微專題03代數式'整式與因式分解

考點精講

構建知識體系

，一加減運算

i?妥；一|整代的運算的運算川,-

J乘怯運算N卜囚式分密

列代數式）特殊I'I應用

,一t_.相反（一i一k

[乘法公式卜:4公式法I

考點梳理

L代數式（6年6考）

用加、減、乘、除及乘方等運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做

弋數式的概念

代數式

列代數式找出問題中的數量關系及公式，用含有數字、字母和運算符號的式子表示一

（1）直接代入法：把已知字母的值代入代數式，并按原來的運算順序計算求值

（2）整體代入法（整體思想）：①觀察已知條件和所求代數式的關系；

代數式求值

②將所求代數式變形后與已知代數式成倍數關系，一般會用到提公因式法、平

方差公式、完全平方公式

2.整式的有關概念（6年2考）

⑴整式有關概念

[T?次敕為2+3=5

系數耳引兒,

概念：由數字與字母或字母的①所組成的代數式叫做單項式.單獨一個數字或

單項式字母也是單項式；

單項式的系數：單項式中的數字因數；

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數之和

概念：幾個單項式的和叫做多項式；

多項式

多項式的次數：多項式中次數最高項的次數，如的次數是②

⑵同類項：所含字母相同，并且相同字母的③也相同的項.所有常數項都是同類項一

3.整式的運算（6年4考）

（1）幕的運算

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超導文字表達符號表示

同底數累相乘底數不變，指數相加am-an=am+n(rn,〃都是正整數)

同底數會相除底數不變，指數相減amjran-c^~\a=^,m,〃都是正整數，且加＞〃)

募的乘方底數不變，指數相乘(am)n=amn(rn,n都是正整數)

積的每個因式分別乘方，

積的乘方(ab)n=anb'\n為正整數)

再把所得的累相乘

⑵整式的運算

①整式的加減，可歸結為去括號與合并同類項

②單項式的乘法運算：把系數、同底數累分別相乘作為積的因式，單獨出現的字母連同它的指

數作為積的因式

③多項式的乘法運算法則：m(a+6+c)=/na+"z0+/nc；

(m-\-b)=ma~\-mb~\-na-\-nb

平方差公式：(a+b)(a—b)=@

(3)乘法公式

完全平方公式:色土人尸二⑤

4.因式分解(6年2考)

⑴概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式

(2)方法：①提取公因式法：ma-\-mb=m(a+b)；

②公式法：a2—b2=(a-\-b)(a—b),a2±2ab-\-b2=(a±b)2

5.非負數(6年2考)

(1)常見的非負數類型有次，1|,VF(c>0)

⑵若幾個非負數的和為0,則每個非負數的值均為0,如：若/+"I+VF=0,則有a2=0,I

bI=0,Vc=0,即a=b=c=0

練考點

1.下列對代數式一3x的意義表述正確的是()

A.—3與x的和

B.-3與x的差

C.-3與x的積

D.—3與x的商

2.(1)已知尤=—1,則f+2x=；

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(2)已知2a—6=1,則代數式8a—4。+2的值為.

3,已知一個單項式的系數是2,次數是3,則這個單項式可以是()

A.3/B.2m3n

C.—2X2〉D.2a3

4.]3y2是次單項式.

5.計算：

(1)―2x+x—;

2A3—x3=;

;

⑶(—2/)3=；

(4)2X2-(X—1)=;

(5)(x-l)(2x+1)=;

⑹(x+2)2=;

(x+2)(x-2)=.

6.分解因式：

(l)xz—xy=;

(2)2/-8=;

(3)X2+4X+4=.

7.(1)若Ix-1I+Jy-l=O,則x+2y的值為;

(2)若N+1+Jy+2=1,則孫的值為;

(3)J2-x+Jx-2=0,則x的值為.

高頻考點

考點1列代數式及求值(6年6考)

例1(人教七上習題改編)根據題意列代數式：

(1)原量a增加10%為;比原量a的九倍多根為；

(2)原價a的8折為;

(3)尤個單價為a元的商品與y個單價為b元的商品總價為元;

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（4）每天完成的工作量為a,則要完成m的工作量所需天數為;

（5）一月份的產值為a萬元，二月份的產值比一月份減少了加％,三月份的產值比二月份增加

了“％,則三月份的產值為萬元.

例2求下列代數式的值：

⑴已知N+x—2=0,則2x2+2x的值；

（2）已知x+y=3,xy=2,則（工一丁產的值為；

（3）（2024成都）若加，"為實數，且（機+4>+Jn—5=0,則（根+”）2的值為.

