2025年中考數學總復習《分式與二次根式》專項測試卷（附答

案）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.7^12B.73c.布D.J冗-4

2.計算（工］的結果是（）

\a—b)

6a2B.畀6a29a2

A.———-C("4D?(j)2

a-ba-b

Q方門申加7孫

3.夕口>TvyjJAJCC?中的X、y都擴大3倍,那么分式的值（）

2x-3y

C.縮小g

A.擴大3倍B.擴大9倍D.不變

11

分式(x+5)(5—x)2和（5+x）2（x.5）的取"年公分母是（）

A.(j;+5)3(5—x)3B.(X+5)2(X-5)2C.(X+5)3(%-5)2D.(%+5)2(x-5)3

5.下列方程中，有實數根的是（）

A.

-L-l=iB.y/x-5+Jx+l=0

x+1X

C.J2%—5=Jx+：3+<2-xD.y/x+2=-x

6.下列運算正確的是()

A.V2+A/3=75B.3A/3-A/3=3

C.V3x>/5=V15D.后+而=4

1211

7.已知A=1—下列判斷：①計算結果A=-彳加+彳；②A隨機的增大而增

ni-lm-122

大；③當機=2時，A=.其中正確的是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

8.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式,

也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為

S=ga62_]/+；c]|現已知VABC的三邊長分別為〃=省,6=2,o=如，則

VA3C面積為（）

A.；布B.|vnC.VnD.1V15

二、填空題

9.已知（a-2）0=1,那么。應滿足的條件是.

io.觀察下列各式：/式=1一上，…請寫出你歸納的一般結論：—

1x222x3233x434

（用含"的代數式表示）.

-,11u加2〃+3ab-2b,,/土日

11.已知一一-=5,則--——1的值是_____

aba-2ab-b

12.已知庖-應=a應-應=b近,貝!|a+%的值是.

13.如圖，一只螞蟻從長、寬都是3,高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到8點，那么它

所行的最短路線的長是.

B

//

/k——

2

14.已知一個分式幺（。為正整數），對該分式的分母與分子分別減1,成為一次操作，以

a

此類推，若干次操作后可以得到一個數串"，上^,通過實際操作，某

〃一1〃一2〃—3

同學得到了以下四個結論：

①第3次操作后得到的分式可化為近二2辿=止2+￡=。+3+±.

〃一3〃一3〃—3〃—3

12

②第4次操作后的分式可化為。+4+」—.

〃一4

③若第5次操作后得到的分式可以化為整數，則a的正整數值共有7個.

④若經過〃次操作后得到的分式值為10,則滿足這個條件的。的值有1個，且“+〃=10.

以上四個結論中正確的有.（只填寫序號）

15.已知：如圖，在正方形438外取一點E,連接AE,BE,DE.過點A作AE的垂線

交DE于點尸，連接BP.若AE=AP=1,PB=>/5.下列四個結論中，正確的結論有個.

①△APD^AAEB；②EB_LED；③點8到直線AE的距離為及；④S正方形=4+布.

三、解答題

16.計算：2025。義卜5|+囪一[(]+V2cos45°.

17.計算:

⑴炳+版-巫；

⑵(01-1)++醫-

18.先化..*間*'再求值..：(力a一1卜?成丁+2a丁+1‘其中."=一十1

19,已知7=3-("+以"叫

bb

⑴化簡T;

(2)若在平面直角坐標系xoy中，點P("I)為反比例函數y==上一點，且0尸=5,求T的值.

20.觀察以下等式.

第1個等式：=

第2個等式：民=46.

第3個等式：n=5^??…

請根據以上規律，解答下列問題.

⑴直接寫出第4個等式：.

(2)寫出你猜想的第〃個等式(用含，的等式表示，〃為正整數)，并證明該等式成立.

21.我們在學習二次根式的時候會發現：有時候兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有

22

二次根式，如&-8=a,(V5+V2)(A/5-^]=(A/5)-(V2)=3.課本中閱讀材料告訴我

們，兩個含有二次根式的非零代數式相乘，如果它們的積不是二次根式，那么這兩個代數式

互為有理化因式.

