二次函數圖象信息

專題講練1圖象信息（一）——代值法

考點拋物線過兩點代入拋物線解析式聯立

【典例1】（2024海淀期末）如圖所示為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標軸的交點，

且OA=OC=1,則下列關系中正確的是（）

A.a+b=-lB.a-b=-lC.b<2aD.ac<0

變式1.如圖，在正方形ABCD中點A,C的坐標分別是（1,2）,（-1,-2）,點O,B在拋物線y=-^x2+bx+c上，則b+

c的值是（）

A3

4——Bc?后D

2-1-

22

變式2.（2024.安徽）已知點A（X],%）在拋物線y=-x+2%上，點B（xr+t，乃+八）（勺>0,t>0）在y=-x+

4x上,h=3t,求h的值.

考點二代值后再配方

【典例2]（2024福建）已知二次函數y=/一2ax+a（a豐0）的圖象經過A^>y1],B（3a,y2）兩點，則下列判

斷正確的是（）

A.可以找到一個實數a,使得yi>aB.無論實數a取什么值，都有y.>a

C.可以找到一個實數a，使得.y2<0D.無論實數a取什么值，都有%<0

變式1.二次函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點在第一象限,且經過（0,1）、（-1,。）兩點,若s=a+b+c,則s的

取值范圍（）

A.O<s<lB.0<s<2C.l<s<2A.-l<s<l

變式2.（2024.大連）如圖，菱形OABC邊長為2,點C在y軸負半軸上拋物線y=a/過點B,若/AOC=60。,則a

專題講練2圖象信息（二）-----多結論問題⑴

題型-結合圖象并注意頂點、對稱軸的運用求解

【典例1】如圖，拋物線y^ax2+bx+c（a豐0）與y軸的交點在（0,-2）的下方，對稱軸是直線x=l,下列四

個結論：（①a+b+3c<0;②b2-4ac<8a;③at2-bNa-bt;④3b-2c<0.其中正確的是_______.（填序號）

【方法】⑴與x軸交點信息，代值；

⑵頂點縱坐標信息，最大或最小；

（3）注意等式與不等式相結合，將等式代入不等式得新的不等關系.

變式.拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數）的頂點在第二象限，且a+b+c=0.下列四個結論:①b<0;②a-b+c>0;③

a-b-c>0;④若￡<-3,則當x<-l時，y隨x的增大而增大.其中正確的結論是______（填序號）.

考點二注意代值法的理解（過兩點代入相減）

【典例2】（2022.武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數）開口向下，過A（-l,0）,B（m,0）兩點且l<m<2.下

列四個結論:①b>0;②若m=|,則3a+2c<0;③若點在拋物線上，xi<久2,且與+久2>1，則為>

為；④當a<-l時，關于x的一元二次方程ax2+bx+c^1必有兩個不相等的實數根.其中正確的是________（填寫

序號）.

專題講練3圖象信息（三）——多結論問題（2）

考點一數形結合，二次函數與方程、方程組

【典例】（2024.武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a）0）與x軸交于點（m,0）,（2,0）,其中下列結論:①bc>0;

②2b+3c<0;③不等式ax2+bx+c<-^x+c的解集為0<x<2;④若關于x的方程a(x-m)(x-2)=-l有實數根，則b2-

4ac>4a.其中正確的是________.（填寫序號）

【方法】（1）開口方向與坐標軸交點信息確定a,b,c符號；

（2）與x軸交點信息，代值；

⑶將方程解轉化為直線與拋物線交點.

考點二絕對值函數，注意兩種情形畫圖理解

變式1.（2023?武漢）拋物線y=a/+法+c（a；b）c是常數,c<0）經過（1,1）,（111,0）,（11,0）三點，且吟3.下列四個結論：

①b<0;②4ac-b2<4a;③當n=3時，若點（2,t）在該拋物線上，則t>l]④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=x

有兩個相等的實數根，則0<64點

其中正確的是_________（填序號）.

變式2.（2023?武漢四調）函數y=x2+b\x\-4（b為常數）有下列結論：

①無論b為何值該函數圖象過定點（0,-4）;②若b=2則當x<l時,y隨x增大而減小③該函數圖象關于y軸對稱；

④當b>0時，該函數的最小值是-4.

其中正確的結論是（填序號）.

