安徽省皖北協作區2023-2024學年高一下學期期末聯考

數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.若向量扇B是兩個單位向量，貝U（）

A.同?=MB.a-^b2

C.a-b=0D.a-b=1

【答案】A

【解析】由單位向量的定義可知，|司=|同=1,即同2=|可，JiL52=\a\,b2=|^|,故A

正確，B錯誤；

因為萬,5方向和夾角不確定，故CD錯誤.

故選：A.

2.已知直線。與平面a沒有公共點，直線則。與6的位置關系是（）

A.平行B.異面C.相交D.平行或異面

【答案】D

【解析】依題意可知。尸。，而〃u1,所以a,b沒有公共點，a與6可能異面或平行.

故選：D.

3.sin800sin20°+cos800cos200=()

A.--B.—C,--D.在

2222

【答案】B

［解析］sin80°sin20°+cos80°cos20°=cos(80°-20°)=cos60°=1.

故選：B.

4.若向量￡=(2,3),B=則加在￡上投影向量的坐標是()

、、、、

A，［(123，-313jB-(23C(［一2百3，百)D.(卜2百廠3值］

【答案】B

【解析】因為a=(2,3),b=(-1,1)>則同=12。+3?=V13,a-b=—2+3=1>

a-by_1_

所以辦在￡上的投影向量a=-a=

13信￡l

故選：B.

5.將函數y=4sin2x的圖象向左平移個單位長度后得到函數y=g(X)的圖象，再把函

數y=g(x)的圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標保持不變)，得到函數

y=〃(x)的圖象，則函數N=〃(尤)的圖象的一條對稱軸的方程為()

371771-971971

A.x——B.x——C.x——D.x-——

32646432

【答案】A

jr

【解析】首先將函數y=4sin2x的圖象向左平移7個單位長度后得到函數

16

g(x)=4sin2卜+[)=4sin[2x+(),

再把函數y=g(x)的圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標保持不變),

得到函數=4sin[4x+]J,最后令4%+方=]+左兀,左wZ,解得％=三+岸,左wZ,

即〃(x)=4sin14%+方J的對稱軸為X=+

3幾

所以函數y=〃(x)的圖象的一條對稱軸的方程為兀=記.

故選：A.

6.若sin[a+：)=,則sin2cr=()

11

A.——B.-C.-

555

【答案】A

2H=2si斗+￡|—1

【解析】sin2a=-cosI2ar+I=-cos1

5

故選：A.

7.已知函數/(x)=Asin(0x+0)10〉O,A〉O,|d<W勺一段圖象過點(0,1),如圖所

示，則函數/(1)=()

1\建

0獨尸

12112V

A./(x)=sin^2x+^

B./(x)=2sin

C./(x)=sinj^2x+^D./(x)=2sinf

【答案】D

27r

【解析】由圖知，7=兀，則。=臼=2.

71

且圖象經過(W，oj,

由圖知，“X)在x=$取得最大值,

6

故小臥.［牌］=0,

JTJT

所以一一十°=2E/￡Z,故"二一-+2kit,kEZ,

66I

又因為ld<g,所以

26

函數又經過(0,1),故/(O)=Asin：7=1,得A=2.

5

sinf2x+?l

所以函數/(%)的表達式為〃x)=2

故選：D.

8.在三棱錐A—BCD中，和△BCD均為邊長為2的等邊三角形，AC=3,則該

三棱錐的外接球的表面積是()

82兀83K28兀

r.——B.——C.-----D.28兀

993

【答案】C

【解析】由題意如圖所示：設E為3。的中點，連接

設P,G分別為△AB。，△5C。的外接圓的圓心,

過P,G分別作兩個半平面的垂線，交于。，則可得。為該三棱錐的外接球的球心,

連接OC,0E,則0C為外接球的半徑,

由△A5D與△BCD均為邊長為2的等邊三角形,則AE=CE=—x2=43,

2

212

AZ72_1_CP_ACQQ_Q1

又AC=3,則由余弦定理可得cosZAEC=——-------=-

2AE-CE2xv3xV32

所以NAEC=120°,

因為尸，G分別為△AB。，△BCD的外接圓的圓心，

所以CG=2CE=^^,EG=-CE=—,

3333

可得VOPEWOGE,可得NOEC=60。，而NOGE=90°,所以0G=6EG=l,

7

在AOGC中：R2=OC2=OG2+CG2=I2+

3

所以外接球的表面積S=4兀叱=——.

