2025年九年級中考數學二輪專題復習二次函數中幾何最值問題

1.如圖，一張正方形紙板的邊長為8c將它割去一個正方形，留下四個全等的直角三角

形(圖中陰影部分).設AE=BF=CG=DH=x(cm),陰影部分的面積為y(cm2).

(1)求y關于x的函數解析式并寫出x的取值范圍；

(2)當x取何值時，陰影部分的面積最大，最大面積是多少.

2.如圖，A、B為一次函數產-尤+5的圖象與二次函數y=/+6x+c的圖象的公共點，點A、

B的橫坐標分別為0、4.P為二次函數y=j?+bx+c的圖象上的動點，且位于直線AB的

下方，連接B4、PB.

(1)求6、c的值；

(2)求△%B的面積的最大值.

3.已知周長為。cm(。為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長x(cm)之間的函

數圖象如圖所示.

(1)a的值為；

(2)當x為何值時，該矩形的面積最大？最大面積是多少？

4.如圖，四邊形A8CC的兩條對角線AC,8。互相垂直，AC+BD=IO,設AC=x,這個四

邊形的面積5隨的變化而變化.

(1)寫出S與龍之間的函數關系式：;

(2)求x當為何值時，這個四邊形ABC。的面積最大？最大面積是多少？

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開始沿AB方向向點8以

lcm/s的速度移動，同時，點。從點B開始沿BC邊向C以2cm/s的速度移動.如果P、

。兩點分別到達8、C兩點停止移動.

(1)求運動幾秒鐘時，五邊形APQCD的面積為64C〃?2?

(2)移動幾秒鐘時△PB。的面積最大？并求出△PBQ面積的最大值?

6.如圖，在平面直角坐標系中，點A和點C分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=6cm,0C

=4cm,以。4,OC為鄰邊作矩形O4BC.點M從點A出發，以Icm/s的速度沿AO向

點O運動，同時點N從點C出發，以lcm/s的速度沿CB向點B運動.過點N作NP_L

BC交OB于息P,連接MP.設運動時間為f秒，解答下列問題：

(1)記△OMP的面積為S,求S與f的函數解析式；

(2)當f為何值時，△OMP的面積有最大值，最大值為多少？

7.如圖，在△ABC中，NB=90°,AB=12cm,BC=24cm,動點尸從點A開始沿邊AB

向點8以2cm/s的速度移動，動點。從點2開始沿邊BC向點C以4cmis的速度移動，

如果尸、。兩點分別從A,B兩點同時出發，設運動時間為f秒，

(1)t為何值時△PB。的面積為32cm2?

(2)/為何值時△尸8。的面積最大？最大面積是多少？

8.如圖，四邊形ABCD中，AD=CD,AB=BC,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫

做“箏形”.

(1)如果箏形的兩條對角線長分別為651、8cm,求箏形的面積？

(2)已知箏形ABCD的對角線AC,BD的長度為整數值，且滿足AC+BD=6.試求當

AC,8。的長度為多少時，箏形ABC。的面積有最大值，最大值是多少？

9.經典再現圖1是我們熟悉的“趙爽弦圖”，此圖可用“出入相補法”證明勾股定理.即

圖1是四個全等的直角三角形圍成大正方形A3CD和小正方形EPGH設

AB—c.

(1)請結合圖1,證明勾股定理：/+廿=02；

經典延伸將圖1經過一定拉伸可得到圖2,圖2可以看成是兩組全等三角形圍成四邊形

ABCD和四邊形EFGH,若四邊形ABCD為矩形,四邊形EFGH為菱形,且ZEFG=60°,

EF=2,AE=m,BH=n.

(2)當機=2小矩形4BCD的面積為16百時，求w的值；

(3)當加+"=8時，直接寫出矩形ABC。面積的最大值.

10.如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=12cm,BC=24cm,動點尸從點A開始沿邊AB

向點3以2cm/s的速度移動，動點。從點2開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，

如果尸、。兩點分別從A,B兩點同時出發，設運動時間為

(1)AP=,BP=,BQ=___________；

(2)f為何值時△尸8。的面積為32cm2?