專題講練4圖象信息（四）——多結論問題⑶

考點一數形結合與換元法運用

【典例】（2024.武漢）拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數,a<0）經過（-1,1）,（111,1）兩點且0<m<L下列四個結論：

①b>0;②若0<x<l,Jl!］（a（x-l）2+b（x-1）+c>1;③若a=-l,則關于x的一元二次方程ax2+bx+c-2無

實數解；④點4（久1，%）,33少2）在拋物線上，若久1+%2>->%2總有71<乃廁0<m4點

其中正確的是.

考點二注意圖象的增減性

變式.（2023?永春月考）已知拋物線y^ax2+bx+c（a*0）經過（—3,0）,,頂點是（-1，球且n<0,,下列四個

結論：①abc<0;②4a+2b+c<0;③ax?+bx>0的解集是x<-2或x>0;④點（t-2，y。（t+1，%）在拋物線上，當《2

時，月〉月?其中正確的是________（填序號）.

專題講練5圖象信息（五）一多結論問題⑷

考點一注意數形結合與特殊點的函數值

【典例】（2024?武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數,0<a<c）經過點其中m<0.下列結論：

①b>0；②關于x的一元二次方程a/+法+?=o一定有一個根是小于1的正數；

③當x<l時，y隨x的增大而減小；④分式。的值小于3.

D—CL

其中正確的結論是_______（填序號）.

考點二注意函數的對稱性，并注意頂點、交點、對稱軸三大信息

變式.（2023?江夏月考）二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a?0）的圖象開口向下，與x軸交于（1,0）和（m,0）,

且-2<m<-1..有下列結論:①abc>0;②2a+c<0;③若方程a（x-m）（x-1）-1=。有兩個不相等的實數根，則

4ac-b2<4a;④當m=-弼，若方程Ia/+bx+c|=1有四個根，則這四個根的和為一點其中，正確結論的一

專題講練6圖象信息（六）——二次函數中新定義

考點一待定系數法與判別式問題

【典例】（2023.南安模擬）定義：如果兩個函數圖象上至少存在一對點是關于原點對稱的，則稱這兩個函數互為

“關聯函數’，這對對稱的點稱為“關聯點'，例如：點P（-3,9）在函數y=/上，點Q（3,-9）在函數y=-2x-3上，點P與

點Q關于原點對稱，此時函數y=/和y=-2x-3互為“關聯函數L點M與點N則為一對，關聯點L已知函數丫=

/+2"口y=4x+n-2022互為“關聯函數，，則n不可能是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

考點二不經過某點問題

2

變式1.(2023?洪山月考)若對于任意非零實數a，拋物線y=ax+ax-2a總不經過點P(x0-2%0-6),則符合條

件的點P()

A.有且只有1個B.有且只有2個

C.有且只有3個D.有無窮多個

變式2.(2023?岳陽)若一個點的坐標滿足(k,2k),我們將這樣的點定義為“倍值點”.若關于x的二次函數y=(t

+l)x2+(t+2)x+s(s,t為常數，字-1)總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是()

A.s<-lB.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

二次函數圖象信息

專題講練1圖象信息(一)——代值法

【典例1]B

解:由圖知A(-l,0),C(0,l)代入y=ax2+bx+c中得

產一力+c=0,

tc=1,

a-b=-l.故選B.

變式1.D

解:過點B作MNLx軸作AMLMN于點M,

CN±MN于點N,；.Z\AMB04BNC,

(m+l=2-n,

、八—1),

設[〃+2=m—1,

2b+C=1,

???{cc=0,

=>b717b+,c=-1.

22

(Vi=-X\-vlx\,

變式2.解：,,,

\yi+3f=-(zi+^)2+4(xi+f)，

2

???3t=—t—2xrt+2/+4t,

(t-l)(t+2%D=0,

vt+2%iH0,??.t=1,h=3.

【典例2]C

解yi=-fa2+a,72=3a2+a,故答案為C.

4

變式1.B

解：易知｛很h=2b,

a=b-1

又x=-b<a>0,a<0,0<b<1,故0<s<2.

變式2.-1

專題講練2圖象信息(二)——多結論問題⑴

【典例1】①③④

解:①\*x=1時,y=a+b+c<0,c<0,

a+b+3c<0,①對';

②頂點的縱坐標小于-2,

4"<—2=>b2—4ac>8a,②錯；

4a一"

③x=l,y最小,③對；

@Vx=-l時y>0,

CL—Z)+c>0n------b+c>0,

2

???3b-2c<0,(D孌t.

