2025年九年級中考數學三輪沖刺練習二次函數中相似三角形存在性問題練習

1.已知拋物線y=a/-4x+3(aWO)與x軸交于點A(1,0),8兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點P為拋物線上點，當尸B=PC時，求點P坐標；

(3)若點M為線段BC上點(不含端點)，且與△ABC相似，求點M坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，直線>=丘+1與x軸交于點A,與y軸交于點C,過點C

的拋物線〉=辦2-(6a-2)無+6與直線AC交于另一點8(4,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)已知x軸上一動點Q(相，0),連接8。，若△ABQ與△AOC相似，求出根的值.

3.如圖，拋物線與x軸相交于點A(-3,0)、點3(1,0),與y軸交于點C(0,3),點

。是拋物線上一動點，連接。。交線段AC于點￡.

(1)求這條拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

(2)求NACB的正切值；

(3)當△AOE與△ABC相似時，求點。的坐標.

備用圖

4.如圖，拋物線y=-/+6x+c與無軸分別交于點A(-1,0)>B(3,0),與y軸交于點C,

頂點為。，對稱軸交尤軸于點

(1)求拋物線對應的二次函數的表達式；

(2)點尸是拋物線的對稱軸上一點，以點尸為圓心的圓經過A、2兩點，且與直線C。

相切，求點尸的坐標；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△Z5CM與△BQC相似？如果存在，求

出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、8兩點，拋物線y

=-/+6x+c過A、3兩點，點。為線段AB上一動點，過點。作軸于點C,交拋

物線于點E.

(1)求拋物線的解析式.

(2)求△ABE面積的最大值.

(3)連接BE,是否存在點Z),使得和△ZMC相似？若存在，求出點。坐標；若

不存在，說明理由.

6.如圖，拋物線y=/-6x+c過點8(3,0),C(0,-3),。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標；

(2)點C關于拋物線y=/-bx+c對稱軸的對稱點為E點，連接8C,BE,求/CBE的

正切值；

(3)在(2)的條件下，點M是拋物線對稱軸上且在CE上方的一點，是否存在點M使

△DM2和相似？若存在，求點M坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，拋物線尸一#+法+c與直線反交于4(4,。)，B(0.2)兩點，拋物線與x軸

負半軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)D在第二象限拋物線上，作DE〃為軸交A8于點E,作。G_Lx軸，軸，垂足

分別是G,F,當四邊形。斯G為正方形時，求。E的長；

(3)P為第一象限拋物線上的點，。為直線AB上的點，當△2PQ與△ABC相似時，直

接寫出點。的坐標.

8.如圖，拋物線yn/+bx+S經過4(-3,0),B(1,0)兩點.

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)如圖1,尸為拋物線上在第二象限內的一點，若△B4C面積為3,求點P的坐標；

(3)如圖2,。為拋物線的頂點，在線段上是否存在點M,使得以M,A,。為頂

點的三角形與△ABC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

9.二次函數y=o?+6x+4的圖象與x軸交于兩點A、B,與y軸交于點C,且A(-1,0)、

B(4,0)

(1)求此二次函數的表達式

(2)如圖1,拋物線的對稱軸必與x軸交于點E,CD±m,垂足為￡>,點、F(-(,0),

O

動點N在線段。E上運動，連接CRCN、FN,若以點C、D、N為頂點的三角形與△

PEN相似，求點N的坐標

(3)如圖2,點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1,點尸為拋物線上一動點，若/

PMA—45°,求點尸的坐標.

10.如圖，己知拋物線yuad+bx+c與直線y=%+寺相交于A(-1,0),B(4,m)兩點,

拋物線尸a/+6x+c交y軸于點C(0,-f),交x軸正半軸于點。，拋物線的頂點為

(1)求拋物線的表達式及點m的坐標；

(2)設尸為直線A2下方的拋物線上一動點，當的面積最大時，求此時△B48的

面積及點P的坐標；

(3)。為x軸上一動點，N是拋物線上一點，當AQMNsAMAD(點。與點M對應)

時，求點。的坐標.

11.如圖，二次函數＞=0?+歷什2的圖象與x軸相交于點A(-1,0)、B(4,0),與y軸

相交于點C.

(1)求該函數的表達式；

(2)點P為該函數在第一象限內的圖象上一點，過點尸作PQLBC,垂足為點。，連接

PC.

