微專題38簡(jiǎn)單幾何證明與計(jì)算

類型一與三角形有關(guān)的證明與計(jì)算

1.如圖，已知△ABC是銳角三角形，過點(diǎn)A作ADL3C于點(diǎn)。，延長(zhǎng)。4至點(diǎn)E,使DE=

BC,點(diǎn)R在邊AC上，連接DEEF,使NCDR=NA4D,ED=AA求證：FE=AC.

第1題圖

2.（2024浙江）如圖，在△ABC中，AD±BC,AE是3C邊上的中線，AB=10,AD=6,tan

ZACB=1.

(1)求3c的長(zhǎng)；

(2)求sinND4E的值.

3.如圖，ZkABC是等腰直角三角形，AB=AC,點(diǎn)D,E,R分別在A3,3CAC邊上，DELDR

ZDEF=45°.

第3題圖

(1)求證：XBDEsXCEF；

(2)若AD=1,AF=2,求EC的長(zhǎng).

第1頁(yè)共io頁(yè)

類型二與四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算(2021.23)

考向1與圖形性質(zhì)有關(guān)

1.如圖，在正方形A3CD的外側(cè)，以CD邊為腰作等腰△CDE,使得DE=CD,連接AE.

(1)求證：NDAE=NDEA；

(2)若DE=4,ZCDE=3Q°,求ND4E的度數(shù)和△ADE的周長(zhǎng).

第1題圖

2.(2024東莞一模)如圖，在平行四邊形A3CD中，E為DC邊上一點(diǎn)，ZEAB=ZEBC.

(1)求證：AABEs^BEC；

(2)若A3=4,DE=3,求3E的長(zhǎng).

第2題圖

3.如圖，在△ABC中，。是A3上一點(diǎn)，DE垂直平分AC,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作CR〃A3,

交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E連接CD,AF,BE.

(1)求證：四邊形AZXT是菱形；

(2)若NA3C=90°,BE=5,BC=6,求△3DC的面積.

第2頁(yè)共10頁(yè)

第3題圖

考向2與圖形變化有關(guān)(2021.23)

1.如圖，將矩形A3CD沿對(duì)角線3。折疊，。為點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，C5與AD交于點(diǎn)E

(1)求證：BE=DE；

(2)若BE=2EC,求ND3C的度數(shù).

第1題圖

2.(2024梅州模擬)如圖，在正方形A3CD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=3,PB=2,PC=1.將線段

3P繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段3P，，連接APIPP'；

(1)求證：△P3C2△PB4；

(2)求N3PC的度數(shù).

3.在正方形ABCD中，3。為對(duì)角線，點(diǎn)E在3。上(不與點(diǎn)3,。重合)，作點(diǎn)E關(guān)于直

線A3的對(duì)稱點(diǎn)R連接DR且G為。歹的中點(diǎn)，連接AG,EG.

(1)若DF平分/ADB,求證：EGLDF；

第3頁(yè)共10頁(yè)

(2)若DE=4,求線段AG的長(zhǎng).

第3題圖

第4頁(yè)共10頁(yè)

類型一與三角形有關(guān)的證明與計(jì)算

1.證明："JADLBC,

：.ZABD+ZBAD=90°,ZADF+ZCDF=9Q°,

■:NCDF=/BAD,

：.ZABD=ZADF,

在△43。和4陽(yáng)E中，

'AB=FD

?回ZBCFFDE,

、BC=DE

.*.△ABC^AFDE(SAS),

：.FE=AC.

2.解:(iy：AD±BC,28=10,AD=6,

由勾股定理，得BD=JAB2-AD2=8,

VtanZACB=l,

：.CD=AD=6,

.*.BC=BD+CD=8+6=14；

(2)：AE是3c邊上的中線，

：.BE=CE=1,

：.DE=BD-BE=1,

在RtZkADE中，由勾股定理，得AE=AD2+DE2=V37,

3.(1)證明：'：AB=AC,ZA=90°,

：.ZB=ZACB=45°,

ZBDE+ZBED=180°-ZB=135°,

VZDEF=45°,

：./BED+/CEF=180°—/DEF=135°,

ZBDE=ZCEF,

：.ABDES"EF；

(2)解：如解圖，過點(diǎn)E作EHLAB,垂足為點(diǎn)H,

第5頁(yè)共10頁(yè)

'：DE±DF,：.ZEDF=90°,

VZDEF=45°,：.DE=DF,

"：ZADF+ZEDB=9Q°,ZADF+ZAFD=90°,

ZAFD=ZEDB,

VZA=ZEHD=9Q°,

:.XADF空叢HED,

：.AD=EH=1,AF=DH=2,

VZBHE=9Q°,ZB=45°,

：.BH=HE=1,：.BE=42BH=V2,AB=AD+DH+HB=4,

VBC=V2AB=4V2,

：.EC=BC-BE=3y[2.

