2025北京二中高一（下）段考四

數學

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的，請將答案填在答題紙上）

1.已知集合"={.V=2sinx},N=z,則McN等于（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】根據三角函數的值域，結合集合的交集，可得答案.

【詳解】由"={y|y=2sinx}=[—2,2],則McN={-2,—1,0,1,2}.

故選：A.

2.已知向量；=（2,1）,^=（1,-2）,則方—3萬的坐標為（）

A.（-1,-5）B.（-1,7）C.（1,-5）D.（1,7）

【答案】B

【解析】

【分析】根據向量的坐標運算直接求解即可

【詳解】?=（2,1）,&=（1,-2）,a-3b=（2,1）-3（1,-2）=（2,1）-（3,-6）=（-1,7）.

故選：B.

3.已知向量Z=（i,k）,3=（2,1）,若則實數左=（）

11

A.-B.---C.2D.—2

22

【答案】A

【解析】

【分析】由向量共線的坐標表示形式，可直接得到左值.

【詳解】因為向量Z=（i次）,石=（2,1）,且％〃B，

所以1x1—2左=0,解得/=

2

故選：A.

4.已知向量方=(T,5),b=(2,m),若a_/_b，則加的值為()

22

A.——B.-C.-10D.10

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據垂直向量的坐標表示，可得答案.

【詳解】由題意可得—1x2+5加=0,解得機=g.

故選：B.

5.將函數＞=$11112》+7]的圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍長度，再向右平移5

個單位長度，所得到的圖像解析式是

A./(%)=cosxB./(%)=sinxC./(x)=sin4xD./(x)=cos4x

【答案】B

【解析】

【詳解】函數y=sin[2x+?]的圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍長度，得

y=sin[x+?j

再向右平移彳個單位長度，所得到的圖像解析式是/(X)=siiu,

故選：B.

,2?wsinA

6.在AABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,己知c=5,b=3,A=——，則-----

3sinC

7537

A.-B.-C.一D.-

5773

【答案】A

【解析】

分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得結果.

【詳解】由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，得a=7,

,-?esinAa7

由正弦定理：----=—=—.

sinCc5

故選A

【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理公式的應用，屬于基礎題型.

7.若實數。，》滿足a>0，b>0,則是“a+lna>b+ln〃”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【詳解】構造函數y=x+lnx,x>0,y'=l+L>0,故函數y=x+lnx在(0,+?)上單調遞增，即由

“a>b>6”可得到“a+lna>〃+lnb”，反之，由“a+lna>〃+lnb”亦可得到“a>Z?>0"

選C

"，且器Jr1

8.若非零向量存與AC滿足+則VABC為()

|AC|2

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.底邊和腰不相等的等腰三角形

D.等邊三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得NA的角平分線與8c垂直，可分析出VA3C是等腰三角形，根據數量積公式可求角

4即可判斷.

ABAC____

【詳解】因為分別為與通，〃同向的單位向量，

可知NA的角平分線與垂直，則AB=AC,

UUUUIUU

上ABAC,,/“1口””1

又因為一HHH----HHH-=1X1XCOSZA=—,即COSA=一,

\AB\|AC|22

且NAe(O,7r),則NA=1,所以VA3C是等邊三角形.

故選：D.

9.在AABC中，角所對的邊分別為。,b,c,S表示△ABC的面積，若。以)55+灰2娟=。5111。，

S=-(b2+c2-a2),則B等于()

4'

A.90°B.600

C.45°D.30°

【答案】C

【解析】

【詳解】由acos5+Zxx)sA=csinC和正弦定理，得sinAcosZ?+sinBcosA=sinCsinC，

即sin(A+3)=sinCsinC,即sinC=l,--00<C<180°C=90°-則由S=!成=’(/+c?—〃)，

24'

得。=匕,即3=45°;故選C.

10.已知AABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則中?(而+南的最小值是()

34

A.—2B.---C.D.—1

23

【答案】B

【解析】

【分析】根據條件建立坐標系，求出點的坐標，利用坐標法結合向量數量積的公式進行計算即可.