①求線段P0的最大值；

②若以點尸、C、。為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標.

12.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=a/+6尤+c(aWO)的圖象經過原點和點A(4,

0).經過點A的直線與該二次函數圖象交于點B(1,3),與y軸交于點C.

(1)求二次函數的解析式及點C的坐標；

(2)點尸是二次函數圖象上的一個動點，當點尸在直線AB上方時，過點尸作尸

軸于點E,與直線AB交于點設點尸的橫坐標為

①機為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點尸，使得△2尸。與△AOC相似.若存在，請求出點P坐標；若不存在，請

說明理由.

13.如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸

負半軸交于點8，點〃為y軸負半軸上一點，且。河=2,連接AC,CM.

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接AP,CP,當SAR4c=&\ACM時，

求點P的坐標；

(3)點。是線段(包含點8,C)上的動點，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點

Q,交直線CM于點N,若以點。，N,C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點

Q的坐標.

備用圖

14.已知：如圖，二次函數圖象的頂點坐標為C(1,-2),直線的圖象與該二次

函數的圖象交于4、B兩點，其中A點坐標為(3,0),2點在y軸上.點P為線段A3

上的一個動點(點尸與點A、B不重合)，過點尸且垂直于x軸的直線與這個二次函數的

圖象交于點E.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)設點P的橫坐標為x,求線段PE的長(用含尤的代數式表示)；

(3)點。為直線與這個二次函數圖象對稱軸的交點，若以點P、E、。為頂點的三

角形與△A08相似，請求出尸點的坐標.

15.如圖，在直角坐標系中，直線y=—Jr-1與x軸，y軸的交點分別為A、B,以尤=-1

為對稱軸的拋物線y=x1+bx+c與x軸分別交于點A、C,直線x=-1與x軸交于點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在線段42上是否存在一點尸，使以A,D,尸為頂點的三角形與△A08相似？若存

在，求出點尸的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)若點。在第三象限內，且tanNAQD=2,線段CQ是否存在最小值，如果存在直接

寫出最小值；如果不存在，請說明理由.

參考答案

1.【解答】解：(1)將點A的坐標代入拋物線表達式得：0="4+3,解得：a=l,

故拋物線的表達式為：y=7-4x+3…①，

令尤=0,則y=3,令y=0,貝!|x=l或3,

故點C(0,3)、點B(3,0)；

(2)時，則點P在線段的垂直平分線上，

33

線段3c的中點坐標為(-，-),

22

33

則8C中垂線的左值為1,過點（-，一），

22

則其表達式為：尸尤…②，

①②聯立并求解得：x=岑超，

……，5+V135+V13-5-V135-V13

則點P坐標為（------，---------）或（------，---------）;

2222

（3）M為線段BC上點（不含端點），且與△ABC相似,

,ABMB4

則即：一=―，貝!|M3=/，

BCAB3J2

過點M分別作X、＞軸的垂線交于點〃、G,

???O3=OC=3,：.ZCBO=45°,

F527

則MH=MG=M3x號=毋，OH=OB-BH=j,

-72

即點M（一，-）

33

2.【解答】解：（1）點。的坐標為（0,1）,b=l,

將點B坐標代入一次函數表達式得：3=4什1,解得：k=W，

則一次函數表達式為：v=%+l,則點A坐標為（-2,0）,

把點。、3坐標代入二次函數表達式得：3=?X42-4（6〃-2）+1,解得：a-

則二次函數表達式為：尸|x+i；

（2）①如圖，當NAQB=90°時，

△ABQ與△AOC相似，機=4,

②當/48。=90°時，△ABQ與△AOC相似，

AB=J（4+2尸+32=3西,cosXBAO=

貝"盛U,

則m=—2=三，

11

即：m的值為4或一.

2

3.【解答】解：（1）設拋物線解析式為：y=cu?+bx+c,將點A（-3,0）,B（1,0）,C

（0,3）分別代入得：

9a—3b+c=0

a+b+c=0，

c=3

a=—1

解得:b=-2

c=3

故拋物線解析式為：-x2-2x+3.

由于尸-x1-2x+3=-(x+1)2+4,

所以該拋物線的頂點坐標是(-1,4)；

(2)如圖1,過點B作于點

VZAOC=90°,04=00=3,

：.ZOAC=ZOCA=45°,AC=3V2.