3

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知復數z=2+J丞，則（）

A.z虛部為B.z是純虛數

c.Z的模是件D.z在復平面內對應的點位于第四象限

【答案】AC

【解析】對A：由虛部定義知z的虛部為百，故A正確；

對B：純虛數要求實部為0,故B錯誤；

對C：忖=百+力了=耳,故C正確；

對D：z在復平面內對應的點為僅，有)，位于第一象限，故D錯誤.

故選：AC.

10.如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則這些函數為“互為生成函數”.下列函數中,

與/(x)=cosx構成“互為生成函數”的有()

A.工(x)=sinxB.力(x)=sinx+cosx

X

C.(x)=2sin2D.7(xj=sin—cos—

24

【答案】AC

【解析】f(x)=cosx=sin由/(x)=sinx,

則將fi(%)的圖象向左平移］個單位長度后，即可與/(X)的圖象重合;

由fi(x)=sinx+cosx=A/2sinj=0sin［x+：J,

則于2(x)圖象無法經過平移與/(x)的圖象重合；

由力(x)=2sin2［鼻=1-cosx=1+sin,

則將力(%)的圖象向左平移兀個單位長度后，再向下平移1個單位長度后，

即可與/(%)的圖象重合；

由%(x)=sin|cos|=gsinx,則f4(%)的圖象無法經過平移與/(%)的圖象重合,

故A,C中的函數與〃龍)“互為生成函數”.

故選：AC.

11.已知函數〃x）=sing+；10>0）在區間（0,兀）上有且僅有3個零點，則（）

A.*x）在區間［0,兀］上有且僅有4條對稱軸

7?

B.”幻的最小正周期可能是一

2

C.。的取值范圍是日■，與

U4J

D./⑺在區間上單調遞增

【答案】CD

【解析】對C：由函數/（x）=sin［0x+；］（0〉O）,令（ux+：=E,kwZ,

（4左一1）兀

貝壯二^------左￡Z,

4。

函數/（X）在區間（0,兀）上有且僅有3個零點，即0<（41）“<71有且僅有3個整數k符合,

4G

（4左一1）兀

由0<--------<兀，得0<4k—1<4。，則攵=1,2,3,

4G

BP4x3—1<4-co<4x4—1,—<gV—,故C正確;

44

,.「八171717t兀

對于A：-.-XG0,71,/.69X+—G—.CDTI+—二.外兀+^￡（3兀，4兀］.

L」4\_44

兀（7兀）

當加+片3兀,彳時，/（%）在區間［0,兀］上有且僅有3條對稱軸；

當M+g,4兀時，/CO在區間［0,可上有且僅有4條對稱軸，故A錯誤;

對于B：周期T吟,由小T，則'凈,唔，

兀8兀8兀、兀

又/正石，所以，⑺的最小正周期不可能是5，故B錯誤;

又0J?,?],.?.罷+祟，口所以/（無）在區間上單調遞增，故D正確.

144」154I302」I15J

故選：CD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知YABCD中，E是線段CD上靠近O的三等分點，^BE=AAB+^AD,則

4+〃=.

【答案】-

3

—?2—?

【解析】因為￡是線段CD上靠近。的三等分點，所以CE=—CD,

3

_2_______________,2__?__?

所以瓦k：=反+在=詬+—麗=——AB+AD,

33

又屁=2礪+〃M,且通與而不共線，

一2

2=—21

所以3,所以2+〃=—§+1=§.

、〃=1:'

故答案為：—.

3

13.在正方體ABC。—A4Goi中，直線AC與AR所成角的大小為.（用角

度表示）

【答案】60°

【解析】如圖：

連接AG，BC「易知4G〃AC,所以Nga即為AC與48所成的角或其補角,

易知VABG為等邊三角形，所以NB41G=60°.

故答案為：60°.

14.已知平面內A,3,C三點不共線，且點。滿足麗.礪=礪.覺=函.歷，則。是

△ABC的心.（填“重”或唾”或“內”或“外”）

【答案】垂

【解析】由函?礪=礪?反?元，

知麗?瓦=麗.（麗-反卜西?礪-礪比=0,

OABC=OA（OC-OB）=OAOC-OAOB=0,故WC4,OA1BC,

從而。為AABC的垂心.

故答案為：垂.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知O為坐標原點，A（4,0）,C（0,3）.

（1）若A5c三點共線，求實數加的值；

⑵若點M滿足加=%函+（2-反，求|兩|的最小值.

解：⑴因為4（4,0）,B（l,m）,C（0,3）＞

所以。=（1,M-（4,0）=（-3,m）,AC=（0,3）-（4,0）=（-4,3）,

又A5C三點共線，所以林/謊，

9

所以-3x3=-4加，解得加二一.

