推.若叢（加的內切圓圓心為。］,必映的內切圓圓心為。2,AA3OB,

的內切圓圓心為。3……以此類推，AAOB”的內切圓圓心0?的坐標為.

【分析】根據直線/：y力X,可得幺。4=30。，做用于點C,于點。，。山，。4于

3

點E,設0。半徑為加，根據內接圓的性質和角平分線的性質易求得加的值，從而得到。?的坐標，再根據

44=。4以及△A04內角度數易證AAQ片SA4OB?和鴻&劣為等邊三角形，從而可得AOA4與△。4巴

的相似比為1:2,進而可得。2的坐標是。I的坐標的兩倍，同理。3的坐標是。2的坐標的兩倍，即可得出

△4。紇的內切圓圓心on的坐標.

【詳解】解：?.?直線/：y力x,

3

=30°,

O\=1,AJBJ_LI,

AA=OR121130。=：0月=[,

AA。片的內切圓圓心為。1，

在△AO4的角平分線上，

如圖，做于點c,0口，。用于點0,。山上小于點片，設oa半徑為，〃，

由作圖可得四邊形。。4片為正方形，

OD=OE=l—m,B1C=B、D=AB、-m=-m,

/.OB,=1—m+叵-m=2x昱,

133

3-73

解得：m-

6

(3+733-行

二.Q的坐標為

I66J

???A]5]_L/,4與，/，NA0旦=404=30°,

C

.,.△A1OB1^A242(?B2,

,NO4A=ZOB^=60°,

???&用=OB1,幺。4=30°,

NO44=30。，

/./旦4員=60。，

.?.△44坊為等邊三角形,

OB】=44=B1B2,

“OAOB,1

；.AOA與與△。4鳥的相似比為M=肅=5

UL)2/

又AV毋的內切圓圓心為。1，4。口的內切圓圓心為。2,

連接。Q,OO2,BQ,B2O2,

Q在鳥的角平分線上,

即。1，。2都在NAO用的角平分線上,

ZO.OB,=ZO2OB2fZOiBiO=ZO2B2O=30°,

△OIBQSAOZBZ。,

OXO_OBX\

O2O~OB2~2

則同理可得橫、縱坐標的相似比,

\^H22],

同理：。3的坐標為2X

6)

。4的坐標為2323,

，

67

、

的內切圓圓心。”的坐標為2"-',即x2"-2

2〃-2,士里x2"

故答案為:

3

【點睛】本題考查了內接圓的性質，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，角平分線的性質，一

次函數的應用，解題的關鍵是理解運用角平分線的性質和相似三角形的性質與判定.

二、解答題

4.(24-25九年級上?山東?期末)在現代汽車成為人們出門的代步工具之一，汽車的心臟是發動機，如圖1

所示是發動機的一種動力傳輸工具，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構”.圖2是它的示意圖,

圖3是其簡化圖，已知AB=90cm,點A在中軸線上運動，點8在以。為圓心，長為半徑的圓上運動,

【分析】連接08',則OF'=OF=30cm,因為AB=90cm,所以AE=AS=90cm,由切線的性質得

ZAW=90°,而AE=AB=90cm,則OA=Jo"+A3"=30廂(cm),即可作答.此題重點考查切線的

性質定理、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖所示，連接03',

則03'=03=30cm,

AB=90cm,

二AB'=AB=90cm,

?.?A?與。。相切于點B',

A'B'l.OB',

:.ZAB'O^90°,

A'B'=AB=30cm,

：.OA!=^OB'2+A!B'-=7302+902=30M(cm),

AB=OA-OB=30710-30(cm),

即點A到。。最短距離為90函-30卜m.

5.（24-25九年級上?山東濱州?期中）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,AB=c,AC=b,BC=a,。。是VABC

的內切圓，求。。的半徑「（用含。、b,c的代數式表示）.

（1）小旭同學用面積法，可以構建關于廠的方程

解得r=（結果用含。、b、c的代數式表示）.

小辰同學由切線長定理，可以構建關于廠的方程.

解得「=（結果用含。、b、c的代數式表示）.

（2）兩位同學得到的答案相等嗎？若相等，請給出證明.

【答案】（1）一岫；c=b—+a-r；r=-+b~C.（2）相等，證明見解

2222a+b+c2

析

【分析】（1）方法一：利用面積法求解；方法二：根據切線長定理，找出〃、6