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文檔簡介
初中數(shù)學(xué)中考常考模型
知識點(diǎn)概覽
目錄
知識一三角形中的倒角模型...........................................2
模型1.三角形中的倒角模型之“A”字模型.......................................................2
模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型.......................................................2
模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型........................................................3
模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型.............................................3
模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型.....................................4
模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型.............................................5
模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型.........................................5
知識二全等三角形模型...............................................6
模型1.全等三角形模型之截長補(bǔ)短模型........................................................6
模型2.全等三角形模型之倍長中線模型........................................................7
模型3.全等三角形模型之一線三等角模型......................................................7
模型4.全等三角形模型之手拉手模型..........................................................8
模型5.全等三角形模型之半角模型...........................................................10
模型6.全等三角形模型之90。-90。對角互補(bǔ)型..................................................12
模型7.全等三角形模型之60。-120。對角互補(bǔ)型.................................................13
模型8.全等三角形模型a—180°-?對角互補(bǔ)型.................................................14
模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型.................................................15
知識三相似三角形模型..............................................16
模型1.相似三角形模型之“A”字模型..........................................................16
模型2.相似三角形模型之“X,字模型(“8”字模型).............................................16
模型3.相似三角形模型之“AX,字模型(“48”字模型)..........................................17
模型4.相似三角形模型之“母子型”模型(共邊共角模型)......................................18
模型5.相似三角形模型之一線三等角模型.....................................................19
模型6.相似三角形模型之手拉手模型.........................................................20
模型7.相似三角形模型之半角模型...........................................................21
模型8.相似三角形模型之對角互補(bǔ)模型.......................................................23
模型9.相似三角形模型之矩形中的十字架型...................................................25
模型10.相似三角形模型之等邊三角形中的斜十字型...........................................26
必記核心知識點(diǎn)
知識一三角形中的倒角模型
模型1.三角形中的倒角模型之“A”字模型
如圖,B、份別是/物輛邊上的點(diǎn),連結(jié)8G形狀類似于英文字母4故我們把它稱為“心字模型。
條件:如圖,在AA3c中,ZKN2分別為N3、/4的外角;
結(jié)論:①/l+/2=/A+180°;②N3+/4=/D+/E
證明:@':Z1=ZA+ZACB.\Z1=ZA+18O°-Z2AZl+Z2=ZA+180°o
②在AABC中,/A+/3+/4=180。;在AAOE中,ZA+ZD+ZE=180°/.Z3+Z4=ZD+ZEo
模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型
圖1圖2
1)8字模型(基礎(chǔ)型)
條件:如圖1,AO、BC相交于點(diǎn)O,連接AB、O;結(jié)論:?ZA+ZB=ZC+ZD;?AB+CD<AD+BC.
證明:在AABO中,ZA+ZB+ZAOB=180°;
在ACOD中,ZC+ZD+ZC<9Z)=180o;
VZAOB=ZCOD:.ZA+ZB=ZC+ZD;
在AA80中,AB<AO+BO;在ACOD中,CDCCO+DO;
:.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC;:.AB+CD<AD+BCo
2)8字模型(加角平分線)
條件:如圖2,線段AP平分/54O,線段CP平分/BC。;結(jié)論:2NP=NB+/D
證明:?線段A尸平分線段C尸平分/BCDAZBAP=ZPAD,ZBCP=ZPCD
VZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②
①+②得2/P=/B+/D,則/尸=g(ZB+/。),即2/P=NB+ND
模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型
圖1圖2
基本模型:條件:如圖1,凹四邊形/a9結(jié)論:?ZBCD=ZA+ZB+ZD;@AB+AD>BC+CD?