4

（2）因為A（4,0）,C（0,3）,所以函=（4,0）,OC=（0,3）,

所以加=%忠+（2—x）反=X（4,0）+（2-X）（0,3）=（4X,6-3X）,

所以|說心^(4X)2+(6-3X)2=V25X2-36X+36

所以當x=；|時|荻，n=24

y

16.已知角々的終邊經過點（—4,3）,尸為第一象限角，cos￡=半.

（1）求sin（。一，）的值;

（2）求tan（2。—，）的值.

解：（1）???角a的終邊經過點（—4,3）,方為第一象限角，cos0=當

-4

5,sina=m,sin0—41-cos?0—，

sin(a-/7)=sinacos尸—cosasin尸=|x乎-4x12

55

/、「、，=sina3,ta小皿」

(2)由⑴得tana=------

cosa4cos02

3

2tana24

tan2a2

1-tan2a19T

-16

24_￡

hc、tan2a-tanB7211

,tan(2a-/?)=----------------二——

1+tan2atan/?[+_24「

17.如圖，四棱柱ABC。—AAGA底面ABC。是正方形，Z4AB=Z^AD.

（1）證明：平面A3。〃平面cn耳;

（2）證明：平面45。，平面ACG4.

解：（1）由題意可知：BB[〃DDi，BB]=DD[,可知8旦口。為平行四邊形，

則與且6。二平面CRB一耳Qu平面CQ耳，可得平面。。出，

又因為Ag〃CD,=CD,可知4與8為平行四邊形，

則4。〃用。，且4。＜Z平面CD4,4Cu平面C2耳，可得A。〃平面CD4,

且5。口4。=。，3D，ADu平面43。，所以平面48。〃平面CQ]耳.

（2）因為ABCD為正方形，則AC13。，

因為/.A^AB=NqAD,A^A=AAAD=AB,

則ziAAB二△AAD,可得40=46,

設ACnBD=O,可知。為BD的中點，則A0L5。，

且Acnao=o,4。，4。匚平面4。儲4，可得3D工平面AC￡A，

由50u平面48。，所以平面43。，平面ACC[A].

18.已知函數/'（無）=sin2x+J5cosxsin尤-1.

（1）求/（尤）的單調遞增區間；

⑵在銳角44BC中，角A,3,C所對的邊分別為”,4c,6=2,且〃A）=g,求AABC

面積的取值范圍.

解：⑴因為/（x）=sin2x+百cosxsinx-l,

.（x_l-cos2xJ3、,r1c1

=

//T以f\x）----------------------1-----------sin2x—1——sin2x—cos2x—,

即f(x)-sin]2x-^

2

,jIjIjIjIj?

令2kjt---<2x---<2kli+—.kGZ,解得kit---<X<^TI+—,Z:GZ,

26263

所以/(x)的單調遞增區間為kji-^,kji+^,keZ.

(2)結合(1)問，因為/(x)=sin12x-W卜g，

所以/(A)=sin(2A_V-萬

r即=1,

JIJIr][

所以2A—=2^71+—,GZ,即A=歷r+—,左EZ.

623

因為在銳角AA5C中，AG0,^,所以A=?

因為/?=2,所以Sa”=—Z?csinA=—x2xcxsin—=c-

心2232

Ch/jein「

在AA5c中，由正弦定理可得」一二」即。二要上，

sinCsinBsinB

在△450中易得51110=5111(4+5)=511111+5),

2sin[；+32—cosB+-sinB

bsinC(22A/3COSB+sinBg1

c=------y=--------------=------F1

sinBsin5sinBsin8tan8

因為△ABC為銳角三角形，且A=］，且易得。=吃一3,

0<B<-

2兀7t

所以《，得Be，-，所以tanB>,

623

Q<—~B<-

32、

易得1<2-+1<4,即1<C<4,所以S/BC=[bcsinA=4ce

,26.

12

tan3227

故AABC面積取值范圍為,2A/3.

19.若A,B,C是平面內不共線的三點，且同時滿足以下兩個條件：①|福卜|四4；②存

AGAB

在異于點A的點G使得：而與荏+正同向且，則稱點A,B,C為

可交換點組.已知點A,B,C是可交換點組.

(1)求NB4C；

（2）若A（-LO）,B（2網,C（x,y）（y>0）,求C的坐標；

（3）記a,b,c中的最小值為min{a,/?,c},若|AB|=26,耳存=：（赤+/），點尸

滿足畫=1,求min{中.麗，麗.七無.刑的取值范圍.

解：（1）因為前與通+蔗同向，