【詳解】建立如圖所示的坐標系，以3C中點為坐標原點，

則40,圓5(-1,0),C(l,0),

設P(x,y),貝U麗=(—羽百―y),PB=(-l-x,-y),PC=(l-x,-y),

貝I」PA>(PB+PC)=2x2-20+2y2=2[x2+(y-與?_|]

.?.當尤=0,y=時，取得最小值2x(-=)=-],

,242

故選：B.

11.若3,反工均為單位向量，且￡%=0，——則卜+的最大值為（）

A.72-1B.1C.72D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據數量積運算律化簡得出伍+5}021,再根據數量積求解模長的最大值即可.

【詳解】因為成瓦工均為單位向量，且7石=0，

因為（商一忑）—乙）<0,所以年（商+5）i+^2<o,

故選：B.

12.在坐標平面內，橫、縱坐標均為整數的點稱為整點.點尸從原點出發，在坐標平面內跳躍行進，每次

跳躍的長度都是5且落在整點處.則點P到達點。（33,33）所跳躍次數的最小值是（）

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意，結合向量分析運算，列出方程求解，即可得到結果.

【詳解】每次跳躍的路徑對應的向量為

111111tlUUU.U.UU1

q=（3,4）,4=（4,3）,Cj=（5,0）,4=（0,5）,4=（-3,-4）也=（-4,-3）,c2=（-5,0）,4=（0,-5）,

因為求跳躍次數的最小值，則只取q=（3,4）,4=（4,3），G=（5,0）,4=（0,5）,

設對應的跳躍次數分別為a,仇c,d,其中a,b,c,deN,

UUttl111111tl

可得=+她+cq+d&=（3a+4Z?+5c,4〃+3Z?+5d）=（33,33）

則Lm，兩式相加可得7（a+Z?）+5（c+d）=66,

?JUI3d—JJ

a+b=8a+b=3

因為Q+b,C+d￡N,貝卜,個或＜

c+d=2c+d=9'

a+b=8

當｛,c時，則次數為8+2=10；

c+d=2

a+b=3

當,則次數為3+9=12；

c+d=9

綜上所述：次數最小值為10.

故選：B.

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案填在答題紙上)

—.3—■

13.已知=—=則實數2=.

4

【答案】-3

【解析】

______—.3—.

【分析】將通=麗—百代入AP=—中，整理即可求解.

4

【詳解】由題，因為通=而—序,

所以衣=：初=：(而—麗)，即匹=—3萬，

所以4=—3,

故答案為：-3

14.在VA5C中，5=3，3sinC=4sinA,且VA5C的面積為36，則邊長AC為.

【答案】歷

【解析】

【分析】利用正弦定理角化邊和三角形面積公式可構造方程求得?J利用余弦定理可求得結果.

詳解】由正弦定理得：3c=4。，

SARC=—acsinB=^-ac-3y/3<.".ac=12,即'a?=12，解得：a=3,c=4,

“BC243

由余弦定理得：AC~=+c~—2tzccosB=25—24cos—=13,AC--\J13-

3

故答案為：713.

15.已知函數/(x)=cos(sinx),方程/(%)=岑在［-兀,兀］內解的個數為

【答案】4

【解析】

TTTT

【分析】根據給定條件可得sinx二一或sin%=—-,進而確定解的個數.

66

/&7Cjr

【詳解】由cos(sinx)=N—，得sinx=—+2E,左eZ或sinx=——+2Qi,左eZ,

266

jrjrjrjr

ffl］-l<sinx<l,則左=0,sin%=—或sinx=——,而一￡(0,1),——e(-l,0),

6666

7171

因此sinx=一在［0,兀］內有兩個解，sinx=-一在［一兀,0)內有兩個解，

66

所以方程/(x)=岑在［-兀，兀］內解的個數為4.

故答案為：4

16.已知a,夕均為銳角，cosa—,sinB=,則cos2a=，2。—/?=.