證明:連接AC并延長至點(diǎn)尸;在ZkABC中,ZBCP=ZBAC+ZB;在△ACD中,ZDCP=ZCAD+ZD;
XVZBAD=ZBAC+ZDAC,NBCD=NBCP+/DCP;:/BAD+/B+/D=/BCD。
延長6出近點(diǎn)P;在ZW舛,A8+AQ>BC+C。;在△切沖,CQ+QD>CD
gp.AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD故筋+CD。
拓展模型1:條件:如圖2,B附外NABC,勿平分N42C;結(jié)論:Z^l(ZJ+ZC)o
2
證明:平分NA2C,0D平分NADC;AZABO^^-ZABC;ZADO^^ZADC;
22
根據(jù)飛鏢模型:NBOD=NA瞅NA吩NA=L/A冊L/AgNA;/BCD=/ABC^NADC+/A;
22
:.2/BOD=/ABC+/ADC+2/A=/BOA/A;即工(NZ+NC)。
2
模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型
1)兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件:如圖1,在AABC中,NABC和NACB的平分線BP,CP交于點(diǎn)P;結(jié)論:N尸=90°+g/A。
證明:和/ACB的平分線8尸,CP交于點(diǎn)P,:.NPBC=^NABC,ZPCB=-ZACBo
22
o
AZ^=180-(ZPBC+APCB)=180°-1(.NABC+/ACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+LZ^o
222
2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1
條件:如圖2,BP、CP平分/ABC、ZDCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸;結(jié)論:2ZP=ZA+ZDo
證明:?:BP、CP平分/ABC、ZDCB,:.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB
22
AZJP=180°-QPBC+/PCB)=180°-1Q/ABC+/DCB)=180°-1(360°-//-/〃)=4QA+/D)。
222
即:2NP=4A+ND。
3)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2
條件:如圖3,CP、DP平分/BCD、NCDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸;結(jié)論:2ZP=ZA+/B+NE-180°。
證明:CP,0P平分/BCD、ZCDE,:.ZPCD^-ZBCD,ZPDC^-ZCDE
22
:.ZP=180°-(ZPCD+ZPDC)=180°1(4BCD+/CDE)=180°1(540°NA+/D+4
22
£40°o即:2/P=/A+/D+/E-\80°o
模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型
1)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型
條件:如圖1,在A4BC中,BP平分/ABC,CP平分NACB的外角,兩條角平分線相交于點(diǎn)P;結(jié)論:NP=g/A.
證明:?:BP、CP平分/ABC、ZACD,:.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD
22
j_]_
:.NP=/PCD-/PBC3(ZACD-ZABC)=2
2)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型(累計(jì)平分線)
條件:如圖2,ZA=a,ZABC,ZACD的平分線相交于點(diǎn)片,/耳BC,/耳CD的平分線相交于點(diǎn)P2,ZP2BC,
的平分線相交于點(diǎn)A……以此類推;結(jié)論:/巴的度數(shù)是會.
證明:VBPi,CPi平分/ABC、ZACD,:.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD
22
11111a
———CL---0C--
:.NP\=NP\CD-/P\BC=2(/ACD-NAEC)=2/A=2。同理:5=2/p、=*,/只=2"
模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型
1)兩外角平分線的夾角模型
條件:如圖1,在AABC中,BO,CO是△ABC的外角平分線;結(jié)論:ZG>=90°-1zA.
證明:CO平分NCBE、ZBCF,:.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF
22
:.Z0=180°-CZOBC+ZOCB)=180°-1(ZEBC+ZBCF)=180°-1(ZA+ZACB+ZABC+ZA)
22
J_J_
=180°-2(180°+/A)=90°+2//。
2)旁心模型旁心:三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)
條件:如圖2,B岡令/ABC,切平分N2謝]外角,兩條角平分線相交于點(diǎn)2;結(jié)論:A母分/CAD。
證明:如圖3,過點(diǎn)打乍川£LH4、DNLAC、DHLBC,
,:B置令/ABC,切平分乙4廓外角,
.*.DH=DM,DH=DN,;.DM=DN,;.AD平分/CAD。
模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型
1)條件:如圖1,在口ABC中,AD,AE分別是口ABC的高和角平分線,結(jié)論:ZDAE=1(ZC-ZB).
2)條件:如圖2,尸為口ABC的角平分線AE的延長線上的一點(diǎn),F(xiàn)DLBC于D,結(jié)論:ZDFA=1(ZC-ZB).
A
圖1圖2
1)證明:?;AE平分/R4C,:.ZEAC=^ZBAC,
':ZBAC=180°-ZB-ZC,ZE4C=1(1800-ZB-ZC)=90°-1zB-izC,
Z.NEAD=NEAC-NDAC=90°-1zB-|zC-(90°-ZC)=-(ZC-ZB);
222
2)證明:如圖,過A作AG_LBC于G,由(2)可知:Z£AG=1(ZC-ZB),
???AG1BC,ZAGB=90°,FD1BC,:.ZFDC=90°,ZAGD=ZFDC,FD//AG,
ZAFD=ZEAG,ZAFD=-(ZC-ZB).