考點2整式的有關概念（6年2考）

例3（2024佛山南海區一模）單項式3r3表示球的體積，其中兀表示圓周率，「表示球的半徑,

下列說法正確的是（）

A.系數是%次數是3B.系數是孑，次數是3

C.系數是￡次數是4D.系數是京，次數是4

變式1（2024廣元）如果單項式一_?陟3與單項式2犬>2-”的和仍是一個單項式，則在平面直角

坐標系中點（加，〃）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考點3整式的運算（6年4考）

例4（2024煙臺）下列計算結果為a的是（）

A.a2-a3B.a,2-ra2C.a3-ha3D.（a2）3

例5（人教七上習題改編）計算：

（1）（1+尤）（1—%）+%（%+2）；

（2）已知產一盯一5=0,求（3孫S—G%3}?）;?盯+x（2%一））的值.

考點4因式分解（6年2考）

例6（北師七上習題改編）因式分解：

⑴4辦2—=；

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(2)4xy2—4x2y_y3—；

⑶⑦—4)①+l)+3p=.

變式2(2024中山模擬)下列因式分解正確的是()

A.%2—x=x(x+l)B.a2—3a—4=a(a—3)—4

C.a2+Z?2—2aZ?=(a+/?)2D.x2—y2=(x+y)(x—y)

考點5規律探索(2019.16)

例7根據下列數式規律，回答問題：

⑴等差類有一列數1，3,5,7,9,…，依照此規律，則第〃(佗1)個數是；

(2)等比類有一列數3,9,27,81,243,…，依照此規律，則第〃(定1)個數是;

⑶遞增類有一列數1，2,4,7,11,…，依照此規律，則第冏(定1)個數是；

(4)周期類有一列數一1,1,—1,1,—1,…，依照此規律，則第〃(瘧1)個數是；

(5)平方類按一定規律排列的單項式：次，4a3,9a，16宗，…，則第〃個單項式是.

例8根據下列圖形規律，回答問題：

⑴圖形個數固定累加把白色正方形按圖①所示的規律拼圖案，則第5個圖案中白色正方形的

個數是;

truLTLTLIUULTLI

例8題圖①

⑵圖形個數遞增累加如圖②都是由同樣大小的圓點按一定規律組成，則第8個圖形中圓點的

個數是;

23

例8題圖②

⑶圖形個數為兩種變化之和如圖③都是由同樣大小的正三角形按照一定規律組成，則第〃個

圖形中正三角形的個數是.

△7\

△ZXAAAZXAA

例8題圖③

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真題及變式

命題點1代數式求值（6年5考）

1.（2021廣東5題3分）若Ia—WI+^9a2-12ab+4爐=0,貝|ab=（）

A.V3B.1C.4V3C.9

2.（2020廣東13題4分）若Ja—2+Ib+1I=0,則（。+。）2°2。=.

3.（2020廣東14題4分?人教八上習題改編）已知x=5—y,孫=2.計算3尤+3廠4盯的值

為.

4.（2021廣東15題4分.北師八下習題改編）若總且OVxVl,則％2—妥=.

變式

4.1變思維方式——直接平方變為化簡后整體帶入

已知工——，那么斗土的值為

yxx—yxy

命題點2整式的有關概念（6年2考）

5.（2022廣東12題3分）單項式3盯的系數為.

6.（2020廣東12題4分）如果單項式3/y與一5x5；”是同類項，那么m+n=.

命題點3整式的運算（6年4考）

7.（2024廣東5題3分）下列計算正確的是（）

A—2c5—clOR八8?萬2———4

A.a-a——aD.ci~ci——a

C.~2a+5a=laD.(a2)5=a10

8.(2021廣東4題3分?人教八上習題改編)已知9m=3,27n=4,32m+3n=()

A.1B.6C.7D.12

9.(2020廣東18題6分?人教八上習題改編)先化簡，再求值：(%+y)2+(x+y)(x—y)~2%2,其中

x=^2,y=y[3.

命題點4因式分解（6年2考）

10.（2023廣東11題3分）因式分解：％2—1=.

11.（2020廣東11題4分）分解因式：盯一x=.

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命題點5規律探索（2019.16）

12.（2019廣東16題4分）如圖①所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖

所示，小明按圖②所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個這樣的

圖形（圖①）拼出來的圖形的總長度是（結果用含公人代數式表示）.

第12題圖

拓展訓練

13.（2024東莞模擬）如圖，已知NMON=30。，點Ai,A2,A3,…，在射線ON上，點囪，史,

B3,在射線0M上，△A1B1A2,△A2及A3,△4及心…均為等邊三角形，若04=1,則

△A2019B2019A2020的邊長為.