9：ZBHA=90°,

：.ZHAB+ZHBA=90°.

:?NHAB=/HBA=45°.

122

???在直角中，Afl+BH=ABfAB=4.

:,AH=BH=2a.

.'.CH=3V2-2V2=V2.

9：ZBHC=90°,

BH272

??tanNAC8==2o;

(3)如圖2,過點。作。軸于點K,

設。(x,-?-2x+3),則K(x,0).并由題意知點。位于第二象限.

/.DK=-/-2x+3,OK=-尤.

,/NBAC是公共角，

...當△AOE與△ABC相似時，有2種情況：

①NAOD=ZABC時，LAOEsAABC,

tanZAO￡)=tanZABC=3.

.??士士=3,解得x-產，彳2=呼(舍去)

-XNN

1-V133V13-3

：.D(---------,-----------).

22

②ZAOD^ZACB時，zMOEsAACB,

tanZAOD=tanZACB=2.圖2

—%2—2%+3

---------------=2,解得犬1=一,，X2=V3(舍去)

-%

；.D(-V3,2V3).

綜上所述，當與相似時，求點。的坐標是(―，或5

2V3).

4.【解答】解：(1)VA(-1,0),B(3,0).

代入y=-x2+/?x+c,得

C-l+b+c=0

t-9+3Z?+c=0，

解得b=2,c=3.

???拋物線對應二次函數的表達式為：y=-/+2]+3；

(2)如圖1,設直線CD切。尸于點￡連接產區B4,作

于點足

：.PELCD,PE=PA.

y=-X2+2X+3,得

對稱軸為直線x=l,c(0,3)、D(1,4).

：.DF=4-3=1,CF=1,

：.DF=CF,

???△DCF為等腰直角三角形.

：.ZCDF=45°,

:?NEDP=NEPD=45°,

:?DE=EP,

石尸為等腰三角形.

設P(1,m),

：.EP2=4(4-m)2.

在△APQ中，ZPQA=90°,

：,AP2=A^+PQ1=[1-(-1)]2+m2

1

(4-m)2=[1-(-1)]2+/M2.

整理，得m2+Sm-8=0

解得,m—-4+2V6.

點尸的坐標為(1,-4+2在)或(1,-2^/6).

(3)存在點使得△OCMS/XBQC.

如圖2,連接C。、CB、CM,

VC(0,3),02=3,ZCOB=90°,

...△COB為等腰直角三角形，

：.ZCBQ=45°,BC=3近.

由(2)可知，ZCDM=45°,CD=V2,

：.NCBQ=NCDM.

ADCM與ABQC相似有兩種情況.

DMCD,

當——=——時，

QBCB

DMV22圖2

=丁方，斛得DM=子

23V23

210

???QM=DQ-DM=4-毋=號.

10

Mi(1,——).

3

,DMCD

當---=時，r

CBQB

DMV2

.?.猊==,解侍萩=3,

???QM=DQ-DM=4-3=1.

：.Mi(1,1).

綜上，點M的坐標為（1,學）或（1,1）.

5.【解答】解：（1）在直線解析式y=x+4中，令x=0,得y=4；令y=0,得x=-4,

???A（-4,0）,B（0,4）.

:點A(-4,0),B(0,4)在拋物線>=-x2+to+c±,

.(—16—4b+c=0

**tc=4

解得：b=-3,c=4,

???拋物線的解析式為：-x2-3x+4.

(2)如圖，連接AE、過點七作軸于點R

設點。坐標為(相，0)(m<0),則點E坐標為(m,-m2-3m+4),

則OC=-m,OF=-m2-3m+4,

VOA=OB=4,

:?BF=-m2-3m,

貝S^ABE=S梯形AO尸E-S^AOB-S^BEF

111

=2X(-m+4)(-m9-3m+4)—)x4X4—X(-m)X(-m9-3m).

=-2ml-8/77

=-2(機+2)2+8,

:-4<m<0,

當根=-2時，S取得最大值，最大值為8.

即△ABE面積的最大值為8.

(3)設點C坐標為(加，0)(m<0),則0C=-m,C￡>=AC=4+〃z,BD=y[20C=-V2m,

則D(m,4+m).