2
知識二全等三角形模型
模型1.全等三角形模型之截長補(bǔ)短模型
條件:為AABC的角平分線,ZB=2ZCo結(jié)論:AB+BD=ACo
證明:法1(截長法):在線段AC上截取線段A夕=43,連接。及
為AABC的角平分線,AZBAD=ZB'AD,':AD=AD,:.AABD^AAB'D(SAS)
ZB=ZAB'D,BD=B'D,VZB=2ZC,:.ZAB'D=2ZC,:.ZAB'D=2ZC,:.ZB'DC=ZC,
:.B'C=B'D,:.BD=B'C,AB'+B'C=AC,:.AB+BD=ACo
法2(補(bǔ)短法):延長AB至點(diǎn)C使得AC=AC,連接2C。
:AD為ZvlBC的角平分線,AZC'AD=ZCAD,':AD=AD,/.ACADIACAD(SAS)
.\ZC=ZC,?:/B=2/C,:.ZB=2ZC,:.ZBDC'=ZC,:.BC'=BD,
\'AB+BC'=AC,:.AB+BD=ACo
模型2.全等三角形模型之倍長中線模型
1)倍長中線模型(中線型)
圖1圖2
條件:AD為以臺。的中線。結(jié)論:AABD蘭AECD
證明:延長至點(diǎn)E,使OE=A。,連結(jié)CE。
「AD為AABC的中線,:.BD=CD,VZBDA=ZCDE,:.4ABD9叢ECD(S4S)
2)倍長類中線模型(中點(diǎn)型)
條件:AABC中,D為BC邊的中點(diǎn),E為AB邊上一點(diǎn)(不同于端點(diǎn))。結(jié)論:AEDB^4FDC。
證明:延長即,使DF=DE,連接C凡
?.?。為BC邊的中點(diǎn),:.BD=DC,?:/BDE=NCDF,;.AEDB咨4FDC(SAS)
模型3.全等三角形模型之一線三等角模型
1)一線三等角(K型圖)模型(同側(cè)型)
銳角一線三等角直角一線三等角(“K型圖”)鈍角一線三等角
條件:NA=NCED=NB,AE=DE;結(jié)論:QABE^ECD,AB+CD=BC。
2)一線三等角(K型圖)模型(異側(cè)型)
銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角
條件:NDCF=NABC=NAED,AE=DE;結(jié)論:QABE^ECD,AB-CD=BC。
1)(同側(cè)型)證明:VZAEC=ZB+ZBAE,ZB=ZAED,:.ZAEC=ZAED+ZBAE,
*.?ZAEC=ZAED+ZCED,NBAE=/CED□
在A4BE和ZECD中,ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED;J.QABE^ECD,
:.AB=EC,BE=CD,':BC=BE+EC,:.AB+CD=BC.
2)(異側(cè)型)證明:;NDCF=/ABC,:.ZECD=ZABE,
':ZABC=ZAEB+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,
:.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,;.ZA=ZCED,
在zlABE和ZECD中,ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED;:.QABE^JECD,
:.ABEC,BECD,":BC=EC-BE,:.AB-CD=BC.