請運用有理化因式的知識，解決下列問題：

[

⑴化簡：產可

⑵比較大小：(^^礪-而丞)(用“>"、"=”或“<”填空)

向fpfcj*63+4,則出麻

(3)設有理數小人滿足:

(4)已知J12-x-j6-x=2,求J12-尤+J6-尤的值.

22.閱讀下面內容：

我們已經學習了《二次根式》和《乘法公式》，可以發現:

當。>0,匕>0時，歷=。-2而+620

：.a+b>2y[^b,當且僅當a時取等號.

請利用上述結論解決以下問題:

(1)當尤>0時，兀+，的最小值為二

x

⑵當%>0時，求當工取何值，>=立更有最小值，最小值是多少？

x

⑶當x>3時，求當無取何值，『-6工+眨有最小值,最小值是多少？

%-3

(4汝口圖，四邊形ABCD的對角線AC,BO相交于點O,AAC?、ACOD的面積分別為4和9,

求四邊形A3C。的面積的最小值.

參考答案

題號12345678

答案BDABDCDB

1.B

【分析】本題考查了二次根式的定義，一般形如彼(。上0)的形式叫做二次根式，掌握二次

根式的定義是解題的鍵.據此逐項判斷即可.

【詳解】解：A、Qi中-12<0,不是二次根式，不符合題意；

B、百是二次根式，符合題意；

C、狗不是二次根式，不符合題意；

D、1兀一4中.一4<0,不是二次根式，不符合題意；

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了分式的乘方運算，根據分式的乘方運算法則計算即可求解，掌握分式的

乘方運算法則是解題的關鍵.

_9/

【詳解】解：

\a-b)

故選：D.

3.A

【分析】本題主要考查分式的基本性質，掌握分式的性質和約分，是解題的關鍵.

根據分式的基本性質，即可得到答案.

【詳解】解：???把分式產?中的x和,都擴大3倍后，

2x-3y

加7-3x-3y_l-3x-3y_(Jxy)

yvf?2-3x-3-3y_3(2x-3y)—31(2x-3yJI，

二分式的值擴大了3倍.

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了最簡公分母“確定最簡公分母的一般方法：1、如果各分母都是單項式,

那么最簡公分母就是各項系數的最小公倍數和所有字母的最高次幕的積；2、如果各分母都

是多項式，先把它們分解因式，然后把每個因式當做一個字母，再從系數、相同字母求最簡

公分母”，熟練掌握確定最簡公分母的方法是解題關鍵.根據確定最簡公分母的一般方法即

可得.

【詳解】解：；(％+5)(5-A：)?=(X+5)(X-5)2,(5+%)2(X-5)=(X+5)2(X-5),

1122

二分式25)(5-句和(5+X『(A5)的最簡公分母是(Ed；

故選：B.

5.D

【分析】本題考查解無理方程，分式方程.分別解無理方程，分式方程及二次根式的意義逐

一進行判斷即可.

【詳解】解：A,=

x+1X

去分母整理得/+彳+1=0,

VA=Z?2-46ZC=l2-4xlxl=-3<0,

，方程無2+x+l=0無實數解；

即一1-工=1無解，該選項不符合題意；

X+1X

B、*.*-Jx-5+Jx+1=0,

J:-5>0,x+l>0,

.**x=5且％=—1,

，Jx—5+Jx+1=0無解,該選項不符合題意;

C、?[Zx—5—Jx+3+5/2—x，

2x-5>0

?'.<%+320f

2-x>0

解得該不等式組無解，

：.j2x-5=K石+7^1無實數解;原方程不符合題意；

D、*.*Jx+2=-x，

,?x+2=x2,，

解得：巧=-Lx2=2,

?Jx+2=—xN0f

x<0,

x=-l,

故方程&二=T有實數根，符合題意；

故選：D.

