§4數據的數字特征1．能結合具體情境理解不同數字特征的意義，并能根據問題的需要選擇適當的數字特征來表達數據的信息．2．通過實例理解數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差．1．眾數(1)定義：一組數據中出現次數________的數稱為這組數據的眾數．(2)特征：一組數據的眾數可能________個，也可能沒有，它反映了該組數據的________．眾數體現了樣本數據的最大集中點，但它對其他數據信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征．2．中位數(1)定義：一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排成一列，處于________位置的數稱為這組數據的中位數．(2)特征：一組數據中的中位數是________的，反映了該組數據的________．中位數是樣本數據所占頻率的等分線，它不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是優點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點．【做一做1】某班50名學生右眼視力的檢查結果如下表所示：視力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人數113434468106則該班學生右眼視力的眾數為__________，中位數為__________．3．平均數(1)定義：一組數據的和與這組數據的個數的商叫做這組數據的平均數，數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)＝________________.(2)特征：平均數對數據有“取齊”的作用，代表該組數據的________．任何一個數據的改變都會引起平均數的變化，這是________和________都不具有的性質．所以與眾數、中位數比較起來，平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的________，但平均數受數據中的________的影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低．【做一做2】對甲、乙二人的學習成績進行抽樣分析，各抽4門功課，得到的觀測值如下：甲65828085乙75657090問：甲、乙誰的平均成績較好？4．標準差(1)定義：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計算s＝________________________________________________________________________.可以用計算器或計算機計算標準差．(2)特征：標準差描述一組數據圍繞________波動的大小，反映了一組數據變化的幅度和離散程度的大?。畼藴什钶^大，數據的離散程度較________；標準差較小，數據的離散程度較______．【做一做3】從某項綜合能力測試中抽取100人的成績如下表，則這100人成績的標準差為()．分數54321人數2010303010A．eq\r(3)B．eq\f(2\r(10),5)C．3D．eq\f(8,5)5．方差(1)定義：標準差的平方，即s2＝________________________________________________________________________.(2)特征：與標準差的作用________，描述一組數據圍繞平均數波動的大?。?3)取值范圍：________.數據組x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，標準差為s，則數據組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為非零常數)的平均數為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2，標準差為as.【做一做4】下列能刻畫一組數據離散程度的是()．A．平均數B．方差C．中位數D．眾數6．極差(1)定義：一組數據的最______值與最______值的差稱為這組數據的極差．(2)特征：表示該組數據之間的差異情況．極差利用了數據組中最大和最小的兩個值，對極值過于敏感．但由于只涉及兩個數據，便于得到，所以極差在實際中也經常應用．【做一做5】一組數據3，－1，0，2，x的極差是5，則x＝__________.平均數與標準差(方差)這兩個數字特征在實際問題中如何應用？剖析：平均數反映的是數據的平均水平，在實際應用中，平均數常被理解為平均水平．標準差反映的是數據的離散程度的大小，反映了各個樣本數據聚集于樣本平均數周圍的程度，標準差越小表明在樣本平均數的周圍越集中；反之，標準差越大，表明各個樣本數據在樣本平均數的兩邊越分散．在實際應用中，標準差常被理解為穩定性，常常與平均數結合起來解決問題．例如，要從甲、乙兩名射擊運動員中選一名參加20XX年倫敦奧運會，如果你是教練，你會制定怎樣的選拔標準？制定怎樣的選拔方案？選拔標準是：要考慮射擊運動員的射擊水平即平均射擊環數，再就是考慮射擊運動員發揮的穩定性．當射擊環數的平均數不相同時，選擇平均數較大的運動員；當射擊環數的平均數相同時，選擇發揮穩定(標準差較小)的運動員．選拔方案：讓這兩名運動員在相同的環境中進行相同次數的射擊，比如參加射擊世錦賽、世界杯、國際邀請賽、熱身賽或國內比賽，并記錄每次射擊的環數．然后計算兩名運動員射擊環數的平均數和方差，再根據選拔標準作出選擇．題型一平均數、中位數、眾數的應用【例題1】某公司30名職工的月工資(單位：元)如下：職務董事長副董事長董事總經理經理管理員職員人數11212320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工的月工資的平均數、中位數、眾數．(2)假設副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么該公司職工的月工資的平均數、中位數、眾數又是多少？(精確到元)(3)你認為哪個統計量更能反映這個公司職工的月工資水平？結合此問題談一談你的看法．分析：根據平均數、中位數、眾數的概念求解．反思：平均數是將所有的數據都考慮進去得到的量，它是反映數據集中趨勢最常用的量，中位數可靠性較差，當一組數據中個別數據變動較大時，常用中位數表示該組數據的集中趨勢．而眾數求法較簡便，也經常被用到．考查一組數據的特征時，這三個數字特征要結合在一起考慮．