模型4.全等三角形模型之手拉手模型
1)雙等邊三角形型
條件:AABC和均為等邊三角形,C為公共點(diǎn);連接BE,AZ)交于點(diǎn)入
結(jié)論:①△ACD四△2CE;②BE=AD;③NAFM=NBCM=60。;④CF平分/BFD。
證明::△ABC和△OCE均為等邊三角形,:.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=6Q°
:.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即:ZBCE=ZACD,:.AACD咨ABCE(SAS),
:.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,:NCMB=/AMF,:.ZAFM=ZBCM=60°,
過點(diǎn)C作CPIADCQIBE,則/CQB=NCE4=90。,又,:4CBE=4CAD,BC=AC,:.ABCQ^/\ACP(AAS)
:.CQ^CP,根據(jù)角平分線的判定可得:CF平分NBFD。
2)雙等腰直角三角形型
條件:△ABC和△DCE均為等腰直角三角形,C為公共點(diǎn);連接BE,AO交于點(diǎn)N。
結(jié)論:①△ACD/△2CE;②BE=AD;③/ANM=/BCM=90。;④CN平分/BND。
證明::AABC和△OCE均為等腰直角三角形,:.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=90°
:.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即:.AACD沿乙BCE(SAS),
:.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又?:NCMB=NAMN,:.ZANM=ZBCM=9Q°,
過點(diǎn)C作CPIADCQIBE,則/CQB=NCB4=90。,又,:2CBE=2CAD,BC=AC,:.ABCQ^/\ACP(AAS)
:.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得:CN平分NBND。
3)雙等腰三角形型
條件:BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點(diǎn);連接BE,AO交于點(diǎn)八
結(jié)論:①△ACD/△3CE;②BE=AD;③/BCM=/AFM;④CF平分/BFD。
證明:";NBCA=/ECD,:.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BCE=/AC。,
又;BC=AC,CE=CD,:.LACD咨ABCE(SAS),:.BE=AD,ZCBE=ZCAD,
又Z.ZBCM=ZAFM,過點(diǎn)C作則NCQB=/CB4=90°,
又?:/CBE=/CAD,BC=AC,:.ABCQ^AACP(.AAS)
:.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得:CF平分/BFD。
4)雙正方形形型
條件:四邊形ABCD和四邊形CEPG都是正方形,C為公共點(diǎn);連接BG,ED交于點(diǎn)N。
結(jié)論:①LBCG會ADCE;②BG=DE;③NBCM=/DNM=9。。;④CN斗分NBNE。
證明::四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,:.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°
ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即NBCG=NDCE,:.ABCG沿4DCE(SAS),
:.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,:/CMB=/DMN,:.ZBCM=ZDNM=9Q°,
過點(diǎn)C作CP_LDE,CQ人BG,則NCPD=/CPB=90。,又,:/CBG=NCDE,BC=DC,:.4BCQ會4DCP(AAS)
;.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得:CN平分NBN。。
模型5.全等三角形模型之半角模型
1)正方形半角模型
條件:四邊形ABCD是正方形,NECF=45°;結(jié)論:①ABCE出ADCG;②LCEFqACGF;?EF=BE+
DF-,④AA所的周長=2AB;⑤CE、CF分別平分和NEFD。
證明:將△CBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△CDG,即△CBE四/XCDG,
?.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG;
是正方形,:.NB=NCDF=NBCD=9。。,BA=DA;:.ZCDG+ZCDF^180°,故RD、G共線。
丫ZECF=45°,ZBCE+ZDCF=45°,:.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,ZECF=ZGCF=45°,
,:CF=CF,/.△CEF^ACGF,:.EF=GF,,:GF=DG+DF,:.GF=BE+DF,:.EF=BE+DF,
:.\AEF^]^^z=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過點(diǎn)C作CHIEF,則/C〃E=90°,
?:ACEF^/\CGF,(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等),再利用HL證得:△C3E@
ZHEC=ZCBE,同理可證:ZHFC=ZDFC,即CE、C尸分別平分NBEP和NEFD。
2)等腰直角三角形半角模型
條件:AABC是等腰直角三角形(ZBAC=90°,AB=AC),ZDAE=45°;
結(jié)論:①ABAD2ACAG;②△ZME//XGAE;③NECG==90。;?DE2=BD2+EC2;