變式.①②

解:①過(1,0),-白<0,故a<0nb<0;

2a

②由圖象知x=-l,y>0;

③由a-b-c=2a-(a+b+c)=2a<0;

④???/=10打?冷=：<-3=犯V—3.

【典例2]①③④

解：①%=-菖>0nb>0;

②Xi-x2=-1=：=3a+2c

=0;

③代入相減易知；

(c)

④頂點縱坐標y=4。/=-°-=>-a<c<-2a,又V-2<-x2<-1,7>-a,故y>l.

專題講練3圖象信息(三)一多結論問題⑵

【典例】②③④

解:(l)b<0,c>0,bc<0①錯；

g、Aa+2b+c=0一、入"/八

(2),八=2b+3c<0;

-la+b+c<0

⑶由圖象知③對；

(4)y=ax2+b%+c=a(%—m)(x—2)=—1有實根,

即y=a/+f+c有交點，

y=-1

□ri4ac—匕21

即-----《一1=>/一4ac>4a.

4a

變式1.②③④

解：①畫出草圖，開口向下，頂點在第一象限，

-->0b>0;

2a

②4"：：">1今4ac-b2<4a;

③t-l=3a+b,又xr+x2>3,

.??一2>3今3a+b>0,t>1;

a

Gra+b+c=1

?kb-iy-4ac=0=>a=c'

mn=l=>n>3=>m<|,0<m<|.

變式2.①③④

解:①x=0,y=4過點(0,-4);

②b=-2時，y=%2-2|%|-4=

x2—2x—4(x>0)

x2+2x—4(x<O'

兩段拋物線的對稱軸X=l,x=-1;

③對;④b>0,函數圖象為

專題講練4圖象信息(四)—多結論問題⑶

【典例】②③④

解：①對稱軸%=^,-l<x<0,b<0,故①錯誤；

②令x-l=t，則由圖象知y^at2+bt+c>l,故②正確；

③y=—%2+bx+c過(-l,l),c=b+2,頂點縱坐標y=-b2+b+2=-+1,TI—1<b<0,y<2故③正

確；

?y2-yi=。(必-xf)+/>(x2-/)

=(x2-x1)[a(x1+x2)+b]>0,

>x2,???a(%i+%2)+b<0,

^i+^2>-;)-l+m=2x(-￡)=-5

1、1I

-->一1+犯

0<m<

2

變式.①③④

解：：拋物線經過(-3,0),頂點是(-1,n),且n<0,

頂點為最低點，即拋物線開口向上，a>0,

由拋物線的對稱性可得拋物線經過(I,0),

-3<x<l時,y<0,

?*-x=0時，拋物線與y軸交點在x軸下方，即c<0,

=—1,b—2a>0,

2a

abc<0,①正確.

當x>l時,y>0,

x=2時,y=4a+2b+c>0,②錯誤.

b=2a,

???ax2+bx=ax2+2ax=ax(x+2),

..?拋物線y=ax2+bx與x軸交點坐標為(0,0),(-2,0),

Va>0,拋物線開口向上，

/?x<-2或x>0時,y>0,③正確.

當t<-2時,t-2<-4,t+l<-i,

Vx<-1時,y隨x增大而減小，

-yi>y2，④正確.

故答案為:①③④.

專題講練5圖象信息(五)—多結論問題(4)

【典例】②③④

解：①根據題意畫圖知，對稱軸為X=-^>0fb<0,①錯誤；(

。卜!一

②與X軸交點0<X1<1,X2>1,故②正確；加手

③a+b+c=m<0,，-b=a+c-m,???對稱軸x=-—=°+'一僧>2a~m>1,???％vl時，y隨x的增大而減小；

2a2a2a

@a+b+c-4a-2b+c

b-a-----3--=-----b-a,

當x=-20^,y=4a-2b+c>O,b-a<O,

_|_i_4a-2b+c八a+b+c八

故

變式.①②③

解:①v拋物線開口向下,?,.a<0,

???-2<m<-1,/.-i<—<0,

22

—<-----V0,bV0,

22a

：(111,0),(1,0),在丫軸左右兩側，

..?拋物線與y軸交點在X軸上方，即c>o,

abc>0,①正確.

(2)—<-----<0,a<0,b<0,

」22a

b>a,

;拋物線經過(1,0),

a+b+c=0,

/.a+c=-b

2a+c=a-b<0,②正確.

③??,拋物線開口向下，，拋物線與直線y=l有兩個交點時，拋物線頂點縱坐標大于1,

2

即4℃一”>1,4ac—b<4a,

4a

，方程a(x-