第13題圖

新考法

14.［代數推理］（2024珠海模擬）杰杰是一位密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信

息：a—b,x—y,x+y,a-\-b,^—y2,分別對應下列六個字：海、愛、我、珠、麗、

美,現將（——產）次—@2一,2）/因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.珠海美麗C.愛我珠海D.美我珠海

15」數形結合］（北師七下復習題改編）如圖①，有兩個正方形A,B,現將3放在A的內部如圖

②所示，將A,3并排放置后構造新的正方形如圖③所示.若圖②和圖③中陰影部分的面積分別

為1和12,則正方形A,B的面積之和為（）

A.11B.12C.13D.14

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16.［跨信息技術學科］日常生活中我們常使用的數是十進制數，而計算機程序使用的數是二進

制數(只有數碼0和1),它們兩者之間可以互相換算，如將二進制數1001記為(1001)2,換算

成十進制數應為：(1001)2=1x23+0x22+0x21+1x20=9,按此方式，將二進制(101)2換算成十

進制數為.

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考點精講

①乘積②3③指數④屋一廿⑤。2±2"+/

練考點

1.C

2.(1)-1；(2)6

3.D

4.5

5.(1)—X；/；(2)x4；x6；(3)—8x6；(4)2^—2x2；(5)2x2—x~l；(6)x2+4x+4；%2—4

6.(l)x(x-v)；(2)2(x—2)(x+2)；(3)(x+2)2

7.(1)3；(2)0；(3)2

高頻考點

例1(l)tz(l+10%)；tzn+m；

(2)0.8a；(3)(ax+by)；(4)：；

(5)a(l-m%)(l-hn%)

例2(1)4；【解析】V%2+%-2=0,：.JC2+X=2,：.2X2+2X=2(X2+X)=2X2=4.

(2)1；【解析】?.?(x—y)2=/—2xy+y2=(x+y)2—4盯，.,.當％+丁=3,孫=2時，原式=3?

—4X2=9—8=1.

(3)1【解析】(m+4)2+Jn—5=0,機+4=0且〃-5=0,解得—4,〃=5,；.(m+

n)2=(-4+5)2=1.

例3B【解析】，/的系數是，，次數是3.

變式1D【解析】?.?單項式一一勺3與單項式2x4,2-“的和仍是一個單項式，...單項式—0^3

與單項式2%4廣〃是同類項，gm=4,2—〃=3,解得m=2,〃=—1,??.點(加力在第四象限.

例4D【解析】兒次./=層+3=。5,故A選項不符合題意；：3.。12+后=。12-2="0,故B選

項不符合題意；C.a3+a3=2ai,故C選項不符合題意；D.(/＞二/y二不，故D選項符合題

思.

例5解：⑴原式ul—f+N+Zx

=1+2%；

(2)原式=丁2-212+2%2-孫=y2一孫，

y1—孫—5=0,原式=5.

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例6(l)a(2x+y)(2x—y)；

(2)-y(2x—y)2；

(3)(p+2)(p-2)

(1)M^=G(4X2—y2)=tz(2x+y)(2x—y)；(2)原式=-ydd—dxy+y2)：—yQx—yp；(3)

原式MpZ—Sp—d+Spu/—dMg+z)⑦-2).

變式2D【解析】A.原式=x(x—1),故本選項不符合題意；B.原式=(a—4)(a+l),故本

選項不符合題意；C.原式=(。一。)2,故本選項不符合題意；D.原式=(x+y).(x—y),故本選項

符合題意.

例7(1)2〃一1；(2)3"；(3)|/—)+1；(4)(—1)"；(5)層a#］

例8(1)18；(2)36；(3)3〃+2

真題及變式

1.B【解析】?「Ia—V3I+19a2—12ab+4b2=Ia—V3I+/(3a—2b)2=0,

a=V3&60

(a—A/3—0

，解得b3V3--*-^=V3X—=-.

(3a—2b=0

2

2.1［解析］：la-2+Ib+1I=0,...卜―2=0,解得］_2+o=°

N5+1=0kb=-l

=1.

3.7【解析】Vx=5-y,??.x+y=5,又：孫=2,二原式=3(x+y)—4盯=3X5—4X2=15

-8=7.

4..—65【解析】?.”+%=/,??.(x—32=(x+》-4=(當2—4=空，?.,0Vx<l,.，.x—工<0

36x6xx636x

?1_5

??%~—二/一專=（九+$（，一》=￡乂（—1）=—1|.

%6

x2+y2(x~y)2+2xy

變式4.13［解析］—工=上，...□=上，.?.孫=(X—>)2,.?2+2=

yxx~yxyx-yxyxyxy

=理=3

xy

5.3

6.4【解析】?.,單項式3x?y與一5%3,"是同類項，.,.m=3,n=l,.*.m+n=3+l=4.

7.D【解析】逐項分析如下:

選項逐項分析正誤

A