證明:將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4CG,即△BAD經(jīng)△C4G,
ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG;
ZDAE=45°,:.ZBAD+ZEAC=45°,NCAG+NEAC=NGA£=45°,ZDAE=ZGAE=45°,
?:AE=AE,:.ADAE^/\GAE,:.ED=EG,:AABC是等腰直角三角形,AZACB=45°,;.NECG=9。。,
:.GET=GC2+EC2,:.DET=BD2+EC2;
3)等邊三角形半角模型(120。-60。型)
條件:AABC是等邊三角形,ABDC是等腰三角形,5.BD=CD,ZBDC=120°,/EDF=60。;
結(jié)論:①△8£>E之△C£)G;②AEDFmAGDF;③EF=BE+CF;④AAEF的周長=2A&
⑤DE、DF分別平分和ZEFCo
證明:將△DBE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至△DCG,即△BDE也
ZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG;
VZBDC=120°,ZEDF=60°,:./BDE+/CDF=60。,:.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,
,:DF=DF,:.4EDF"AGDF,:.EF=GF,*:GF=CG+CF,:.GF=BE+CF,:.EF=BE+CF,
:.\AEF的周長=EF+AE+AF=5E+CP+AE+AF=AB+AC=2AB,
過點(diǎn)D作DH/EF,DM±GF,則/D郎=NDMF=90。,
VAEDF^AGDF,,。蛆。以(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等),再利用HL證得:4DHF名△DMF,
:.ZHFD=ZMFD,同理可證:ZBFD=ZFED,BPDE,。尸分別平分/BE尸和/EFC。
4)等邊三角形半角模型(60。-30。型)
條件:AABC是等邊三角形,ZEAD=30°;
1([\Y
結(jié)論:①△BD4g△(7班;②△D4Eg△胡E;③/ECF=120°;@DE2=(-BD+EC)2+BD;
2UJ
證明:將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至八4。「,即△BADTZkCAF,
ZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA=60°,AD=AF,BD=CF;
,:ZDAE=30°,:,ZBAD+ZEAC=3Q°,:.ZCAF+ZEAC=ZFAE=30°,:.ZDAE=ZFAE=30°,
':AE=AE,:.ADAE^/\FAE,:.ED=EF,ABC是等邊三角形,/.ZACB=60°,Z.ZECF=120°,
V3V3
過點(diǎn)F作FH-1BC,/.ZFCH=60°,ZCFH=30°,:.CH=-CF=-BD,FH=——CF=——BD,
2222
1J3
,/在直角三角形中:FE1=FH2+EH2,:.DE2=(-BD+EC)2+(——BD)2
22
模型6.全等三角形模型之90。-90。對角互補(bǔ)型
1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)
條件:如圖,已知/AOB=/Z)CE=90。,OC平分/AOB.
結(jié)論:①CD=CE,②OD+OE=COC,③S“CE=50°理+S口c”=^OC2.
CzZJCzSLIClzCUCC/Lz2
證明:過點(diǎn)C作CM_LO。,CN±OB,:./CMD=NCNE=9Q。,:OC平分/AOB,:.CM=CN,
又:NA08=/£>(?£■=90°,:.NMCN=90°,:.ZMCD=ZNCE,:.AMCD^/\NCE;:.CD=CE,
根據(jù)上述條件易證:四邊形ONCM為正方形,;./CON=45。,OM=ON,
又OD+OE=OM-DM+ON+NE,:.OD+OE=OM+ON=2ON=亞OC,
2
4MCD會MNCE,:.SAMCD=SANCE'S0DCE=Sa0NCD+SacNE=SD0NCD+SacMD=Sa0NCM=^OC
2)“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(同側(cè)型)
結(jié)論:①CD=CE,②OE—OD=GOC,③用COE-S口C0?=LOC2.
證明:過點(diǎn)C作CM_LO。,CNLOB,:.ZCMD=ZCNE=9Q°,VOC^ZAOB,:.CM=CN,
又?..NAO2=NDCE=90°,:.NMCN=90。,:.ZMCD=ZNCE,
:AMCD必NCE;:.CD=CE,MD=NE,根據(jù)上述條件易證:四邊形ONCM為正方形,
ZCON=45°,OM=ON,XOE-OD=ON+NE-(DM-OM),:.OE~OD=ON+OM=2ON=^2.OC,
AMCDANCE,(2
AMCD會ANCE,:.S=SSLCOE-SLCOD=SacNE+SLCON-SLCMD-SLCM0)=SLCON+SLCM0=1OC-
模型7.全等三角形模型之60。-120。對角互補(bǔ)型
1)“等邊三角形對120。模型”(1)
條件:如圖,已知NAOB=2NZ)CE=120。,0c平分NAOR
結(jié)論:①CD=CE,②。。+OE=OC,③SUC,UDU+SU口CUOc,E=24OC、
證明:過點(diǎn)C作CAf_LOZ),CNLOB,:.ZCMD=ZCNE=90°,:OC平分NAOB,:.CM=CN,
又,.?NAOB=2/r)CE=120°,ZAOB+ZDC£=180°,AZCDO+ZCEO=180°,
ZCDO+ZCDM=180°,AZMDC=ZCEO,:.4MCD9叢NCE;:.CD=CE,MD=NE,
十八1百
VOC^-^-ZAOB,:.ZCON=ZCOM=60°,:.ON=OM=—OC,NC^MC^—OC.