(3)/為何值時△PB。的面積最大？

11.如圖，RtZkABC中，ZABC=90°,AB^6cm,BC=8cm,點尸從點A出發沿邊AB向

點B以\cmls的速度移動，點。從B出發沿邊BC向點C以2cmis的速度移動，尸、。兩

點同時出發，當一點到達終點時另一點也停止運動，設運動時間為t(s).

(1)若尸、。兩點的距離為時，求f的值？

(2)當f為何值時，AB尸。的面積最大？并求出最大面積.

c

12.如圖，在△ABC中，ZB=90°,48=12,BC=24,動點尸從點A開始沿邊AB向點8

以2cmis的速度移動，動點。從點2開始沿邊BC以4cmis的速度移動.如果P、Q兩點

分別從A、B兩點同時出發，同時停止運動.設動點運動時間為fs.

(1)PB=cm,BQ—cm.(用含有7的式子表示)

(2)設△尸8。的面積為S,當/為何值時，△PBQ的面積最大？求該最大值.

13.如圖，在菱形4BCD中，4D=10,/A=60°,點E、F、G、”分別在菱形ABCO的

四條邊上，＞BE=BF=DG^DH,連接ERFG,GH,班■得到四邊形EPGM

(1)設四邊形EFGH的面積為S,BE=x,求S與x的函數關系式；

(2)當BE為何值時，四邊形EPGH的面積最大，最大值是多少？

14.如圖，在△ABC中，ZABC=9Q°,AB=12cm,BC=2AB,動點尸從點A開始沿邊AB

向點B以Icmls的速度移動，動點。從點2開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動.如

果尸，。兩點分別從A,2兩點同時出發，那么△2尸。的面積S隨出發時間f而變化.

(1)求出S關于，的函數解析式，寫出，的取值范圍；

(2)當1取何值時，S最大？最大值是多少？

15.如圖，點、E、F、G、X分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF=DG=DH,連接所,

FG,GH,HE,已知/A=60°,AB=6.

(1)求NHEA的度數；

(2)判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；

(3)設四邊形EFGH的面積為》求y的最大值.

EF

B

參考答案

1.【解答】解：(1)*：AE=BF=CG=DH=xcm,

BE—CF—DG—AH—(8-x)cm,

y=4x；x(8-x)=-2W+16x(0<x<8),

(2)產-2/+16尸-2(x-4)2+32,

a--2<0,

...當x=4時，y有最大值為32,

故當x=4時，陰影部分面積最大值為32c

2.【角軍答】解：(1)當％=0時，y=-x+5=5；當x=4時，y=-x+5=1,貝！］A(0,5),

B(4,1),

則｛c=5

16+4h+c=1'

fc=5

解得:tb=-5；

(2)由(1)可得：y=7-5x+5,設P(m,

于E,

則E(m,-m+5),則PE=4m-m2,

?'?SMBP=2(4)n—7712)X(4—0)=-2(771—2)2+8,

當機=2時，最大值為8.

3.【解答】解：(1)??,周長為QC機(4為定值)的矩形的一邊長y(cm)與它的鄰邊長x

(cm),

??ci2(x+y),

???當x=12時，y=10,

：.a=2(12+10)=44.

故答案為：44cm；

(2)二?由(1)知，〃=44cm,a=2(x+y),

??y=22-x,

???3矩形=孫=冗(22-x)=-W+22x(x>0),

.?.當x=-4=11時，S矩形最大=-"2+22X11=121(cm2).

-z

答：當X=11C7"時，該矩形的面積最大，最大面積是1210712.

4.【解答】解：(1)設AC=x,

則BD=10-x,

1110

?'?S=]ACX8D=—>(10-x)=-2^+5x；

故答案為：S=—^-X2+5X；

(2)S—~J?+5x=—(x-5)

1

?，1<0，

??.開口向下，

25

則當x=5時，S有最大值萬

25

答：當x為5c小時，這個四邊形ABCZ)的面積最大，最大面積是刀切？.