:△AC。為等腰直角三角形，△OBE和△ZMC相似

ADBE必為等腰直角三角形.

z)若/BED=90°,貝!|BE=Z)E,

；BE=OC=-m,

:?DE=BE=-m,

CE=4+m-m=4,

(m,4).

:點、E在拋物線j=-x2-3尤+4上，

；.4=-7772-3加+4,解得772=0(不合題意，舍去)或m=-3,

：.D(-3,1)；

zz)若NEBD=90°,則BE=BD=-V2m,

在等腰直角三角形EBD中，DE=立BD=-2m,

CE=4+m-2m=4-m,

:?E(m,4-m).

:點E在拋物線j=-x2-3尤+4上，

.,.4-m=-m2-3/?i+4,解得機=0(不合題意，舍去)或加=-2,

：.D(-2,2).

綜上所述，存在點D,使得和△ZMC相似，點D的坐標為(-3,1)或(-2,2).

6.【解答】解：(1)設拋物線的解析式為y=(x+3)(x+a),將點C的坐標代入得：3n

=-3,解得n=-1.

...拋物線的解析式為>=(尤+3)(x-1)即y=/-2x-3.

，."y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

：.D(1,-4).

(2)如圖1所示：過點E作EOL8C,垂足為。.

,:B(3,0),C(0,-3),

.?.OC=OB=3.

：.NOCB=NOBC=45°,BC=3近

V點E與點C關于拋物線的對稱軸對稱,

C.CELOC,

.?.ZDC￡=45°.

:EDLCD,

...△OEB為等腰直角三角形.

-2x-3=(x-1)2-4,

拋物線的對稱軸為尤=1.

:.CE=2.

:.CD=ED=V2.

；.BD=BC-CD=2V2.

DP1

.'.tanZCBE=需=

(3)如圖2所示：

VB(3,0),D(1,-4),

.'.A(-1,0),F(1,0).

:?FB=2,DF=4.

1

tanFDB=于

tanZFDB=tanZCBE.

：.ZFDB=ZCBE.

DMBE

?,?t當一=—時t，△BCEsADBM.

BDBC

MD__V10

(解得：M0=學.

*275—3直

???點M的縱坐標=-4+w=一可.

?**Af(1,-W，,

如圖3所示：

?:NFDB=NCBE,

???當NBMD=NBCE=45°時，△DMBs^BCE.

；?FM=FB=2.

：.M(1,2).

綜上所述，當點M的坐標為（1,-芻）或（1,2）時，△OM8和相似.

7.【解答】解：(1)將點A(4,0),B(0,2)代入y=—#+bx+c,

.f-1X16+4b+c=0,

lc=2

解得我=I

k=2

?.?y=-21%2+,]3Xg+2；

(2)設直線A5的解析式為y=fcx+d,

.C4fc+d=0

,(=2

*=T,

Q=2

.1g

??y——7yx+2,

/L

設。(t,—2廠+2什2),E(F-3t,-2廠+2什2),

：r)E〃彳軸交AB于點E,

：.DE=t2-4t,

G_L無軸，

:.DG=-2廠+,2^+2?

:四邊形。斯G為正方形，

：.DG=DE,

~4f=—2P+于+2，

解得f=4(舍)或/=一，

(3)令y=0,貝！尹2+$+2=0,

解得尤=-1或x—4,

：.C(-1,0),

VA(4,0),B(0,2),

：.AB=2y/5,AC=5,BC=V5,

.?.△ABC是直角三角形，ZABC=90°,

設尸(m,-亍獷+^機+2),Q(",-]"+2),

①如圖1,當NBQP=90°,NPBQ=NC54時，

過點尸作尸軸交直線AB于點E,交無軸于點

.1

：?E(JTI,-2m+2),

:.PE=-]加2+2機,

■:NPEQ=/DEA,

：.ZQPE=ZBAC,

,：AABC^APBQ,

:.ZPBQ=ZCBA9

；?NPBQ=/PEB,

：.PB=PE,

m2+(—2=(—^m2+2m)2

解得m=I，

△ABCS^PQB,

.ACBC

??—,

PBBQ

.5V5

**--BQ，

8

②如圖2,當/BQP=90°,時,

：.BP//AC,

點的縱坐標為2,

：.P(3,2),

:.BP=3,

"：/\PBQ^/\CAB,

BPBQ“3BQ

"?—=—,即-=-尸，

ACAB52V5

③如圖3,當/AP3=90°,時,

過點P作PD±x軸交AB于點E,

ZAED=Z.ACB,

八y

'：NPEB=NAED,P

：.NPEB=

：?PB=PE,

?渥+^-m+2),_______j.