22
又,/OE+OD=ON+NE+OM-DM,:.OE+OD=ON+OM=OC,
2
,:AMCD^ANCE,:.SAMCD=SANCE,-"-SacOD+SaC0E=SOCMO-SacMD+SaCNE+SacON=SOCON+SacM0=—OC。
2)“等邊三角形對120。模型”(2)
條件:如圖,已知NAOB=2/OCE=120。,0c平分/AOB,4DCE的一邊與8。的延長線交于點(diǎn)。,.
結(jié)論:①CD=CE,②OD—OE=OC,③一星^=@OC?.
UCCzLzUCC/ii4
證明:過點(diǎn)C作CM_LO。,CN±OB,ZCMD=ZCNE=9Q°,:OC平分/AOB,:.CM=CN,
又:/AOB=2/nCE=120°,ZAOB+ZDCE=1SO°,ZAOB+ZMCN=1SO°,ZDCE=ZMCN=60°
:.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,:.ZMCD=ZNCE,:AMCD沿4NCE;:.CD=CE,MD=NE,
F八1V3
;OC平分/AOB,/.ZCON=ZCOM=60°,:.ON=OM=-OC,NC=MC=——OC=
22
又,/0D-0E=0M+DM-(NE-ON),:.0D-0E^0N+0M^0C,
2
;AMCD冬ANCE,:.S&MCD=S&NCE':?SncoD-Snc0E=SLCM0+5:CMfl-(SDCAf£-SLC0N)=Snc0N+SLCM0=^-OC。
模型8.全等三角形模型a-180。以對角互補(bǔ)型
1)“a對180。r模型"
條件:四邊形ABC。中,AP=BP,ZA+ZB=180°o結(jié)論:OP平分/A08。
證明:過點(diǎn)P作P£_LOA,PF.LOB,:.ZAEP=ZBFP=90°,
VZA+ZB=180°,ZOAP+ZP4£=180°,:.ZEAP=ZBo
"AP=BP,:./XPAE^/\PBF,:.PE=PF,尸平分/AOB。
注意:如下圖:①A六BP,②//+/后180°,③0呼分/A0B,以上三個(gè)條件可知二推一。
模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型
條件:1)如圖1,在正方形ABC。中,若E、尸分別是BC、CO上的點(diǎn),AELBFx結(jié)論:AE=BF。
證明:;四邊形A8CD是正方形,ZABE==90°,AB=BC,:.ZBFC+ZCBF=90°
-.-AE±BF,:.ZAEB+ZCBF=90°,ZAEB=ZBFC,:.AAB£^ABCF(SAS),:.AE=BF。
條件:2)如圖2,在正方形ABC。中,若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點(diǎn),AE±GF;結(jié)論:AE=GF。
證明:在PC上取一點(diǎn)P,使得連結(jié)BP。
;四邊形ABCD是正方形,.,.4B//C。,.,.四邊形BPFG是平行四邊形,...GB/BP,GF=BP,
同1)中證明,可得AE=GG
條件:3)如圖3,正方形A8CD中,若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AO上的點(diǎn),EHLGF;
結(jié)論:HE=GF。
證明:在FC、BE上取一點(diǎn)尸、Q,使得GB=PF,AH=QE,連結(jié)8尸、AQ.