2

5.【解答】解：(1)根據題意，AP=tcm,PB=(6-Z)cm,BQ=2tcm,

1°

:,SAPBQ=2(6-t),2力=-t2+6t,

?「S矩形ABCO=72.

由題意得72-S^PBQ=t2-6t+72=64；

.\t=2或4,

P,。兩點出發2秒或4秒時，五邊形APQC。的面積為64。層.

(2)S^PBQ=-t2+6t,

SAPBQ=—?—3)2+9,-l<0,開口向下，

.?.當t=3時，SZXPEQ有最大值9.

6.【解答】解：(1)由矩形性質可知OA=6,AB=4,

.?.點B的坐標為(6,4),

設直線OB的解析式為>=依，

：.4=6k,解得二=|,

***y=/，

延長NP交x軸于點

點P的橫坐標OH=CN=t,AM=t,

.'.OM=6-t,點尸(t,Tt),

?,SAOMP=]xOMx可3

i2i_

***S=2x(6—t)xt=-+2t

1

=-W(t—3)+3(0〈tV6)；

(2)由(1)中解析式得：S=-1G-3)2+3,

當f=3時，尸的面積有最大值，最大值為3.

7.【解答】解：(1)由橢圓可知：AP=2tcm,BQ=4tcm,則BP=(-2t)cm,

11o

S^PBQ=2xBPxBQ=2x(12—2t)x4t=-4t2+24t=32,

解得：￡=2或4,

由邊長可知：0W/W6.

???/=2或4都符合題意，

???即當￡=2秒或4秒時，2\尸3。的面積是32cW；

(2)S>PBQ=-4/+24t=—4(t—3)2+36,

丁-4<0,0W/W6,

???當/為3時△P3Q的面積最大，最大面積是36cm2.

8.【解答】解：(1)???AO=C。，

???點。在AC的垂直平分線上.

同理點3在AC的垂直平分線上.

：.BD垂直平分AC.

：.ACLBD.

S箏形=S^ADC+S^ABC

11

=yC?DO+yC?BO

1

=*心(。。+8。)

1

=評,BD.

又???箏形的兩條對角線長分別為6c機，8cm,

10

:?S箏形=]X6x8=24(cm).

(2)AC=xcm,則80=(6-x)cm,

由(1)知1,

S箏形A3co=g?(6-%)

12q

=~2X+31

=一；(x-3)2+小

又??,AC,8。的長度為整數值，

則當AC=3時，

9

S箏形A3CD有最大值，最大值為了

止匕時80=6-3=3(cm).