RECG

第3題解圖

類型二與四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算

考向1與圖形性質(zhì)有關(guān)

1.(1)證明：四邊形A3CD是正方形，

：.AD=CD,

,:DE=CD,

：.AD=DE,

：.NDAE=/DEA；

(2)解：如解圖，過點(diǎn)。作D7UAE于點(diǎn)R

,??四邊形ABCD是正方形，

AZADC=90°,

ZADE=ZADC+ZCDE=120°,

由(1)知，ZDAE=ZDEA,AD=DE=4,

：.ZDAE=ZDEA=30°,

AF=yAD=2V3,AF=EF,

：.AE=2AF=443,

第6頁(yè)共10頁(yè)

△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=8+4g.

第1題解圖

2.(1)證明：：四邊形ABCD為平行四邊形,

：.AB//CD,：.ZABE=ZBEC,

又〈/EAB=/EBC,

:.AABEsABEC；

(2)解：?.?四邊形A3CD是平行四邊形，

：.DC=AB=4,

'：DE=3,

：.CE=1,

由(1)知△ABEs△BEC,

???-AB---B-E,

BEEC

：.BE2=ABCE=4X1=4,

，3￡=2(負(fù)值已舍去).

3.(1)證明：?.?￡>￡垂直平分AC,

：.AE=CE,ZAED=ZCEF=9Q°,

'JCF//AB,

：.ZDAE=ZFCE,

在△人石力和^CEP中，

^DAE=0FCE

?AE=CE,

^AED=HCEF

.*.△AED^ACEF(ASA),

：.DE=FE,

???四邊形ADCF是平行四邊形，

'JDELAC,

四邊形AZXT是菱形；

第7頁(yè)共10頁(yè)

(2)解：VZABC=90°,E是AC的中點(diǎn)，

：.AE=CE=BE=5,：.AC=10,

在RtZkABC中，AB=JAC2-BC2=J102-62=8,

由(1)知，四邊形ADCR是菱形，

：.AD=CD,

設(shè)則AD=CD=8—x,

在RtACDB中，CD1=BD1+CB1,

即(8一%)2=*2+62,

解得=即

X-4J4BD=-,

：

.S^BDC=-2BD-BC=2-X4-X6=—4.

考向2與圖形變化有關(guān)

1.(1)證明：：四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZCBD=ZADB,

由折疊的性質(zhì)得，ZCBD=ZC'BD,

：.ZDBE=ZADB,

:.BE=DE；

(2)解：,:BE=DE,BE=2EC,

：.DE=2EC.

???四邊形ABCD是矩形，

AZBCD=9Q°,

由折疊的性質(zhì)得，ZDC'E=ZBCD=90°,

：在。中，

.RtADEsmZEDC'=—DE=-2,

AZEDC-30°,AZDEC-60°,/.ZBED=12Q°,

?：BE=DE,：.ZDBC=ZDBE=|(180°-ZBED)=30°.

2.(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，線段3尸繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段5P,

：.BA=BC,ZABC=9Q°,BP=BP',ZP'BP=9Q°,

/.ZP/BA+ZABP=ZABP+ZPBC,

第8頁(yè)共10頁(yè)

：.ZP'BA=ZPBC,

在^PBC^AP'BA中，

(BP=BP'

l^PBC=^P'BA,

(BC=BA

PBC鄉(xiāng)△PB4(SAS)；

(2)解：由(1)知，△PBC^AP'BA,

'：PA=3,PB=2,PC=1,

：.P'A=PC=1,PP,=V2PB=2V2,

：.P'A2+P'P2=l-\-S=32=PA2,

：.ZAP'P=9Q°,

,:BP=BP',"BP=90°,

AZBP'P=45°,

：.ZBPC=ZAP'B=ZAP'P+ZBP'P=900+45°=135°.

3.(1)證明：如解圖，連接ER交AB于點(diǎn)H,由對(duì)稱的性質(zhì)，得EF