714

171

【答案】?.--

73

【解析】

【分析】根據二倍角的余弦公式即可求出cos2cr,先確定2。一6的范圍，再求出2a-￡的正弦值即可.

【詳解】因為cosa=2"，

7

21

所以cos2a=2cosa-\-—,

7

又因a,夕均銳角，所以則2ae(0,7i),

所以2ae，所以—〃e，sin2a=Jl-cos22a=-----

又因sin,=之叵，所以cosp=Jl—sin2/?=?,

a-￡)=sinlacoscos2asin/?=------x--------x------=—

77147142

TT

所以2a_/二耳.

Ijr

故答案為：一；一.

73

17.如圖，在同一個平面內，向量反，加,反的模分別為1,1,J5,兩與反的夾角為a,且

tana=7,05與灰1的夾角為45°，若OC=加,則租+〃=.

【解析】

【詳解】以。4為了軸，建立直角坐標系，則A(L0),由雙的模為&與函與反的夾角為a,且

tana=7知,cosa=,sina=~~~~，可得c(g，二)，5(cos(a+45)s%(a+45。)),

13

,J341—-(134)一―二“57

■-B\，由OC=mOA+nOB可得7*7=m^~n^~nH,機，

155)155J155J7444

一=—n

[55

:.m+n=3,故答案為3.

【方法點睛】本題主要考查向量的坐標運算及兩角和的余弦公式、同角三角函數之間的關系，屬于難

題.向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數知識解答，運算法則是：

(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；(2)三角形法則(兩箭頭間向量

是差，箭頭與箭尾間向量是和)；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答，這種方法在求范

圍與最值問題時用起來更方便.

18.主動降噪耳機讓我們在嘈雜環境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風采集周圍的噪

聲，然后降噪芯片生成與振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲,已知某噪聲的聲波曲線為

/(x)=2sin[gx+e，°|<|J,且經過點(1,2),給出以下四個命題

①函數+是奇函數；

②函數了(%)在區間(1,2)上單調遞減;

⑧出wN*，使得/(1)+/(2)+/⑶+…+/(?)>2；

④存在常數優，對于任意實數x,使得/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=〃z.

其中正確的命題為(請寫出所有正確命題的序號).

【答案】①②④

【解析】

【分析】由題意，代入已知點求得函數解析式，根據正弦函數的奇偶性，可得①的正誤；利用整體思想，結

合正弦函數的單調性，可得②的正誤；由函數解析式求得周期，分情況求和，可得③的正誤；利用三角函數

的和差公式以及誘導公式化簡等式，可得④的正誤.

【詳解】將(1,2)代入/(x)=2sin]gx+c；可得/(l)=2sin[2g兀+9]=2,

3

27rjrjr

化簡可得---1-0=一+2kli(keZ),解得(p=-----b2kMkGZ)，

326

2兀兀

由冏<］，則0=一，故〃x)=2sin——x----

36

/%+—=2sin—x+-=2sin—%,故①正確；

I4)(3I4)6)3

由l<x<2,則殳〈生x—四〈生，易知函數八%)在(1,2)上單調遞減，故②正確;

2362

由函數的最小正周期@，且/⑴=2,/(2)=-2,/(3)=-1,

T

則當〃=3左(左￡時時，J/(z)=^[/(l)+/(2)+/(3)]=-Z：<0,

f=l

當“=3左+1(kwN)時，^/(/)=/:[/(1)+/(2)+/(3)]+/(1)=2-/:<2,

Z=1

當“=3左+2(左wN)時，^/(z)=Z:[/(l)+/(2)+/(3)]+/(l)+/(2)=-Z:<0,

?=1

故③錯誤;

2兀兀、小.(2兀7兀1小.(2兀兀

/(x+l)+/(x+2)+/(x+3)=2sin—xH—1+2sin—x~\-----+2sin—x

31)(36)(36

C2兀J.2兀7兀2兀.7兀\J.2TI兀2兀.兀)

=2cos——x+2sm——xcos----Feos——xsm——+2sm——xcos----cos——xsm—,

3(3636J3636)

=2cos—X-A/3sin-x-cos—x+V3sin-x-cos—x=0,

33333

故④正確.