VP(m,-1

C0D/

“，/部\

:?E(m,-

：.PE=7i2+2m,

—^m2+2m=m2+(—^m2+|m)2,

??m=

325

.,.P(一，——),

28

15

???尸5=苗

△ABCSAQPB,

.空一些即月-匹

BQPBBQ獲

???%=喑，

.?里=/+幻2,

874

八＞'

.」5

??〃-w

\」Z二Z\，.

151

(丁，-)：

■,?Q4o

④如圖4,當/3PQ=90°,ZPBQ^ZCAB時,____L____i

cu

：.BP//AC,P0〃y軸，

點縱坐標為2,/圖4\

1

：.P(3,2),Q(3,-)；

31312/一151一1

綜上所述：。點的坐標為(二，—)或(=，■;?)或(7,-)或(3.

4855

8.【解答】解:(1)把A(-3,0),8(1,0)代入拋物線解析式y=a$+bx+3得°?

解得於二，

拋物線的函數表達式為y=-?-2x+3；

(2)如解(2)圖1,過尸點作尸0平行y軸,交AC于Q點，\/\

口1。|Y%

解(2)圖1

VA(-3,0),C(0,3),

直線AC解析式為y=x+3,

設尸點坐標為(x,-x2-2x+3.),則。點坐標為(x,x+3),

PQ=-J？-2x+3-(x+3)=-JC-3x.

1

S/^PAC-2XPQ?A。，

1、

(-?-3x)X3=3,

2

解得：Xl=-1,X2=-2.

當x=-1時，尸點坐標為(-1,4),

當x=-2時，尸點坐標為(-2,3),

綜上所述：若AB4c面積為3,點尸的坐標為(-1,4)或(-2,3)；

(3)存在，理由：

如解(3)圖1,過。點作垂直x軸于尸點，過A點作AE垂直2C于E點,

:D為拋物線y=-x2-2x+3的頂點，

■,■D點坐標為(-1,4),

又(-3,0),

直線為y=2尤+6,AF=2,DF=4,tan/ZM2=2,

,:B(1,0),C(0,3)八

/.tanZA5C=3,BC=V10,smZABC=^^-,

：.直線BC解析式為y=-3x+3.//

,：AB=4,//

A

X

：.CE=^^~,

解(3)圖1

?/A-八AE

??tan/AC5=優，

tanZACB=tanZDAB=2,

：.ZACB=/DAB,

使得以M，A,。為頂點的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解(3)圖2,

I.當NAOM=NCAB=45°時，

即0M為y=-尤，

設0M與4。的交點M(x,y)

依題意得：｛y:=-x

.y=2%+6

即為點為(-2,2),

此時，AM：MO^CA：AB,

故點M舍去；

II.若NA0M=NC8A,BPOM//BC,

,/直線BC解析式為y=-3尤+3.

直線0M為y=-3無，設直線0M與的交點M(x,y).則

解⑶圖2

6

y——3xx=~5

依題意得:解得《

y=2%+618

_,618

即加點為—),

。5

此時，AM：MO^CA：AB,

故點M符合題設條件.

綜上所述：存在使得以M，A,。為頂點的三角形與△ABC相似的點其坐標為(-熱

18

—).

5

9.【解答】解：(1)當x=0時，y=4,

：.C(0,4).

設拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-4),將點C的坐標代入得：-4a=4,解得a=-1,

，拋物線的解析式為y=-/+3x+4.

(2)x-—y-=^.

2a2

8

--

CD=￡F3

3

設點N的坐標為(5，〃)則ND=4-〃，NE=a.

,,ENEFa<164，AA

當LCDNS^FEN時,—=—，即——=—，解得〃=浣,

DNCD4-a925

一364

???點N的坐標為（-，—）.

225

8

CDDNa7

當△CONs/XN跖時，一=—,即于=」一，解得：a=2.

NEEF—4—(1

2

3

???點N的坐標為(5，2).

3643

綜上所述，點N的坐標為(-，—)或(-，2).