;四邊形ABCD是正方形,.?.AB//CD.,.四邊形8PFG是平行四邊形,;.G尸//BP,GF=BP,
同理可證得:四邊形AQE"是平行四邊形,〃/,AQ=HF,同1)中證明,可得HE=GF。
知識三相似三角形模型
模型1.相似三角形模型之“A”字模型
,,從,,字模型圖形(通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn))的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”(是對應(yīng)角),再有一個(gè)角相等或夾
這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例,就可以判定這兩個(gè)三角形相似。
①,幺”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型
.ADAEDE
證明:ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,:.AADE^AABC,""AB=AC=^C°
ADAEDE
②反“A”字模型條件:如圖2,NAED=/B;結(jié)論:AADEsAACB^AC=AB=^C°
證明:AZA=ZA,(公共角)AADE^AACB,釬。
ACAnnC
③同向雙“4”字模型條件:如圖3,EF//BC;
結(jié)論:AAEF^AABC,AAEG^/\ABD,AAGF^>AADC<^>==
BDCDAD
證明::EF〃2C,AZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,:.AAEF^AABC,
同理可證:AAEGsAABD,AAGF^AADC,,言=77;=/。
AnACnC
④內(nèi)接矩形模型條件:如圖4,AABC的內(nèi)接矩形。EFG的邊EF在BC邊上,D、G分別在AB、AC邊
上,且AM」BC;結(jié)論:△ADGs/\ABC,AADNs^ABM,AAG^AACM<^>DG=AN_=AN_O
BCABAM
證明:是矩形J.DG//EF,:.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,J.AADG^AABC,
同理可證:AADNSAABM,AAGNs叢ACM,;.DG=AN_=AN_
BCABAM
模型2.相似三角形模型之“k,字模型(“8”字模型)
“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對頂角”,再有一個(gè)角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)
三角形相似.
①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型
①“8”字模型
△:ABOAOB
條件:如圖1,AB//CD;結(jié)論:/\AOBsCOD=~CD~OCT~ODQ
?-AO。OB
證明:???A8〃C0,AZA=ZC,/B=ND,:.AAOB^ACOD,'t~CD=~dc='ODo
②反“8”字模型
條件:如圖2,NA=NO;結(jié)論:AAOBSADOCQ等=果=黑。
證明:ZAOB=ZDOC,(對頂角)/.△AOB^ADOC,?,?等=果=尊。
③平行雙“8”字模型
條件:如圖3,AB//CD;結(jié)論:AE=fiE=ABo
DFCFCD
證明::人?〃。/),.?./4=/£>,ZAEO=ZDFO,:.AAEO^^\DFO,
同理可證:ABEOSACFO,△ABOsADCO,:.妊=吧=些。
DFCFCD
④斜雙“8”字模型
條件:如圖4,Z1=Z2;結(jié)論:△AODs^BOC,AAOB^Ar>OC^>z3=Z4o
證明::/l=/2,NA0D=N20C(對頂角),:.AAOD^/\BOC,:.AO:BO=DO:CO,BPAO:DO=BO:CO;
?.,/AOB=NDOC(對頂角),:.△AOBs^DOC,.*.Z3=Z4=
模型3.相似三角形模型之“AW字模型(“A8”字模型)
①一“A”+“8”模型②兩“4”+“8”模型(反向雙“4”字模型)③四“A”+“8”模型
RBB
圖1圖2圖3
①一"4,,+”8,,模型條件:如圖1,DE//BC;
結(jié)論:AADE^^ABC,ADEFsACBF,o絲=絲=匹=空=住。
ABACBCFCBF
證明::OE〃BC,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,:.AADE^AABC,,%=蕓=黑
ADACnC
"DE//BC,:.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,:.ADEF^^\CBF,:.些=尤=里。
BCFCBF
.AD_AEDE_DF_FE
?,瓦一就一菸一7E一茄。
②兩“A”+“8”模型條件:如圖2,DE//AF//BC;
結(jié)論:
ADAFsADBC,ACAF^/\CED,OJ_=J_+J_?
AFBCDE
AZDAF=ZB,ZDFA=ZDCB,:ADAFs叢DBC,.?.空=竺。
DCBC
,:DE〃AF,:.ZCAF=ZE,ZCFA=ZCDE,:./\CAF^ACED,.?.空=竺。
CDDE
兩式相加得到:空+色=竺+竺,即1=竺+竺,故工=工+工。
DCDCBCDEBCDEAFBCDE
③四“A”+“8”模型3條件:如圖3,DE//GF//BC;結(jié)論:AF=AG,—+—=—=—=—o
BCDEAFAGGF
證明:同②中的證法,易證:—+-L=X,_L+_L=_L,
BCDEAFBCDEAG
,BPAF=AG,故1?1_1_2。
AFAGBCDEGFGF
F
模型4.相似三角形模型之“母子型”模型(共邊共角模型)
“母子”模型的圖形(通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn),由于小三角形寓于大三角形中,恰似
子依母懷),也是有一個(gè)“公共角”,再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三
角形相似。
1)“母子”模型(斜射影模型)
條件:如圖1,ZC=ZABD;結(jié)論:AA
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