故答案為：①②④.

三、解答題（本題共5小題，共60分，請將答案填在答題紙上）

19.已知卜|=1,a-b=—,（a+Z?）,（a—Z?）=萬.

（1）求M的值；

（2）求向量與夾角的余弦值.

【答案】（1）—

2

⑵更

5

【解析】

【分析】⑴直接展開（Z+4僅=代入同=i即可求解；

（2）先分別求出口+囚,,-0,再直接代入向量夾角公式即可求解.

【小問1詳解】

因為伍+5）?（互一方）=右2_彳2=]_忖：

一,

2

所以B=4；

【小問2詳解】

日一方二J（萬一5）=y]a2+b2-2a-b=/+L=也,

V22

萬+方=J（萬+5）=，方之+戶+2萬?5=LI,A/W

1+-+1=——

V22

1

一一（a-b\（a+b\2=小

所以cos。b,a+b=\二：一J二

歸一石?萬+》&M―5

-------X----------

22

即向量B與Z+B夾角的余弦值為避

20.已知函數/(x)=sin120x—+2cos2a)x(a>>0)的周期為兀.

(1)求。的值及函數/(%)的單調遞增區間；

7T5冗

(2)若xe[±,二竺],求/(%)的最大值和最小值以及取得最值時相應x的值.

36

JT7T

【答案】(1)0=1,[-----1-AJI,kjiH—[(左￡Z)

36

(2)尤=：,/Wmax=1；x=/(XU=0

。ZD

【解析】

【分析】(1)由三角函數恒等式化簡函數解析式，根據周期可得參數值，利用整體思想，結合正弦函數的單

調性，可得答案；

(2)利用整體思想，結合正弦函數的單調性與最值，可得答案.

【小問1詳解】

f(x)=sin(2G九一二)+2cos2cox=sin2cox--cos2cox+cos2a)x+1=smClcox+—)+1.

6226

由于函數的最小正周期為兀，所以刃=1,

兀

故/(x)=sin(2x+—)+l,

6

JTJiTTTTJI

令----1-2k7i<2x+—<2kn+—(^eZ),解得----\-hi<x<hi+—(kEZ),

26236

jrjr

故函數的單調遞增區間為[——+E,E+—]〃￡Z).

36

【小問2詳解】

.7T5兀1..7T5jClllTrll,.->兀、1..

由％r—,—],則2%H—G[—,----],所以sinz(/2尤H—)￡r[―1,1],

3666662

所以當2工+2=年，即x3時，/?ax=1+1=|;

ooJ22

所以當2x+2=型，即工=女時，/(xU=-1+1=0

623

21.在VABC中，a,4c分別為角A5c所對的邊，已知(2a-c)cos5=Z?cosC.

(1)求角B的值；

(2)若VA3C為銳角三角形，且Z?=l,求VA3C的面積的取值范圍.

【答案】（1）-；（2）~~~~A-1,

3164

【解析】

【分析】（1）利用給定條件結合正弦定理邊化角，借助和角的正弦及三角形內角和定理即可作答；

（2）用正弦定理角表示邊，借助三角恒等變換公式化三角形面積為且sin（2A-e）+且即可作答.

6612

【詳解】（1）在VABC中，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cos5=sin5cosC,

即2sinAcos3=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

而Ae(0,?)，則sinA>0,cosB=g,又

所以3=—；

3

abc222.c

(2)VABC中，由正弦定理得：——-=———=.=不，于是有〃=—7=sin=—，=smC,

sinAsinBsmC,3.3,3

0<A<-

由(1)知3=工，則有A,而VA3C是銳角三角形，于是有1.2，解得

33八2萬“萬

從而得S4ABe=^csinB=-j=sinAsin(^--A)=-^sinA(^-cosA+^sinA)

1,也.11—COS2A、幣.…兀、6

=’(—sin2A+----------)=—sin(2>4一一)+—,

y/34226612

因2A弋嗚〉則卜in（2A一四1,因此得*＜S…乎,

所以VA3C的面積的取值范圍吟，爭.