6.C

【分析】本題考查了二次根式的四則運算，掌握相關運算法則是解題關鍵.根據二次根式的

加、減、乘、除運算法則逐項計算即可.

【詳解】解：A、忘和心不是同類二次根式，原計算錯誤，不符合題意；

B、373-73=273,原計算錯誤，不符合題意；

C、石x石=JF,原計算正確，符合題意；

D、724-76=74=2,原計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

7.D

【分析】本題考查了分式的混合計算和一次函數的性質.

先根據分式的計算法則化簡即可得4=+進而判斷①計算正確，由一次函數的增減

性判斷錯誤，把相=2代入計算可得4=-；，即可判斷③.

12

【詳解】解：A=1--

m-1m-1

1(m-l)(m+l)

m—12

m+1

2

22

即：A=-^-m+}-,故①計算結果正確；

22

V--<0,

2

???A隨x增大而減小，故②結論錯誤；

當〃z=2時，A=-—?/+—=--,故正確；

222

綜上所述：正確結論有①③.

故選D.

8.B

【分析】本題考查了二次根式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.把

a=^3,b=2,c=弋入計算即可.

【詳解】解：。=A/3,b=2,c=yfs，

12

〃=3,b=4fc=5f

故選：B.

9.aw2

【分析】本題主要考查零指數塞底數的條件，熟練掌握零指數塞的底數不為。是解題的關

鍵.由題意得到。—2w0,即可得到答案.

【詳解】解：由題意得到〃—2w0,

aw2.

故答案為：aw2.

1_1__1_

10.（九為正整數）

n(n+1)nn+\

【分析】本題主要考查了數字的變化的規律，根據已知式子找出規律是解題關鍵.

由已知等式可以猜想出結論;

1]___1_

【詳解】解：由已知等式可猜想一般結論:（九為正整數）,

n〃+1

11〃+1?_1

證明:

n〃+1n(n+1)n(n+1)n(n+1)

14-三（〃為正整數）.

故答案為:

-74

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，將=5變最后整體代入計算即可形為

ab

再把”變形為t年

a-b=-5ab,最后整體代入計算即可.

【詳解】解：V--i=5,

ab

:J-a5

ab'

a-b=-5ab,

.2a+3ab-2b

a—lab-b

2(a—Z?)—3QZ?

^a-b)-2ab

2x(-5〃/?)一3〃/?

-Sab-2ab

_-13ab

-lab

13

-7.

13

故答案為：—

12.7

【分析】本題考查了根式的加減運算，根據根式加減運算法則直接求解即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

5/32-^=4A/2-A/2=372，

,:叵-近=a正-叵=b亞,

a—l=b=39

b=3,。=4,

。+人=4+3=7,

故答案為：7.

13.10

【分析】本題考查了勾股定理的應用、幾何體的平面展開圖，分兩種情況展開，再結合勾股

定理計算即可得解.

【詳解】解：將長方體展開如圖（1）所示：此時=M+（8+3）2=限，

（1）

將長方體展開如圖（2）所示：此時=Jg+（3+3）2=10,

V10<A/130,

它所行的最短路線的長是10,

故答案為：10.

14.①②④

【分析】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵.根據新定義得到第3

次操作后得到的分式為L,可判斷①;根據新定義得到第4次操作后得到的分式為

CL—3ci—4

可判斷②；根據新定義得到第5次操作后得到的分式為土^,再變形為。+5+々，由分

a-5a-5

式可以化為整數得出（a-5）是20的因數，再結合。為正整數求出。的值，可判斷③；經過〃

次操作后得到的分式為《二由題意得〃="。0一"）,結合。和〃都是正整數，求出符合

a-n9

題意的〃的值，可判斷④，即可得出結論.

a2-3

【詳解】解：第3次操作后得到的分式為

ci—3

Cl—39+6Cl_96c6Ir-r--rZz.