大多情況下人們會把眼光僅停留在工資表中的最大值與最小值處，把最高工資作為一個單位工資的評價，這是一種錯誤的評價方式．題型二標準差、方差的計算【例題2】已知一個樣本為x,1，y,5，其中x，y是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x2＋y2＝10))的解，則這個樣本的標準差是()．A．2B．eq\r(2)C．5D．eq\r(5)反思：深刻理解平均數、方差的計算公式，靈活應用x＋y＝2和x2＋y2＝10進行整體求解是提高解題速度的關鍵．題型三綜合應用題【例題3】對劃艇運動員甲、乙二人在相同的條件下進行了6次測試，測得他們最大速度(m/s)的數據如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根據以上數據，試判斷他們誰更優秀．分析：分別計算兩組數據的平均值與方差，然后加以比較并作出判斷．反思：判斷甲、乙兩運動員成績的優劣，通常用平均數和方差作為標準來比較，當平均數相同時，還應考察他們的成績波動情況(方差)，以達到判斷上的合理性和全面性．1(2011廣東汕頭期中，6)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數據的中位數和平均數分別是()．A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和922甲、乙兩臺機床同時生產一種零件，現要檢驗它們的運行情況，統計10天中兩臺機床每天出的次品數分別為甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.則出次品數較少的為()．A．甲B．乙C．相同D．不能比較3已知一個樣本中含有5個數據3,5,7,4,6，則樣本方差為()．A．1B．2C．3D．44已知一組數據x1，x2，…，xn的方差是a，那么另一組數據x1－2，x2－2，…，xn－2的方差是________．5對甲、乙的學習成績進行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測值如下：甲6080709070乙8060708075問：甲、乙誰的平均成績較好？誰的各門功課發展較平衡？答案：基礎知識·梳理1．(1)最多(2)不止一集中趨勢2．(1)中間(2)唯一集中趨勢【做一做1】1.20.83．(1)eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)(2)平均水平眾數中位數信息極端值【做一做2】解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,4)(65＋82＋80＋85)＝78，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4)(75＋65＋70＋90)＝75，∴甲的平均成績較好．4．(1)eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2])(2)平均數大小【做一做3】B這100人的總成績為5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，則平均成績為eq\f(300,100)＝3，則這100人成績的標準差為eq\r(\f(1,100)[(5－3)2×20＋(4－3)2×10＋(3－3)2×30＋(2－3)2×30＋(1－3)2×10])＝eq\f(2\r(10),5).5．(1)eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](2)相同(3)[0，＋∞)【做一做4】B方差能刻畫一組數據離散程度的大?。?．(1)大小【做一做5】－2或4典型例題·領悟【例題1】解：(1)平均數是eq\f(5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×20,30)＝2050(元)，中位數是1500元，眾數是1500元．(2)平均數是eq\f(30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×2＋2000×3＋1500×20,30)≈3367(元)，中位數是1500元，眾數是1500元．(3)在這個問題中，中位數或眾數均能反映該公司職工的月工資水平．因為公司中少數人的月工資與大多數人的月工資差別較大，這樣導致平均數與職工整體月工資的偏差較大，所以平均數不能反映這個公司職工的月工資水平．【例題2】D∵x＋y＝2，x2＋y2＝10，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(x＋1＋y＋5)＝eq\f(1,4)[(x＋y)＋6]＝2，s2＝eq\f(1,4)[(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2]＝eq\f(1,4)[(x2＋y2)－4(x＋y)＋18]＝eq\f(1,4)×20＝5，∴s＝eq\r(s2)＝eq\r(5).【例題3】解：eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s甲2＝eq\f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq\f(1,6)×94≈15.7，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，s乙2＝eq\f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq\f(1,6)×76≈12.7.∴eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，s甲2＞s乙2．這說明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩定，故乙比甲更優秀．隨堂練習·鞏固1．Aeq\x\to(x)＝90＋eq\f(1,8)(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位數＝eq\f(91＋92,2)＝91.5.2．Beq\x\to(x)甲＝1.5，eq\x\to(x)乙＝1.2.3．Beq\x\to(x)＝eq\f(3＋5＋7＋4＋6,5)＝5，則方差s2＝eq\f(1,5)[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6