9

即當AC=3,30=3時，S箏形ABCD有最大值，最大值為了

9.【解答]解：⑴S正方形ABCD=AB?=C2,

艮|3正方形A8CD的面積=S4COG+S正方形EFGH+S^ADF+SAAB/S^CBH

=4x+(a—6)2=tz2+Z?2,

4Z2+Z?2=C2；

(2)過點E作于Q,分別過點A,點。作55的垂線，垂足分別為P、M,

???四邊形EFG”是菱形，EF=2,NEFG=6。：A

：.ZEHG=ZEFG=60°,HG=EF=EH=2,

AZHEQ=30°,

：.HQ=^EH=1,

：.EQ=JEH2-HQ2=V3,

:，S菱形EFGH=HG?EQ=2V3；

9：EH//FG,則NMG=NA￡P=60°,

???NE4E=30°,

11

EP=,AE=2m=n,

：.AP=y/AE2-PE2=V3n,

'：BE=BH+HE=n+2,

'?ShABE=^AP-BE=^-(n2+2n)；

ZHCM=90°-60°=30°，

111

.HM=^CH=^AF=^(m+2)=n+l,

.CM=VfH2-HM2=V3(n+1),

1叵

?S〉CBH=2BH'CM=彳(聲+n),

?平行四邊形A5CO的面積為16次，

?^^ABE+S^CBH+^^FDA+LDCG+S菱形EFGH=16g，

?2S2ABE+2sACBH+2A/3=16V

.V3(n2+2n)+V3(n2+n)=14V3,

.2n2+3n-14=0,

解得n=2或n=(舍去)；

(3)如圖所示，分別過點A,點C作BE的垂線，垂足分別為P、M,過點E作EQL

HG于Q,

???四邊形EFG”是菱形，ZEFG=60°,EF=2,

：.ZEHG=ZEFG=60°,EH=HG=EF=2,

：.ZHEQ=30°,

：.EH=2HQ=2,

：.EQ=JEH2-HQ2=V3,

,'S菱形EFGH=HG?EQ=2V3；

9：FG//EH,

：.ZAEP=ZEFG=60°,

???NR1E=3O°,

/.EP=-^AE=Tym,

AP=7AE2—PE2=

?:BE=HE+BH=2+n,

1?SMBE=aAP,BE—^-m(n+2)；

VZMCH=90°-60°=30°,

1111

：.HM=^CH=^AF=J(m+2)=^m+l,

CM=7cH2-HM2=V3(|m+1),

:.S^CBH=^BH?CM=￥幾(］租+1)，

?：S平行四邊形ABCO=S△尸DA+SZ\Z)CG+S菱形EFGH+S^ABE+SACBH，

?，S平行四邊形ABCD=2S2ABE+2S〉CBH+2A/3

=V3mn+V3m+V3n+2V3,

Vm+n=8,

??8—m,

:?S平行四邊形ABCD=V3m(8-m)+10V3=26取-V3(m-4)2,

V-V3<0,

???當m=4時，平行四邊形ABC。的面積有最大值，此時的最大值為26H.

10.【解答】解：(1)由題意得：AP=2tcm,BQ=4tcm,

AB=12cm,

：.BP=AB-AP=(12-2r)cm,

故答案為：2tcm,(12-21)cm,cm；

(2)*：BQ=4tcm,BP=(12-2力cm,ZB=90°,

'-S^PBQ=^BP-BQ=1X(12-2t>4t=(-4尸+24力(cm2),

即SAPBQ=-4r+24t,

由題意得：-4尸+24f=32,

整理得：r-6r+8=0,

解得：n=2,包=4,

答：當運動時間是2s或4s時△尸B。的面積為32cm2；

(3)由(2)可知，SAPBQ=-4r+24/=-4G-3)2+36,

；-4<0,

當t=3時，△尸BQ的面積有最大值為36,

答：當，為3s時，△PB。的面積有最大值.

11.【解答】解：(1)由題知，

BP=6-t,BQ=2t.

在RtZXBPQ中，

PQ2=PB2+PQ1=(67)2+(2r)2,

又因為尸、。兩點的距離為4或，

所以(6-02+(2f)2=(4V2)2,

解得ti=2,t2=

又因為0WfW4,

所以上述兩解都符合題意，

故f的值為2或g

(2)由(1)知，

11

S4BPQ=々BP,BQ=2,2t(6-t)=t(6一力，

又因為0W/W4,

所以當f=3時，

S^BPQ有最大值為9cm2.

12.【解答】解：(1)根據題意得AP=2/c冽，BQ=4tcm,

:?BP=(12-2t)cm,

故答案為：(12-2力，書；

(2)S=^BP-BQ

x(12-2t)x4t

=-4(r-3)2+36,

當，為3時，△PBQ的面積最大，最大面積是36cmi.

13.【解答】解：(1),JAD//BC,

：.ZD+ZC=180°,

在△QHG中，DG=DH,

18O0-ZD

:.乙DHG=4DGH=

2

同理，乙CGF=180：生,

LDGH+NCGF=36。。-(嚴卬=^180：=叱

/.ZHGF=180°-(/DGH+NCGF)=180°-90°=90°,

同理/G”E=90°,ZEFG=90",

四邊形EFGH是矩形，

又：四邊形4BC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

'：BE=BF=DG=DH,

：.AB-BE=BC-BF=CD-DG=AD-DH,

即AE=CF=CG=AH=IO-x,

VZA=60°,

AA￡H和△CFG都是等邊三角形，

：.EH=FG=IO-x,

過點8作BM