2252

(3)如圖所示：過點A作AO〃y軸，過點M作。軸，交點為。，過點A作

AM,取AE=AM,作瓦軸，垂足為R連接交拋物線于點P.

VAM=AE,ZMAE=90°,

ZAMP=45°.

將X=1代入拋物線的解析式得：y=6,

???點M的坐標為（1,6）.

：.MD=2,AD=6.

'：ZDAM+ZMAF=90°,ZMAF-^ZFAE=90°,

：.ZDAM=ZFAE.

ND=Z.AFE=90°

在△AOM和AAFE中，Z.DAM=4FAE，

AM=AE

△ADM絲LAFE.

；.EF=DM=2,AP=A￡)=6.

：.E(5,-2).

設EM的解析式為y^kx+b.

將點M和點E的坐標代入得：色+力］,解得仁—，b=8,

15k+b=—2

???直線EM的解析式為y=-2x+8.

將y=-2%+8與y=-X2+3X+4聯立，解得：x=1或x=4.

將x=4代入y=-2x+8得：y=0.

???點P的坐標為(4,0).

10?【解答】解：⑴把點5(4,m)代入尸中，得機=搟，

5

：.B(4,-),

2

a—b+c=0

(16a+4b+c

a=

解得b=—1.?.拋物線的解析式為y=#-x-

c=-1

?；y=-x—*=:(x-1)2-2,

...點M的坐標為(1,-2).

(2):點P為直線AB下方拋物線上一動點，

-l<x<4,

如圖1所示，過點P作y軸的平行線交AB于點X,

12211

設點尸的坐標為(m,-m-m—2)，則點7/(如721+]),圖1

01/、1z12.35/3、21125

S/\FAB=kHrrPr,。(XB_XA)=77*(_T：rn+5771+2)X5=_-T(in_77)H--

LLLL4-Z1O

-MR

01253-1r

...當7"=2時，S最大，最大為H，此時點尸(5,--g-).

(3)如圖2所示，

令y=0,解得xi=-1,X2=3,

：.D(3,0),

'：M(1,-2),A(-1,0),

.-.△AMD為等腰直角三角形，

12

設點N的坐標為(幾,一-〃一亍)，

22

"http://\QEN^/\MFQ(A4S),

13

:?FQ=EN=2,MF=EQ=2M9_『卞

13

??—n9~n—77+1—〃+2，

22

解得及=5或-1（舍），

.?.點。的坐標為（7,0）,

根據對稱性可知，點。的坐標為（-5,0）時也滿足條件，

?：/\ADM是等腰直角三角形，

二當點。是的中點，N與A或。重合時，AQMNsAMAD,

此時。（1,0）時.

綜上所述：點。的坐標為（7,0）或（-5,0）或（1,0）.

1L【解答】解：（1）拋物線解析式為（x+l）（x-4）,

即y=aj?-3ax-4a,

則-4Q=2,解得。=一

所以拋物線解析式為尸-p+|x+2；

(2)①作PN_Lx軸于N,交于如圖,

BC=V22+42=2^/5,

當尤=0時，y=—#+|x+2=2,則C（0,2）,

設直線BC的解析式為y=mx+n,

把C（0,2）,B（4,0）得｛；；；幾=0，解得m=—

n=2

???直線5。的解析式為y=-1x+2,

設尸(f,—、金+自+2),則Af(f,—3+2),

PM——2廣+可+2-(一,+2)——+23

/NBM=ZNPQ,

：./\PQM^/\BOC,

.?孕=也，即加=處警

OBBC2相

?"。=-爭+警r=-增（「2）2+警,

4V5

當『=2時，線段PQ的最大值為一^-；

②當/PCQ=/ABC時，△PCQS2XABC,

此時PC〃。5點P和點C關于直線對稱,

此時P點坐標為（3,2）；

當NCPQ=N05。時，△。尸QS2XABC,

?：NOBC=NNPQ,

：?NCPQ=NMPQ,

而尸。_LCM,

「?△PCM為等腰三角形，

:?PC=PM,

?+(-!?+|r+2-2)2=(-1?+2z)2,

解得t=I,

325

此時尸點坐標為(-，一)，

28

325

綜上所述，滿足條件的尸點坐標為(3,2)或(-，—).