-------=-------------=--------+=a+3+，故①正確；

a—3ci—3a—3ci—3。一3

第4次操作后得到的分式為±1,

〃一4

"—4a2—16+12a2—161212土斤向工施

。一4a-4a-4a-4a-4

2

第5次操作后得到的分式為一a-5，

CL-J

a2-5a2-25+20=20

..—=Q+5H9

Q—5a—5a—5

又???第5次操作后得到的分式可以化為整數,

二（。-5）是20的因數，

/.a—5=±1,+2,±4,±5,±10,+20,

/.a=-15,-5,0,1,3,4,6,7,9,10,15,25,

又?.?〃為正整數，

.?.々=1,3,4,6,7,9,10,15,25,

二。的正整數值共有9個，故③不正確;

經過〃次操作后得到的分式為，

a-n

由題意得，上^=10,

a-n

整理得：且.」小

9

?/n>0,a>0,

/.0<<7<10,

又為正整數，

6Z=1,2,3,4,5,6,7,8,9,

Q”為正整數，

a）是9的倍數，

;.。=1或a=9,

1x9

當a=l時，n=-^―=1,此時。=力=1,舍去；

9x1

當a=9時，n=-^―=1,止匕時a+"=10；

滿足這個條件的a的值有1個，且a+〃=10,故④正確；

二綜上所述，正確的有①②④.

故答案為：①②④.

15.①②④

【分析】根據正方形的性質可得=4。，再根據同角的余角相等求出的E=NZMP,然

后利用“邊角邊"證明四AA￡B,從而判斷①正確，根據全等三角形對應角相等可得

ZAEB=ZAPD=135。，可證￡B_L￡D,從而判斷②正確，根據等腰直角三角形的性質求出PE,

再利用勾股定理列式求出班的長，過點8作MLAE,交AE的延長線于點尸，先求出

NBEF=NEBF=45°,由等腰三角形的性質可求跖=3尸=交前=如，即可判斷出③錯誤；

22

由勾股定理可求得AB?,即可求正方形ABC。的面積，從而判斷④正確.

【詳解】解：??,四邊形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZBAD=90°,

,：APLAE,

AZBAE+ZBAP=90°,

XVZDAP-^ZBAP=ZBAD=9Q°f

：.ZBAE=ZDAP,

在△”￡＞和△AEB中，

VAB=AD,ZBAE=ZDAP,AE=APf

：.AAPD^^AEB,故①正確；

VAE=AP,AP±AE,

???△AEP是等腰直角三角形，

ZAEP=ZAPE=45°,

：.ZAPD=180°-45°=135°,

?：AAPD'AEB,

：.ZAEB=ZAPD=135°,

AZB￡P=135o-45°=90°,

AEBLED,故②正確；

,:AE=AP=lf

PE=O,

???BE=」BP2-PE2=3=不，

如圖，過點3作區尸_LAE,交AE的延長線于點R

AZBEF=45°,

VBF±AE,

:.ZBEF=/EBF=45。,

：.EF=BF,

??,BE=6,

：.EF=BF=—BE=—,

22

???點B到直線AE的距離為如；故③說法錯誤;

2

...AF=AE+EF=l+—,

；?S正方形=AB?=4+6，故④正確，

故答案為：①②④.

【點睛】此題分別考查了正方形的性質、全等三角形的性質與判定、三角形的面積及勾股定

理，綜合性比較強，解題時要求熟練掌握相關的基礎知識才能很好解決問題.

16.4

【分析】本題主要考查零次幕，算術平方根，負指數幕，特殊角的三角函數的計算，掌握其

運算法則是關鍵.

先算零次哥，絕對值，算術平方根，負指數暴，特殊角的三角函數值，最后再根據實數的混

合運算法則計算即可.

【詳解】解：2025°x|-5|+V9-^+0COS45°

=1X5+3-5+^X—

2

=5+3-5+1

=4.

17.(1)5^-375

(2)272-1

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算,解題的關鍵是準確掌握運算法則和運算順序.

(1)化簡二次根式，然后進行二次根式的加減即可；

(2)先算二次根式的除法，再進行加減法運算即可.