22.已知函數〃x）=x+0+0關于尤的不等式4（力＜。的解集為0,3）.

X

（1）求實數。，6的值;

（2）求關于X的不等式獷?（力＜（加-3）（%-1）（加6尺）的解集；

(3)若不等式/(2，)-左二一工-？々2。在R上恒成立，求實數左的取值范圍.

【答案】(1)“=3,b=T,(2)當機<1時，解集為(山,1),當初=1時，不等式無解，當機>1時，解集為

(1,根)，(3)左《-5+直

2

【解析】

【分析】

f1+3=—

(1)由題意得不等式X2+陵+4<0的解集為(1,3),由根與系數的關系得<.,從而可求出實數

[lx3=a

a,b的值；

(2)由口(力<(加—3)(九一得f+3-4x<(7〃-3)(x-l),即(x-l)(xm)<0,然后分

m<1>m=\,機〉1求解即可；

k3k

(3)令/=2"(/>0),則/⑺——2左20在(0,+8)上恒成立，即/+——4——2k>0,即

ttt

1一(4+2Q/+3-%>0令g?)=產_Q左+4?+3—左，然后分對稱軸在y軸左側和右側兩種情況求解

t

即可

【詳解】(1)因為關于尤的不等式4>(x)<0的解集為(1,3),即不等式必+法+々<0的解集為(1,3),

1+3=—b

所以〈。，解得。=3,b=T,

1x3=4

3

所以/(%)=%+——4,

x

(2)由#(x)<(m-3)(x-l)(meR),+3-4x<(m-3)(x-l),

即x?—(〃z+l)x+〃z<0,(x-l)(x-m)<0,

若"Z<1,貝！)7“<九<1,若機=1,則不等式無解，若7”>1,貝！]1<X<772,

所以當機<1時，解集為(冽,1),當m=1時，不等式無解，當機>1時，解集為(1,加)

k

(3)令”2*(r>o),則/⑺——2左20在(0,+8)上恒成立，

t

即/+?—4—七一2左20,即/一(4+21?+3—.Ng,

ttt

令g?）=/2_（2左+4）/+3—左,

2k+4

當------二左+2＜0,即左＜—2,對稱軸在y軸左側，所以g(0)=3—左20,即左＜3,所以左＜—2,

2

當左＞—2時，即對稱軸在y軸右側，則八=(2左一4)2—4(3—左)《0,解得—2〈左/支十萬

2

綜上左(—5+?

2

【點睛】關鍵點點睛：此題考查一元二次不等式的解法，第(3)問解題的關鍵是構造二次函數

g?)=〃—(2左+4?+3—左，則，〉0,所以分拋物線的對稱軸在＞軸左側和右側兩種情況求解，考查分

類討論思想和計算能力，屬于中檔題

23.給定奇數“23,設',是"X”的數陣.與表示數陣第，行第1/列的數，%=，或-LW'且為.=嗎

I0,i=j

(i=l,2,L,〃;/=l,2,L,n),定義變換/為“將數陣中第f行和第1列的數都乘以—1”，其中

/e{l,2,L,n}.設T=(4W，L，4)",e{l,2,L,〃},r=l,2,L,s(seN*).將&經過外變換得到A，4經過

線變換得到4,L,AT經過Q變換得到4.記數陣4中1的個數為。(》?

’01-P

(1)當”=3時，設4=101,T=(l,3),寫出A，4,并求〃⑴，%⑵；

I-11oj

(2)當77=5,s＞2時，對給定的數陣4,證明：〃(2)-〃⑴是4的倍數;

(3)證明：對給定的數陣人,總存在T,使得以⑸忘史上.

0-1“f0-1-1、

【答案】(1)A=-1o1,4=-1o-1；7；(1)=4,〃⑵=°

-Joj

,11oj1-1

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由A，4變換的由來，可得A，4，由〃⑺的定義即可求解,

(2)由變換儀的定義以及〃(r)的定義即可求解,