28

12?【解答】解：(1)???拋二次函數經過。(0,0),A(4,0),B(1,3),

0=c

???將三點坐標代入解析式得0=16a+4h+c,

3=a+b+c

解得：a=-1,/?=4,c=0,

...二次函數的解析式為：j=-X2+4X；

:直線經過A、B兩點，設直線A8解析式為：y^kx+n,

.?.將A、B兩點代入得匕二：；：以

解得：k=-1,〃=4,

工直線AB解析式為：y=-x+4,

???點。是直線與y軸交點，

?,?令x=0,則y=4,

：.C(0,4).

(2)①???點尸在直線A3上方，

???0WmW4,

2

由題知P(m,-m+4m),D(m,-m+4),

59

44\2

--l+-

2z4

②存在，理由如下:

,?ZPDB=ZADE,ZADE=NACO,

：.ZBDP=ZACO,

???△AOC是直角三角形，

???要使43尸。與△AOC相似，只有保證是直角三角形就可以.

(I)當尸。S/XAOC時，

VZAOC=90°,

：.ZBPD=90°,

此時5尸〃入軸，B、尸關于對稱軸對稱，

(II)法一：當MBDs^AOC時，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

0C=O4=4,

ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

???△BDP為等腰直角三角形，

：.PD=V2BZ),

由①知PD=-W+5加-4,

'：B(1,3),D(m,-m+4),

BD=yj(m—l)2+(—m+4—3)2=V2(m-1),

'：PD=V2BZ),

/.-m2+5m-4=2(m-1),

解得加1=2,徵2=1(舍)，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

過5作GH〃》軸，作尸G_LG〃，作O〃_LG〃，

則易證△PGBsABHD,

.PGBG

??=,

BHDH

?；PG=m-LBG=-扇+癡-3,BH=m-1,DH=m-1,

.m-1-m2+4m-3

??~,

m-1m-1

解得詢=2,m2=l（舍）,

：.ZPBD=ZAOC=90°,

：.AB±PB.

VkAC=-L

??kBP=1,

直線BP的解析式為：y=x+2,

聯立方程組得［y=-比，

解得:

綜上，存在點尸使△BP￡＞與△AOC相似，此時P的坐標為(3,3)或(2,4).

13.【解答】解：(1)?..點M在y軸負半軸且0M=2,

：.M(0,-2),

將A(0,2),C(4,0)代入y=-/+bx+c,得『，

1-16+4b+c=0

解得卜=L

(c=2

拋物線的解析式為y=-/+2x+2；

(2)過點P作尸軸于點R交線段AC于點E,

設直線AC的解析式為y=fcc+〃2(左#0),

將A(0,2),C(4,0)代入產fcc+%得優：)=0，

解得卜=一2,

=2

直線AC的解析式為y=-3乂+2,

設點尸的橫坐標為p(0<p<4),

則P(p,-p2+2P+2),E(p,-]p+2),

7i

PE=-p2+2。+2—2。+2)=~P2+4P(0<p<4),

S^ACM—8,

1〃

.'?SAPAC=2PE,OC——2p2+8p=8,

解得pi=02=2,

：.P(2,5)；

31

(3)QIG，5),Q2J2,。)，

:在△COM中，ZCOM=90°,以點Q,N,C為頂點的三角形與△COM相似,

.??以點。，N,C為頂點的三角形也是直角三角形，

又；QD，無軸，直線QD交直線CM于點N,

：.ZCNQ^90°,即點N不與點。是對應點.

故分為NCQN=90°和NQCN=90°兩種情況討論：

①當/CQN=90°時，由于QN，x軸，

.,.CQ_Ly軸，即C。在無軸上，

又：點Q在拋物線上，

此時點2與點。重合，

作出圖形如下：

y

(0)8

x

W

此時NCQN=NCOM=90°,

又,：/QCN=/0CM

：.ACQN^ACOMf即此時符合題意,

7

令2

y-X

2-

解得：%i=—7/%2=3(舍去)

1

???點。的坐標，也即點5的坐標是Qi(-],0).

②當NQCN=90°時，作圖如下:

???QO_L%軸，ZCOM=90°

QD//OM,

NCNQ=/OMC,

NCNQ=/OMC,ZQCN=ZCOM=9Q

AQCNs叢COM,即此時符合題意，

AQCNsMOM,

ZCQN=ZOCMf即NZ)Q