【詳解】(1)解:V27+V12-V45

=373+2^-375

=5A/3-3A/5

(2)解：(Q1)+疵+后

=72-1+72

=2^2—1

此石T2

【分析】本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則對原式進行化簡.

先對括號內式子通分計算,再將除法轉化為乘法,然后根據分式基本性質約分得到最簡分式,

最后代入求值.

aa-1“2—1

【詳解】解：原式=

a—14—1a2+2〃+1

Q-Q+1+1）

a-1（a+1）2

1

a+1'

1=1二1

當Q=_7時，原式a+l1,i-

2

19.⑴a+b

⑵±7

【分析】本題考查了分式的運算，反比例函數的性質等知識，解題的關鍵是:

（1）根據同分母相加減的運算法則計算即可；

（2）根據反比例函數的性質求出就=12,根據兩點間距離公式求出/+〃=,然后根據

完全平方公式求解即可。

【詳解】（1）解：T二史0_（a+b）（a”）

bb

_a2+aba2-b2

bb

a2+ab—Q2+b2

=b

_ab+b2

b

=a+b；

19

（2）解：??,點尸（。/）為反比例函數y=一上一點，

x

ab=12,

?：0P=5,

?2+Z?2=52=25,

（a+Z?）2=/+/+2^=25+2x12=49,

a+b—±7,即T=±7.

2。?⑴儲=6+

⑵E1=（"+2）任'證明見詳解

【分析】本題主要考查數字規律，二次根式性質與化簡的計算，理解計算方法,找出規律是

解題的關鍵.

（1）根據材料提示找出規律即可求解;

（2）結合（1）中的規律，并驗證即可.

【詳解】（1）解：已知第1個等式:

第2個等式:

第3個等式:

.?.第4個等式為:

故答案為:

?4=(n+2)./——，

（2）解:猜想的第〃個等式（用含〃的等式表示，〃為正整數）為:n-\--------

〃+4v勺幾+4

川(〃+)

證明：等式左邊=44A?+4〃+4

n+4H+4〃+4

為正整數,

n+2>0,

???等式左邊=（〃+2）J*=等式右邊，

等式成立.

21.(1)互2

3

(2)<

(3)-6

(4)J12-X+y/6-x=3

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，理解題目中所給的有理化因式的定義，熟知

二次根式的運算法則是解答關鍵.

（1）利用有理化因式的定義和二次根式的運算法則進行化簡求解；

（2）根據題意得到所給的兩個二次根式都是正數，再結合有理化因式的定義比較它們倒數

的大小來求解；

ab

------------1-----------

（3）先利用有理化因式的定義進行化簡(a+1)(A/2-I)，根據化簡結果列一元二次方程

組求解即可；

（4）設n?=J12—x+J6-X，〃=J12-x-J6-X=2,根據有理化因式的定義計算出〃的

值，根據〃的值得出加的值，即是結果.

【詳解】（1）解：（4-2）的有理化因式是（近+2卜

(夕+2)_甘+2_r+2

1

',(夕-2)(A/7-2)(A/7+2)7-43

故答案為：立±2.

3

J2025+J2024

1=72025+72024,

(2)解：?J2025-J2024(.025-J2024)(J2025+J2024)

72024+72023

1=72024+72023,

J2024-J2023(V2024-A/2023)(A/2024+V2023)

而42025+J2024>,2024+。2023，

,-------1------>--------1------

,?J2025-J2024J2024-J2023'

?.?(同石-血西)和都是大于o的數,

(V2025-V2024)<(72024-72023),

故答案為：＜-

a

（3）解：:百1=（0+川0_1）=Q(^x/Z_1)=6^5/2-Cl,

2-1

M忘+i）忘+i）

bM=b(^2+^=b42+b,

A/2-1-(V2-1)(^+1)-2-1

ab

,-------------1------------=(a+b)+(/?_〃),

V2+1V2-1

ab=-672+4

a+。二一6

b—a=4

a=-5

解得:

b=-1

a+Z?=-5+(—1)——6,

故答案為：-6.

(4)角星：設